Kareköklü sayılarda toplama çıkarma Ders Notu

Kareköklü Sayılarda Toplama ve Çıkarma İşlemleri

Merhaba 9. Sınıf öğrencileri! Bu dersimizde kareköklü sayılarla toplama ve çıkarma işlemlerini öğreneceğiz. Kareköklü sayılarda toplama ve çıkarma yapabilmek için sayılarımızın kareköklerinin aynı olması gerekir. Bu tür işlemleri daha iyi anlamak için gelin birlikte örneklere göz atalım.

Kareköklü Sayılarda Toplama İşlemi

Karekökleri aynı olan kareköklü sayılar toplanırken, katsayıları toplanır ve karekök aynı kalır. Eğer kareköklerin önünde katsayı yoksa, katsayı 1 kabul edilir.

Genel Kural:

\[ a\sqrt{c} + b\sqrt{c} = (a+b)\sqrt{c} \]

Örnek 1: Toplama İşlemi ➕

Aşağıdaki toplama işlemini yapalım:

\[ 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} \]

Burada her iki terimde de karekökler aynıdır (\(\sqrt{5}\)). Bu yüzden katsayıları toplarız:

\[ (3+2)\sqrt{5} = 5\sqrt{5} \]

Sonuç: \(5\sqrt{5}\)

Örnek 2: Katsayısı 1 Olan Toplama İşlemi ➕

Şimdi de katsayısı görünmeyen bir toplama işlemi yapalım:

\[ \sqrt{7} + 4\sqrt{7} \]

Burada ilk terimin katsayısı 1'dir. Katsayıları toplarız:

\[ (1+4)\sqrt{7} = 5\sqrt{7} \]

Sonuç: \(5\sqrt{7}\)

Örnek 3: Farklı Kareköklü Sayıların Toplanması

Eğer karekökler farklıysa, bu sayılar doğrudan toplanamaz. Ancak, karekökleri sadeleştirerek aynı hale getirebilirsek, o zaman toplama işlemi yapabiliriz.

İşlem:

\[ \sqrt{12} + \sqrt{27} \]

Öncelikle karekökleri sadeleştirelim:

• \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \)
• \( \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = \sqrt{9} \times \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \)

Şimdi sadeleştirilmiş hallerini toplayalım:

\[ 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = (2+3)\sqrt{3} = 5\sqrt{3} \]

Sonuç: \(5\sqrt{3}\)

Kareköklü Sayılarda Çıkarma İşlemi

Karekökleri aynı olan kareköklü sayılar çıkarılırken, katsayıları çıkarılır ve karekök aynı kalır. Katsayı 1 ise, yine 1 kabul edilir.

Genel Kural:

\[ a\sqrt{c} - b\sqrt{c} = (a-b)\sqrt{c} \]

Örnek 4: Çıkarma İşlemi ➖

Aşağıdaki çıkarma işlemini yapalım:

\[ 7\sqrt{2} - 3\sqrt{2} \]

Karekökler aynı olduğu için katsayıları çıkarırız:

\[ (7-3)\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \]

Sonuç: \(4\sqrt{2}\)

Örnek 5: Katsayısı 1 Olan Çıkarma İşlemi ➖

Şimdi de katsayısı görünmeyen bir çıkarma işlemi yapalım:

\[ 5\sqrt{10} - \sqrt{10} \]

Burada ikinci terimin katsayısı 1'dir. Katsayıları çıkarırız:

\[ (5-1)\sqrt{10} = 4\sqrt{10} \]

Sonuç: \(4\sqrt{10}\)

Örnek 6: Sadeleştirme Gerektiren Çıkarma İşlemi ➖

İşlem:

\[ \sqrt{50} - \sqrt{18} \]

Karekökleri sadeleştirelim:

• \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \)
• \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \)

Şimdi sadeleştirilmiş hallerini çıkaralım:

\[ 5\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = (5-3)\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \]

Sonuç: \(2\sqrt{2}\)

Birden Fazla İşlem İçeren Durumlar

Bazen toplama ve çıkarma işlemleri bir arada bulunabilir. Bu durumlarda da sadeleştirme yaptıktan sonra aynı kareköklü terimleri bir araya getirerek işlem yaparız.

Örnek 7: Karma İşlem ➕➖

İşlem:

\[ \sqrt{45} + \sqrt{20} - \sqrt{80} \]

Karekökleri sadeleştirelim:

• \( \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5} \)
• \( \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5} \)
• \( \sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = 4\sqrt{5} \)

Şimdi sadeleştirilmiş ifadeleri yerine koyalım ve işlemi yapalım:

\[ 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} - 4\sqrt{5} \]

Katsayıları toplayıp çıkaralım:

\[ (3+2-4)\sqrt{5} = (5-4)\sqrt{5} = 1\sqrt{5} = \sqrt{5} \]

Sonuç: \( \sqrt{5} \)

Günlük Hayattan Örnek 📏

Bir bahçenin kenar uzunlukları \( \sqrt{18} \) metre ve \( \sqrt{32} \) metre olsun. Bu bahçenin çevresini hesaplamak için önce kenar uzunluklarını sadeleştirelim:

• \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2} \) metre
• \( \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2} \) metre

Bahçenin çevresi, tüm kenar uzunluklarının toplamıdır. Dikdörtgen bir bahçe olduğunu varsayarsak:

Çevre = \( 2 \times (\text{uzun kenar} + \text{kısa kenar}) \)

Çevre = \( 2 \times (4\sqrt{2} + 3\sqrt{2}) \)

Önce parantez içini toplarız:

Çevre = \( 2 \times (7\sqrt{2}) \)

Şimdi çarparız:

Çevre = \( 14\sqrt{2} \) metre

Bu şekilde kareköklü sayılarla toplama ve çıkarma işlemlerini günlük hayatımızdaki ölçümlerde de kullanabiliriz.