Kare kök sayıları Ders Notu

9. Sınıf Matematik: Karekök Sayılar 🌳

Karekök, bir sayının kendisiyle çarpıldığında o sayıyı veren değeri ifade eder. Temel olarak, bir sayının "karesinin tersi" olarak düşünülebilir. Karekök sembolü \( \sqrt{} \) ile gösterilir. Örneğin, \( \sqrt{9} \) ifadesi, karesi 9 olan sayıyı bulmamızı ister. Bu sayı 3'tür, çünkü \( 3 \times 3 = 9 \). Bu nedenle \( \sqrt{9} = 3 \) olur.

Tam Kare Sayılar ve Karekökleri

Bazı sayılar, tam sayıların kareleri şeklinde yazılabilir. Bu sayılara "tam kare sayılar" denir. Tam kare sayıların karekökleri de tam sayıdır.

• \( 1^2 = 1 \implies \sqrt{1} = 1 \)
• \( 2^2 = 4 \implies \sqrt{4} = 2 \)
• \( 3^2 = 9 \implies \sqrt{9} = 3 \)
• \( 4^2 = 16 \implies \sqrt{16} = 4 \)
• \( 5^2 = 25 \implies \sqrt{25} = 5 \)
• \( 10^2 = 100 \implies \sqrt{100} = 10 \)

Negatif Sayıların Karekökleri

9. Sınıf müfredatında, reel sayılar kümesinde negatif bir sayının karekökü tanımsızdır. Çünkü hiçbir reel sayının karesi negatif olamaz. Örneğin, \( \sqrt{-4} \) reel sayılar kümesinde bir değere sahip değildir.

Karekök Alma İşleminin Özellikleri

Karekök alma işleminin bazı temel özellikleri vardır:

• Herhangi bir \( a \ge 0 \) reel sayısı için \( \sqrt{a^2} = |a| \) olur. Eğer \( a \ge 0 \) ise \( \sqrt{a^2} = a \) olur.
• \( \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \) (Burada \( a \ge 0 \) ve \( b \ge 0 \) olmalıdır.)
• \( \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \) (Burada \( a \ge 0 \) ve \( b > 0 \) olmalıdır.)

Kareköklerin Basitleştirilmesi

Bazen karekök içindeki sayıyı daha küçük bir tam kare sayının çarpımı şeklinde yazarak karekökü basitleştirebiliriz. Bu, \( \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \) özelliğini kullanmamızı sağlar.

Örnek 1: Karekök Basitleştirme

\( \sqrt{72} \) sayısını basitleştirelim.

72 sayısını çarpanlarına ayırırız ve tam kare çarpanları bulmaya çalışırız. \( 72 = 36 \times 2 \) şeklinde yazılabilir. Burada 36 bir tam karedir (\( 6^2 \)).

Şimdi özelliği kullanalım:

\[ \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6 \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2} \]

Yani, \( \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \) olarak basitleştirilir.

Örnek 2: Kareköklerin Çarpımı

\( \sqrt{5} \times \sqrt{20} \) işleminin sonucunu bulalım.

Özelliği kullanarak bu iki karekökü tek bir karekök altında çarpabiliriz:

\[ \sqrt{5} \times \sqrt{20} = \sqrt{5 \times 20} = \sqrt{100} \]

Ve \( \sqrt{100} = 10 \) olduğunu biliyoruz.

Sonuç: \( \sqrt{5} \times \sqrt{20} = 10 \)

Örnek 3: Kareköklerin Bölümü

\( \frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}} \) işleminin sonucunu bulalım.

Yine karekök alma özelliğini kullanarak:

\[ \frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{48}{3}} = \sqrt{16} \]

Ve \( \sqrt{16} = 4 \) olduğunu biliyoruz.

Sonuç: \( \frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}} = 4 \)

Kareköklerin Toplanması ve Çıkarılması

Karekökleri toplamak veya çıkarmak için, kareköklerin içindeki sayılar (kök dereceleri) aynı olmalıdır. Eğer aynıysa, katsayıları toplanır veya çıkarılır.

Örnek 4: Karekök Toplama

\( 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} \) işlemini yapalım.

Burada her iki terimde de \( \sqrt{5} \) olduğu için katsayıları toplayabiliriz:

\[ 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = (3+2)\sqrt{5} = 5\sqrt{5} \]

Örnek 5: Karekök Çıkarma

\( 7\sqrt{2} - 4\sqrt{2} \) işlemini yapalım.

Her iki terimde de \( \sqrt{2} \) olduğu için katsayıları çıkarabiliriz:

\[ 7\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = (7-4)\sqrt{2} = 3\sqrt{2} \]

Örnek 6: Farklı Kök Dereceli Karekökler

\( \sqrt{18} + \sqrt{8} \) işlemini yapalım.

Önce her iki karekökü de basitleştirmemiz gerekir:

• \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \)
• \( \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = \sqrt{4} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \)

Şimdi basitleştirilmiş hallerini toplayabiliriz:

\[ 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = (3+2)\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \]

Karekök alma işlemi, sayılarla çalışırken karşımıza çıkan önemli bir konudur. Özellikle geometri ve problem çözme gibi alanlarda kareköklerin doğru kullanılması büyük önem taşır.