Kareköklü Sayılar Ders Notu

Kareköklü Sayılar 🔢

9. Sınıf Matematik müfredatının önemli konularından biri olan kareköklü sayılar, bir sayının karesi alındığında elde edilen sayının tersi işlemi olarak düşünülebilir. Bir sayının karekökü, o sayıyı kendisiyle çarptığımızda elde ettiğimiz sayıdır. Karekök sembolü \( \sqrt{} \) ile gösterilir. Örneğin, 9 sayısının karekökü 3'tür çünkü \( 3 \times 3 = 9 \). Bu durum \( \sqrt{9} = 3 \) şeklinde ifade edilir. Benzer şekilde, \( \sqrt{16} = 4 \) çünkü \( 4 \times 4 = 16 \). Karekök alma işlemi, pozitif reel sayılar için tanımlıdır ve sonucu daima pozitif bir sayıdır. Negatif bir sayının reel sayılarda karekökü yoktur.

Tam Kare Sayılar ve Karekökleri

Tam kare sayılar, bir tam sayının karesi olarak yazılabilen sayılardır.
Örnekler: 1 (\( 1^2 \)), 4 (\( 2^2 \)), 9 (\( 3^2 \)), 16 (\( 4^2 \)), 25 (\( 5^2 \)), 36 (\( 6^2 \)), 49 (\( 7^2 \)), 64 (\( 8^2 \)), 81 (\( 9^2 \)), 100 (\( 10^2 \)) gibi sayılar tam kare sayılardır.
Bu sayıların karekökleri de tam sayıdır.

Çözümlü Örnek 1:

Aşağıdaki karekökleri hesaplayınız:

\( \sqrt{25} \)
\( \sqrt{64} \)
\( \sqrt{121} \)

Çözüm:

\( \sqrt{25} = 5 \) çünkü \( 5 \times 5 = 25 \).
\( \sqrt{64} = 8 \) çünkü \( 8 \times 8 = 64 \).
\( \sqrt{121} = 11 \) çünkü \( 11 \times 11 = 121 \).

Kareköklerin Özellikleri

1. Karekökün İçindeki Sayının Karesi

Bir sayının karekökünün karesi, o sayının mutlak değerine eşittir. Ancak 9. Sınıf müfredatında genellikle pozitif sayılarla çalışıldığı için, \( (\sqrt{a})^2 = a \) şeklinde ifade edilebilir (burada \( a \geq 0 \)).

Çözümlü Örnek 2:

Hesaplayınız: \( (\sqrt{7})^2 \)

Çözüm:

\( (\sqrt{7})^2 = 7 \)

2. Sayının Karesinin Karekökü

Bir sayının karesinin karekökü, o sayının mutlak değerine eşittir. \( \sqrt{a^2} = |a| \). Eğer \( a \) pozitif ise \( \sqrt{a^2} = a \), eğer \( a \) negatif ise \( \sqrt{a^2} = -a \)'dır.

Çözümlü Örnek 3:

Hesaplayınız:

\( \sqrt{5^2} \)
\( \sqrt{(-4)^2} \)

Çözüm:

\( \sqrt{5^2} = |5| = 5 \).
\( \sqrt{(-4)^2} = |-4| = 4 \).

Kareköklerin Basitleştirilmesi

Karekök içindeki sayıyı, tam kare çarpanlarına ayırarak karekökten çıkarabileceğimiz kısımları dışarı alabiliriz. Örneğin, \( \sqrt{12} \) sayısını basitleştirelim. 12 sayısını çarpanlarına ayırdığımızda \( 12 = 4 \times 3 \) olduğunu görürüz. Burada 4 bir tam kare sayıdır (\( 2^2 \)). Bu durumda:

\[ \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \]

Çözümlü Örnek 4:

Aşağıdaki kareköklü ifadeleri basitleştiriniz:

\( \sqrt{18} \)
\( \sqrt{50} \)
\( \sqrt{72} \)

Çözüm:

\( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \).
\( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \).
\( \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2} \).

Kareköklerin Toplanması ve Çıkarılması

Karekökleri toplamak veya çıkarmak için, kareköklerin içindeki sayılar (katsayılar değil, kök içleri) aynı olmalıdır. Tıpkı benzer terimleri toplar gibi, katsayıları toplar veya çıkarırız.

Çözümlü Örnek 5:

Aşağıdaki işlemleri yapınız:

\( 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} \)
\( 7\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \)
\( \sqrt{8} + \sqrt{18} \)

Çözüm:

\( 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = (3+5)\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \).
\( 7\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = (7-2)\sqrt{3} = 5\sqrt{3} \).
Önce karekökleri basitleştirelim: \( \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2} \) ve \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2} \).
Şimdi toplayalım: \( 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = (2+3)\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \).

Kareköklerin Çarpılması

Karekökleri çarpmak için, kareköklerin içindeki sayıları birbiriyle çarparız. Katsayıları kendi aralarında, kök içlerini kendi aralarında çarparız.

\[ \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b} \]

Eğer katsayılar varsa:

\[ x\sqrt{a} \times y\sqrt{b} = (x \times y)\sqrt{a \times b} \]

Çözümlü Örnek 6:

Aşağıdaki çarpma işlemlerini yapınız:

\( \sqrt{3} \times \sqrt{5} \)
\( 2\sqrt{6} \times 3\sqrt{2} \)

Çözüm:

\( \sqrt{3} \times \sqrt{5} = \sqrt{3 \times 5} = \sqrt{15} \).
\( 2\sqrt{6} \times 3\sqrt{2} = (2 \times 3)\sqrt{6 \times 2} = 6\sqrt{12} \).
Bulduğumuz sonucu basitleştirelim: \( 6\sqrt{12} = 6\sqrt{4 \times 3} = 6 \times 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3} \).

Kareköklerin Bölünmesi

Karekökleri bölmek için, kareköklerin içindeki sayıları böleriz. Katsayıları kendi aralarında, kök içlerini kendi aralarında böleriz.

\[ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \quad (\text{burada } b \neq 0) \]

Eğer katsayılar varsa:

\[ \frac{x\sqrt{a}}{y\sqrt{b}} = \frac{x}{y}\sqrt{\frac{a}{b}} \]

Çözümlü Örnek 7:

Aşağıdaki bölme işlemlerini yapınız:

\( \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}} \)
\( \frac{8\sqrt{21}}{2\sqrt{3}} \)

Çözüm:

\( \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{10}{2}} = \sqrt{5} \).
\( \frac{8\sqrt{21}}{2\sqrt{3}} = \frac{8}{2}\sqrt{\frac{21}{3}} = 4\sqrt{7} \).

Paydayı Karekökten Kurtarma (Rasyonel Yapma)

Bir kesrin paydasında karekök varsa, kesri genişleterek paydayı rasyonel hale getirebiliriz. Eğer payda \( \sqrt{a} \) şeklinde ise, kesri \( \sqrt{a} \) ile çarparız. Eğer payda \( x + \sqrt{a} \) veya \( x - \sqrt{a} \) gibi bir ifade ise, eşleniği ile çarparız (bu konu 9. Sınıf müfredatında daha detaylı işlenir, burada temel durum ele alınacaktır).

Temel kural: Paydadaki karekökü yok etmek için, kesri paydanın karekökü ile çarparız.

\[ \frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a \times \sqrt{b}}{\sqrt{b} \times \sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b} \]

Çözümlü Örnek 8:

Aşağıdaki ifadelerin paydasını rasyonel yapınız:

\( \frac{3}{\sqrt{2}} \)
\( \frac{5}{\sqrt{7}} \)

Çözüm:

\( \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \).
\( \frac{5}{\sqrt{7}} = \frac{5 \times \sqrt{7}}{\sqrt{7} \times \sqrt{7}} = \frac{5\sqrt{7}}{7} \).