Mantık: Önermeler ve Bağlaçlar Ders Notu

Mantık, doğru düşünmenin ve akıl yürütmenin kurallarını inceleyen bir bilim dalıdır. Matematikte ise mantık, önermeler ve bu önermeler arasındaki ilişkileri belirli kurallar çerçevesinde ele alır. Bu dersimizde, mantığın temelini oluşturan önerme kavramını ve önermeleri birbirine bağlamak için kullanılan bağlaçları detaylı bir şekilde inceleyeceğiz.

Önerme Nedir? 🤔

Önerme, doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelerdir. Bir ifadenin önerme olabilmesi için, doğruluk değeri (doğru veya yanlış olma durumu) herkes tarafından bilinebilir ve kesin olmalıdır. Aynı anda hem doğru hem de yanlış olamaz.

• Örnek Önermeler:
  • "Ankara, Türkiye'nin başkentidir." (Doğru bir önermedir.)
  • "2 + 3 = 6." (Yanlış bir önermedir.)
  • "Tüm asal sayılar tektir." (Yanlış bir önermedir, 2 asal sayıdır ve çifttir.)
• Önerme Olmayan İfadeler:
  • "Hava ne kadar güzel!" (Önerme değildir, kişisel bir yargıdır.)
  • "Kalemi bana ver." (Önerme değildir, bir emirdir.)
  • "Bugün sinemaya gidelim mi?" (Önerme değildir, bir sorudur.)
  • "Keşke sınavdan yüksek alsaydım." (Önerme değildir, bir dilektir.)

Doğruluk Değeri

Bir önermenin doğru ya da yanlış olma durumuna doğruluk değeri denir. Doğru önermelerin doğruluk değeri D veya 1 ile, yanlış önermelerin doğruluk değeri ise Y veya 0 ile gösterilir.

Önermeler genellikle küçük harflerle (p, q, r, s gibi) gösterilir.

Doğruluk Tablosu

Bir önermenin alabileceği tüm doğruluk değerlerini gösteren tabloya doğruluk tablosu denir.

Bir p önermesi için doğruluk tablosu:

p
1
0

n tane farklı önermenin \(2^n\) farklı doğruluk durumu vardır.

• 1 önerme için \(2^1 = 2\) farklı durum (1, 0)
• 2 önerme için \(2^2 = 4\) farklı durum
• 3 önerme için \(2^3 = 8\) farklı durum

Denk Önermeler (Eş Değer Önermeler) ⚖️

Doğruluk değerleri aynı olan iki önermeye denk (eş değer) önermeler denir. Denk önermeler \( \equiv \) sembolü ile gösterilir.

Örnek:

• p: "2 tek sayıdır." (Doğruluk değeri: 0)
• q: "Türkiye'nin başkenti İzmir'dir." (Doğruluk değeri: 0)

Bu durumda \( p \equiv q \) yazılır, çünkü ikisinin de doğruluk değeri yanlıştır (0).

Bir Önermenin Değili (Olumsuzu) 🙅‍♀️

Bir önermenin hükmünün değiştirilmesiyle elde edilen yeni önermeye, o önermenin değili (olumsuzu) denir. p önermesinin değili \( p' \) veya \( \neg p \) şeklinde gösterilir.

• Bir önerme doğru ise değili yanlıştır.
• Bir önerme yanlış ise değili doğrudur.

Doğruluk Tablosu:

p	\( p' \)
1	0
0	1

Örnek:

• p: "Bugün hava güneşlidir."
• \( p' \): "Bugün hava güneşli değildir." veya "Bugün hava güneşsizdir."

Bir önermenin değilinin değili, o önermenin kendisine denktir:

\[ (p')' \equiv p \]

Bileşik Önermeler ve Mantık Bağlaçları 🔗

İki veya daha fazla önermenin "ve", "veya", "ya da", "ise", "ancak ve ancak" gibi bağlaçlarla birbirine bağlanmasıyla elde edilen yeni önermelere bileşik önerme denir.

1. Veya Bağlacı (Disjunction) \( \lor \)

p ve q gibi iki önermenin "veya" bağlacı ile bağlanmasıyla oluşan bileşik önermeye p veya q önermesi denir ve \( p \lor q \) şeklinde gösterilir.

Veya bağlacında, bileşik önermenin doğru olabilmesi için önermelerden en az birinin doğru olması yeterlidir. Her iki önerme de yanlış ise bileşik önerme yanlıştır.

Doğruluk Tablosu:

p	q	\( p \lor q \)
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Veya Bağlacının Özellikleri:

• Tek Kuvvet Özelliği: \( p \lor p \equiv p \)
• Değişme Özelliği: \( p \lor q \equiv q \lor p \)
• Birleşme Özelliği: \( (p \lor q) \lor r \equiv p \lor (q \lor r) \)
• Etkisiz Eleman (0): \( p \lor 0 \equiv p \)
• Yutan Eleman (1): \( p \lor 1 \equiv 1 \)
• Değili ile Birleşimi: \( p \lor p' \equiv 1 \)

2. Ve Bağlacı (Conjunction) \( \land \)

p ve q gibi iki önermenin "ve" bağlacı ile bağlanmasıyla oluşan bileşik önermeye p ve q önermesi denir ve \( p \land q \) şeklinde gösterilir.

Ve bağlacında, bileşik önermenin doğru olabilmesi için her iki önermenin de doğru olması gerekir. Önermelerden en az biri yanlış ise bileşik önerme yanlıştır.

Doğruluk Tablosu:

p	q	\( p \land q \)
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Ve Bağlacının Özellikleri:

• Tek Kuvvet Özelliği: \( p \land p \equiv p \)
• Değişme Özelliği: \( p \land q \equiv q \land p \)
• Birleşme Özelliği: \( (p \land q) \land r \equiv p \land (q \land r) \)
• Etkisiz Eleman (1): \( p \land 1 \equiv p \)
• Yutan Eleman (0): \( p \land 0 \equiv 0 \)
• Değili ile Birleşimi: \( p \land p' \equiv 0 \)

Dağılma Özelliği 🔄

Veya bağlacının ve bağlacı üzerine, ve bağlacının veya bağlacı üzerine dağılma özelliği vardır.

• Veya'nın Ve üzerine dağılması: \( p \lor (q \land r) \equiv (p \lor q) \land (p \lor r) \)
• Ve'nin Veya üzerine dağılması: \( p \land (q \lor r) \equiv (p \land q) \lor (p \land r) \)

De Morgan Kuralları 🔐

Bileşik önermelerin değilini alırken kullanılan önemli kurallardır:

• \( (p \lor q)' \equiv p' \land q' \)
• \( (p \land q)' \equiv p' \lor q' \)

3. Ya da Bağlacı (Exclusive Disjunction) \( \underline{\lor} \)

p ve q gibi iki önermenin "ya da" bağlacı ile bağlanmasıyla oluşan bileşik önermeye p ya da q önermesi denir ve \( p \underline{\lor} q \) şeklinde gösterilir.

Ya da bağlacında, bileşik önermenin doğru olabilmesi için önermelerin doğruluk değerlerinin birbirinden farklı olması gerekir. Her iki önerme de aynı doğruluk değerine sahipse bileşik önerme yanlıştır.

Doğruluk Tablosu:

p	q	\( p \underline{\lor} q \)
1	1	0
1	0	1
0	1	1
0	0	0

4. İse Bağlacı (Implication) \( \implies \)

p ve q gibi iki önermenin "ise" bağlacı ile bağlanmasıyla oluşan bileşik önermeye p ise q önermesi denir ve \( p \implies q \) şeklinde gösterilir.

İse bağlacında, bileşik önermenin yanlış olabilmesi için tek bir durum vardır: Birinci önermenin doğru, ikinci önermenin yanlış olması. Diğer tüm durumlarda bileşik önerme doğrudur. ("100 kuralı" olarak da hatırlanabilir: 1 ise 0, sonuç 0'dır.)

Doğruluk Tablosu:

p	q	\( p \implies q \)
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

Önemli Eşdeğerlik:

\[ p \implies q \equiv p' \lor q \]

İse Bağlacında Karşıt, Tersi ve Karşıt Tersi:

Bir \( p \implies q \) önermesi verildiğinde;

• Karşıtı: q önermesi ile p önermesinin yer değiştirmesiyle elde edilir. \( q \implies p \)
• Tersi: p ve q önermelerinin değilinin alınmasıyla elde edilir. \( p' \implies q' \)
• Karşıt Tersi: p ve q önermelerinin değillerinin yer değiştirmesiyle elde edilir. \( q' \implies p' \)

Bir önermenin karşıt tersi, o önermenin kendisine denktir:

\[ p \implies q \equiv q' \implies p' \]

5. Ancak ve Ancak Bağlacı (Biconditional) \( \iff \)

p ve q gibi iki önermenin "ancak ve ancak" bağlacı ile bağlanmasıyla oluşan bileşik önermeye p ancak ve ancak q önermesi denir ve \( p \iff q \) şeklinde gösterilir.

Ancak ve ancak bağlacında, bileşik önermenin doğru olabilmesi için önermelerin doğruluk değerlerinin aynı olması gerekir. Doğruluk değerleri farklı ise bileşik önerme yanlıştır.

Doğruluk Tablosu:

p	q	\( p \iff q \)
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Önemli Eşdeğerlik:

\[ p \iff q \equiv (p \implies q) \land (q \implies p) \]

Totoloji ve Çelişki ✨

Bir bileşik önermenin tüm doğruluk değerleri daima 1 (doğru) ise bu bileşik önermeye totoloji denir.

Örnek: \( p \lor p' \) önermesi bir totolojidir.

p	\( p' \)	\( p \lor p' \)
1	0	1
0	1	1

Bir bileşik önermenin tüm doğruluk değerleri daima 0 (yanlış) ise bu bileşik önermeye çelişki denir.

Örnek: \( p \land p' \) önermesi bir çelişkidir.

p	\( p' \)	\( p \land p' \)
1	0	0
0	1	0