Kareköklü ifadeler Ders Notu

Kareköklü İfadeler 📐

Kareköklü ifadeler, bir sayının karesi alındığında kendisini veren sayıyı bulma işlemidir. Karekök sembolü \( \sqrt{} \) ile gösterilir. Örneğin, 16 sayısının karekökü 4'tür çünkü \( 4^2 = 16 \). Bu nedenle \( \sqrt{16} = 4 \) olarak yazılır. Karekök alma işlemi, üslü ifadelerin tersi gibi düşünülebilir. Bir sayının karekökü pozitif bir değerdir.

Tam Kare Sayılar ve Karekökleri

Tam kare sayılar, bir tam sayının karesi şeklinde yazılabilen sayılardır. Bu tür sayıların karekökleri de bir tam sayıdır.

• \( \sqrt{0} = 0 \) çünkü \( 0^2 = 0 \)
• \( \sqrt{1} = 1 \) çünkü \( 1^2 = 1 \)
• \( \sqrt{4} = 2 \) çünkü \( 2^2 = 4 \)
• \( \sqrt{9} = 3 \) çünkü \( 3^2 = 9 \)
• \( \sqrt{25} = 5 \) çünkü \( 5^2 = 25 \)
• \( \sqrt{36} = 6 \) çünkü \( 6^2 = 36 \)
• \( \sqrt{49} = 7 \) çünkü \( 7^2 = 49 \)
• \( \sqrt{64} = 8 \) çünkü \( 8^2 = 64 \)
• \( \sqrt{81} = 9 \) çünkü \( 9^2 = 81 \)
• \( \sqrt{100} = 10 \) çünkü \( 10^2 = 100 \)

Karekökün Özellikleri

Kareköklü ifadelerin bazı temel özellikleri vardır:

1. Negatif Sayıların Karekökü

Reel sayılarda negatif bir sayının karekökü tanımsızdır. Örneğin, \( \sqrt{-9} \) reel sayılarda bir karşılığa sahip değildir.

2. Karekökün İçindeki Sayının Karesi

Bir sayının karesinin karekökü, o sayının mutlak değerine eşittir.

\[ \sqrt{a^2} = |a| \]

Örneğin:

• \( \sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 = |-5| \)
• \( \sqrt{7^2} = \sqrt{49} = 7 = |7| \)

3. Kareköklerin Çarpımı

Aynı dereceden iki kareköklü ifade çarpıldığında, kareköklerin içindeki sayılar çarpılır ve sonucun karekökü alınır.

\[ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \quad (a \ge 0, b \ge 0) \]

Örnek:

\( \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{2 \cdot 8} = \sqrt{16} = 4 \)

4. Kareköklerin Bölümü

Aynı dereceden iki kareköklü ifade bölündüğünde, kareköklerin içindeki sayılar bölünür ve sonucun karekökü alınır.

\[ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \quad (a \ge 0, b > 0) \]

Örnek:

\( \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{72}{2}} = \sqrt{36} = 6 \)

Karekök Dışına Çıkarma ve İçine Alma

Karekök Dışına Çıkarma

Bir sayının karekökünü alırken, sayının çarpanlarından tam kare olanları karekök dışına çıkarılabilir. Bu, sayıyı bir tam kare ile başka bir sayının çarpımı şeklinde yazarak yapılır.

Örnek 1:

\( \sqrt{50} \) sayısını inceleyelim. 50 sayısını \( 25 \cdot 2 \) şeklinde yazabiliriz. Burada 25 bir tam karedir (\( 5^2 \)).

\[ \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \]

Örnek 2:

\( \sqrt{72} \) sayısını inceleyelim. 72 sayısını \( 36 \cdot 2 \) şeklinde yazabiliriz. Burada 36 bir tam karedir (\( 6^2 \)).

\[ \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2} \]

Karekök İçine Alma

Karekök dışındaki bir sayıyı karekök içine almak için, o sayı karekökün içine karesi alınarak yazılır.

Örnek 1:

\( 3\sqrt{5} \) ifadesinde 3 sayısını karekök içine alalım. 3'ün karesi 9'dur.

\[ 3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45} \]

Örnek 2:

\( 2\sqrt{7} \) ifadesinde 2 sayısını karekök içine alalım. 2'nin karesi 4'tür.

\[ 2\sqrt{7} = \sqrt{2^2 \cdot 7} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{28} \]

Kareköklerin Toplama ve Çıkarma İşlemleri

Kareköklerin toplanıp çıkarılabilmesi için kareköklerin içindeki sayıların aynı olması gerekir. Eğer sayılar aynı değilse, önce karekök dışına çıkarma işlemi yapılarak aynı hale getirilmeye çalışılır.

Örnek 1:

\( 2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} \)

Burada her iki terimde de \( \sqrt{3} \) olduğu için katsayıları toplayabiliriz.

\[ 2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = (2+5)\sqrt{3} = 7\sqrt{3} \]

Örnek 2:

\( 8\sqrt{2} - 3\sqrt{2} \)

Burada her iki terimde de \( \sqrt{2} \) olduğu için katsayıları çıkarabiliriz.

\[ 8\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = (8-3)\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \]

Örnek 3:

\( \sqrt{18} + \sqrt{8} \)

Öncelikle bu ifadeleri sadeleştirelim:

• \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2} \)
• \( \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} \)

Şimdi toplayabiliriz:

\[ 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = (3+2)\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \]

Kareköklerin Çarpma İşlemi

Kareköklerin çarpımında, karekök dışındaki sayılar kendi aralarında, karekök içindeki sayılar ise kendi aralarında çarpılır.

Örnek 1:

\( 3\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{5} \)

\[ (3 \cdot 4) \sqrt{2 \cdot 5} = 12\sqrt{10} \]

Örnek 2:

\( \sqrt{6} \cdot \sqrt{3} \)

\[ \sqrt{6 \cdot 3} = \sqrt{18} \]

Bu ifadeyi sadeleştirebiliriz:

\[ \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2} \]

Kareköklerin Bölme İşlemi

Kareköklerin bölümünde, karekök dışındaki sayılar kendi aralarında, karekök içindeki sayılar ise kendi aralarında bölünür.

Örnek 1:

\( \frac{10\sqrt{12}}{2\sqrt{3}} \)

Önce dışarıdaki sayıları bölelim:

\[ \frac{10}{2} = 5 \]

Sonra içerideki sayıları bölelim:

\[ \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt{4} = 2 \]

Sonucu birleştirelim:

\[ 5 \cdot 2 = 10 \]

Örnek 2:

\( \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} \)

\[ \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5 \]