Kareköklü Sayılar Çözümlü Sorular Ders Notu

Kareköklü Sayılar: Temel Kavramlar ve Çözümlü Sorular

9. Sınıf matematik müfredatının önemli konularından biri olan kareköklü sayılar, bir sayının karesi alındığında elde edilen sayının tersi işlemi olarak tanımlanır. Bir sayının karekökü, o sayıyı kendisiyle çarptığımızda elde ettiğimiz sayıdır. Karekök sembolü \( \sqrt{} \) ile gösterilir. Örneğin, \( \sqrt{16} = 4 \) çünkü \( 4 \times 4 = 16 \). Karekökün sonucu her zaman pozitif bir sayıdır. Negatif bir sayının reel sayılarda karekökü yoktur.

Kareköklü Sayıların Özellikleri

Kareköklü sayıların anlaşılması, temel özelliklerinin bilinmesiyle kolaylaşır:

• \( \sqrt{a^2} = |a| \) : Bir sayının karesinin karekökü, o sayının mutlak değerine eşittir. Eğer \( a \ge 0 \) ise \( \sqrt{a^2} = a \), eğer \( a < 0 \) ise \( \sqrt{a^2} = -a \) olur.
• \( \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \) : İki sayının çarpımının karekökü, kareköklerinin çarpımına eşittir. Bu özellik, karekök dışına sayı çıkarma veya karekök içine sayı alma işlemlerinde kullanılır.
• \( \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \) : İki sayının bölümünün karekökü, kareköklerinin bölümüne eşittir.

Kareköklü Sayılarla İşlemler

Kareköklü sayılarla toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri yapılabilir.

Toplama ve Çıkarma İşlemleri

Kareköklü sayılarda toplama ve çıkarma işlemleri yapılırken, karekök içleri aynı olan terimler kendi aralarında toplanır veya çıkarılır. Katsayılar işlem görür.

Örnek 1: \( 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} \) işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm: Karekök içleri aynı olduğu için katsayıları toplarız. \( (3+5)\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \).

Örnek 2: \( 7\sqrt{5} - 2\sqrt{5} \) işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm: Karekök içleri aynı olduğu için katsayıları çıkarırız. \( (7-2)\sqrt{5} = 5\sqrt{5} \).

Eğer karekök içleri farklıysa, önce karekök içlerini sadeleştirerek aynı hale getirmeye çalışırız.

Örnek 3: \( \sqrt{8} + \sqrt{18} \) işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm: Önce karekökleri sadeleştirelim. \( \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = \sqrt{4} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \) ve \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \). Şimdi toplama işlemini yapabiliriz: \( 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = (2+3)\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \).

Çarpma İşlemi

Kareköklü sayılar çarpılırken, katsayılar kendi aralarında, karekökler kendi aralarında çarpılır.

Örnek 4: \( 2\sqrt{3} \times 4\sqrt{5} \) işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm: Katsayıları çarparız: \( 2 \times 4 = 8 \). Karekökleri çarparız: \( \sqrt{3} \times \sqrt{5} = \sqrt{3 \times 5} = \sqrt{15} \). Sonuç: \( 8\sqrt{15} \).

Örnek 5: \( \sqrt{6} \times \sqrt{12} \) işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm: \( \sqrt{6 \times 12} = \sqrt{72} \). Şimdi \( \sqrt{72} \) sayısını sadeleştirelim. \( \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2} \).

Bölme İşlemi

Kareköklü sayılar bölünürken, katsayılar kendi aralarında, karekökler kendi aralarında bölünür.

Örnek 6: \( \frac{10\sqrt{6}}{2\sqrt{3}} \) işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm: Katsayıları böleriz: \( \frac{10}{2} = 5 \). Karekökleri böleriz: \( \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{6}{3}} = \sqrt{2} \). Sonuç: \( 5\sqrt{2} \).

Karekök Dışına Sayı Çıkarma ve Karekök İçine Sayı Alma

Bir karekökün içindeki sayının çarpanlarından tam kare olanlar karekök dışına çıkarılabilir.

Örnek 7: \( \sqrt{50} \) sayısını sadeleştiriniz.

Çözüm: 50'nin çarpanları arasında tam kare olan 25 vardır. \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \).

Karekök içine sayı alırken, sayının karesi alınarak karekök içine yazılır.

Örnek 8: \( 3\sqrt{7} \) ifadesini karekök içine alınız.

Çözüm: 3'ün karesi 9'dur. \( 3\sqrt{7} = \sqrt{3^2 \times 7} = \sqrt{9 \times 7} = \sqrt{63} \).

Kareköklü Sayılarda Paydayı Rasyonel Yapma

Kareköklü bir ifade kesir şeklinde olduğunda ve paydada kareköklü bir sayı bulunduğunda, payda rasyonel hale getirilir. Bu, kesrin pay ve paydası, paydadaki kareköklü ifadenin eşleniği ile çarpılarak yapılır.

Örnek 9: \( \frac{3}{\sqrt{2}} \) ifadesinin paydasını rasyonel yapınız.

Çözüm: Payda \( \sqrt{2} \) olduğu için eşleniği de \( \sqrt{2} \)'dir. Kesri \( \sqrt{2} \) ile çarparız: \( \frac{3}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \).

Örnek 10: \( \frac{1}{2+\sqrt{3}} \) ifadesinin paydasını rasyonel yapınız.

Çözüm: Payda \( 2+\sqrt{3} \) olduğu için eşleniği \( 2-\sqrt{3} \)'tür. Kesri \( 2-\sqrt{3} \) ile çarparız: \( \frac{1}{2+\sqrt{3}} \times \frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} = \frac{2-\sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2-\sqrt{3}}{4-3} = \frac{2-\sqrt{3}}{1} = 2-\sqrt{3} \).