İokbs çalışma kağıdı Ders Notu

İOKBS Çalışma Kağıdı: 9. Sınıf Matematik

Bu ders notu, 9. sınıf matematik müfredatına uygun olarak İOKBS sınavına hazırlık amacıyla hazırlanmıştır. Konular, MEB kazanımları dikkate alınarak detaylı bir şekilde anlatılacak ve bolca örnekle pekiştirilecektir.

Üslü İfadeler 🚀

Üslü ifadeler, bir sayının kendisiyle tekrarlı çarpımını daha kısa bir şekilde göstermek için kullanılır. Bir üslü ifadede taban ve üs olmak üzere iki temel eleman bulunur.

• Taban: Tekrarlı çarpılan sayıdır.
• Üs: Tabanın kaç defa kendisiyle çarpılacağını gösteren sayıdır.

Genel gösterimi \( a^n \) şeklindedir. Burada 'a' taban, 'n' ise üs'tür.

Temel Kurallar ve Özellikler

• Pozitif Tam Sayı Kuvvetleri: Herhangi bir sayının pozitif tam sayı kuvveti, sayının kendisiyle üssü kadar çarpılmasıdır.
  • Örnek: \( 3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81 \)
  • Örnek: \( (-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8 \)
• Sıfırıncı Kuvvet: Sıfır hariç her sayının sıfırıncı kuvveti 1'dir.
  • \( a^0 = 1 \) ( \( a \neq 0 \) )
  • Örnek: \( 5^0 = 1 \)
  • Örnek: \( (-7)^0 = 1 \)
  • Not: \( 0^0 \) belirsizdir.
• Birinci Kuvvet: Her sayının birinci kuvveti kendisidir.
  • \( a^1 = a \)
  • Örnek: \( 15^1 = 15 \)
• Negatif Tam Sayı Kuvvetleri: Bir sayının negatif tam sayı kuvveti, o sayının pozitif kuvvetinin çarpmaya göre tersidir.
  • \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \) ( \( a \neq 0 \) )
  • Örnek: \( 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \)
  • Örnek: \( (\frac{1}{3})^{-2} = \frac{1}{(\frac{1}{3})^2} = \frac{1}{\frac{1}{9}} = 9 \)

Üslü İfadelerde Çarpma ve Bölme İşlemleri

• Aynı Tabanlı Üslü İfadeleri Çarpma: Tabanlar aynı ise üsler toplanır.
  • \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)
  • Örnek: \( 2^3 \times 2^5 = 2^{3+5} = 2^8 \)
• Aynı Tabanlı Üslü İfadeleri Bölme: Tabanlar aynı ise payın üssünden paydanın üssü çıkarılır.
  • \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \) ( \( a \neq 0 \) )
  • Örnek: \( 5^7 \div 5^2 = 5^{7-2} = 5^5 \)
• Aynı Üslü İfadeleri Çarpma: Üsler aynı ise tabanlar çarpılır ve üs aynen kalır.
  • \( a^n \times b^n = (a \times b)^n \)
  • Örnek: \( 3^2 \times 5^2 = (3 \times 5)^2 = 15^2 = 225 \)
• Aynı Üslü İfadeleri Bölme: Üsler aynı ise tabanlar bölünür ve üs aynen kalır.
  • \( \frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n \) ( \( b \neq 0 \) )
  • Örnek: \( 10^3 \div 2^3 = (\frac{10}{2})^3 = 5^3 = 125 \)

Üssün Üssü

Bir üslü ifadenin üssü alındığında, üsler çarpılır.

• \( (a^m)^n = a^{m \times n} \)
• Örnek: \( (4^2)^3 = 4^{2 \times 3} = 4^6 \)
• Örnek: \( (x^5)^0 = x^{5 \times 0} = x^0 = 1 \) ( \( x \neq 0 \) )

Çözümlü Örnekler ✍️

Soru 1: \( 3^2 \times 3^4 \) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm: Tabanlar aynı olduğu için üsler toplanır. \( 3^2 \times 3^4 = 3^{2+4} = 3^6 \). \( 3^6 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 729 \).

Soru 2: \( \frac{7^5}{7^2} \) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm: Tabanlar aynı olduğu için payın üssünden paydanın üssü çıkarılır. \( \frac{7^5}{7^2} = 7^{5-2} = 7^3 \). \( 7^3 = 7 \times 7 \times 7 = 343 \).

Soru 3: \( (2^3)^4 \) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm: Üssün üssü alındığında üsler çarpılır. \( (2^3)^4 = 2^{3 \times 4} = 2^{12} \).

Soru 4: \( 5^{-2} \) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm: Negatif üs, sayının çarpmaya göre tersinin pozitif kuvveti anlamına gelir. \( 5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} \).

Karekök 📏

Bir sayının karesi alındığında elde edilen sayının, hangi sayının karesi olduğunu bulma işlemine karekök alma denir. Karekök sembolü \( \sqrt{} \) ile gösterilir.

• Eğer \( a^2 = b \) ise, \( b \)'nin karekökü \( a \)'dır ve \( \sqrt{b} = a \) şeklinde gösterilir.
• Karekökün içindeki sayı (radikand) negatif olamaz.
• \( \sqrt{0} = 0 \)
• \( \sqrt{1} = 1 \)

Karekök Alma Özellikleri

• Tam Kare Sayıların Karekökleri: Tam kare sayılar, bir tam sayının karesi olan sayılardır.
  • Örnek: \( \sqrt{9} = 3 \) çünkü \( 3^2 = 9 \)
  • Örnek: \( \sqrt{16} = 4 \) çünkü \( 4^2 = 16 \)
  • Örnek: \( \sqrt{100} = 10 \) çünkü \( 10^2 = 100 \)
• Karekök İçinde Çarpma: İki sayının çarpımının karekökü, kareköklerinin çarpımına eşittir.
  • \( \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \) ( \( a \ge 0, b \ge 0 \) )
  • Örnek: \( \sqrt{4 \times 9} = \sqrt{4} \times \sqrt{9} = 2 \times 3 = 6 \). Kontrol: \( \sqrt{36} = 6 \).
• Karekök İçinde Bölme: İki sayının bölümünün karekökü, kareköklerinin bölümüne eşittir.
  • \( \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \) ( \( a \ge 0, b > 0 \) )
  • Örnek: \( \sqrt{\frac{16}{4}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{4}} = \frac{4}{2} = 2 \). Kontrol: \( \sqrt{4} = 2 \).
• Karekök Dışındaki Sayıyı Karekök İçine Alma: Pozitif bir sayıyı karekök içine alırken karesi alınarak içeriye yazılır.
  • \( a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \times b} \) ( \( a \ge 0, b \ge 0 \) )
  • Örnek: \( 3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \times 2} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{18} \)
• Karekök İçindeki Sayıyı Karekök Dışına Alma: Karekök içindeki sayının çarpanlarından tam kare olanlar karekök dışına katsayı olarak çıkarılır.
  • Örnek: \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \)

Çözümlü Örnekler ✍️

Soru 1: \( \sqrt{64} \) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm: Hangi sayının karesi 64'tür? \( 8^2 = 64 \) olduğundan \( \sqrt{64} = 8 \).

Soru 2: \( \sqrt{12} \) işlemini sadeleştiriniz.

Çözüm: 12'yi çarpanlarına ayırıp tam kare çarpanı bulalım. \( 12 = 4 \times 3 \). O halde \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \).

Soru 3: \( 2\sqrt{5} \) ifadesini karekök içine alınız.

Çözüm: Katsayı olan 2'nin karesini alıp karekök içine yazarız. \( 2\sqrt{5} = \sqrt{2^2 \times 5} = \sqrt{4 \times 5} = \sqrt{20} \).

Soru 4: \( \sqrt{18} + \sqrt{8} \) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm: Önce karekökleri sadeleştirelim. \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2} \) ve \( \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2} \). Şimdi toplayabiliriz: \( 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = (3+2)\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \).

Denklemler ve Eşitsizlikler 📊

Denklemler, bilinmeyen içeren eşitliklerdir. Eşitsizlikler ise bilinmeyen içeren karşılaştırmalardır.

Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler

Bu seviyede genellikle \( ax + b = c \) veya \( ax + b < c \) gibi bir bilinmeyenli denklemler ve eşitsizlikler üzerinde durulur.

• Denklem Çözme: Bilinmeyeni yalnız bırakmak için ters işlemler kullanılır.
• Eşitsizlik Çözme: Denklem çözer gibi yapılır, ancak eşitsizlik her iki tarafı negatif bir sayıyla çarpılır veya bölünürse eşitsizlik yön değiştirir.

Çözümlü Örnekler ✍️

Soru 1: \( 2x + 5 = 11 \) denklemini çözünüz.

Çözüm:

1. Her iki taraftan 5 çıkarılır: \( 2x + 5 - 5 = 11 - 5 \Rightarrow 2x = 6 \)
2. Her iki taraf 2'ye bölünür: \( \frac{2x}{2} = \frac{6}{2} \Rightarrow x = 3 \)

Çözüm kümesi \( \{3\} \)'tür.

Soru 2: \( 3x - 4 > 8 \) eşitsizliğini çözünüz.

Çözüm:

1. Her iki tarafa 4 eklenir: \( 3x - 4 + 4 > 8 + 4 \Rightarrow 3x > 12 \)
2. Her iki taraf 3'e bölünür: \( \frac{3x}{3} > \frac{12}{3} \Rightarrow x > 4 \)

Çözüm kümesi \( (4, \infty) \) aralığıdır.

Soru 3: \( \frac{x}{2} - 1 = 3 \) denklemini çözünüz.

Çözüm:

1. Her iki tarafa 1 eklenir: \( \frac{x}{2} - 1 + 1 = 3 + 1 \Rightarrow \frac{x}{2} = 4 \)
2. Her iki taraf 2 ile çarpılır: \( \frac{x}{2} \times 2 = 4 \times 2 \Rightarrow x = 8 \)

Çözüm kümesi \( \{8\} \)'tür.

Soru 4: \( -2x + 1 \le 7 \) eşitsizliğini çözünüz.

Çözüm:

1. Her iki taraftan 1 çıkarılır: \( -2x + 1 - 1 \le 7 - 1 \Rightarrow -2x \le 6 \)
2. Her iki taraf -2'ye bölünür ve eşitsizlik yön değiştirir: \( \frac{-2x}{-2} \ge \frac{6}{-2} \Rightarrow x \ge -3 \)

Çözüm kümesi \( [-3, \infty) \) aralığıdır.