🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: İki Üçgenin Eş Veya Benzer Olması İçin Gerekli Koşullar Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: İki Üçgenin Eş Veya Benzer Olması İçin Gerekli Koşullar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Birinci üçgen ABC, ikinci üçgen DEF olsun.
ABC üçgeninin kenar uzunlukları: \( |AB| = 5 \) cm, \( |BC| = 7 \) cm, \( |CA| = 9 \) cm.
DEF üçgeninin kenar uzunlukları: \( |DE| = 5 \) cm, \( |EF| = 7 \) cm, \( |FD| = 9 \) cm.
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını belirleyiniz.
ABC üçgeninin kenar uzunlukları: \( |AB| = 5 \) cm, \( |BC| = 7 \) cm, \( |CA| = 9 \) cm.
DEF üçgeninin kenar uzunlukları: \( |DE| = 5 \) cm, \( |EF| = 7 \) cm, \( |FD| = 9 \) cm.
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını belirleyiniz.
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşlik Aksiyomu'nu kullanacağız. 💡
- 👉 KKK Eşlik Aksiyomu: İki üçgenin karşılıklı kenarlarının uzunlukları birbirine eşitse, bu üçgenler eştir.
- ABC üçgeninin kenar uzunlukları \( 5, 7, 9 \) cm'dir.
- DEF üçgeninin kenar uzunlukları \( 5, 7, 9 \) cm'dir.
- Karşılıklı kenarları kontrol edelim:
- \( |AB| = |DE| = 5 \) cm
- \( |BC| = |EF| = 7 \) cm
- \( |CA| = |FD| = 9 \) cm
- ✅ Görüldüğü gibi, ABC ve DEF üçgenlerinin tüm karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir.
- Sonuç olarak, KKK Eşlik Aksiyomu'na göre \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) 'dir. Yani bu iki üçgen eştir.
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde \( m(\widehat{A}) = 50^\circ \), \( m(\widehat{B}) = 70^\circ \) ve \( |AB| = 8 \) cm'dir.
Bir DEF üçgeninde \( m(\widehat{D}) = 50^\circ \), \( m(\widehat{E}) = 70^\circ \) ve \( |DE| = 8 \) cm'dir.
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını belirleyiniz.
Bir DEF üçgeninde \( m(\widehat{D}) = 50^\circ \), \( m(\widehat{E}) = 70^\circ \) ve \( |DE| = 8 \) cm'dir.
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını belirleyiniz.
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşlik Teoremi'ni kullanacağız. 📌
- 👉 AKA Eşlik Teoremi: İki üçgenin karşılıklı iki açısı ve bu açılar arasındaki kenarının uzunluğu birbirine eşitse, bu üçgenler eştir.
- ABC üçgenindeki veriler:
- \( m(\widehat{A}) = 50^\circ \)
- \( m(\widehat{B}) = 70^\circ \)
- Bu iki açı arasındaki kenar \( |AB| = 8 \) cm
- DEF üçgenindeki veriler:
- \( m(\widehat{D}) = 50^\circ \)
- \( m(\widehat{E}) = 70^\circ \)
- Bu iki açı arasındaki kenar \( |DE| = 8 \) cm
- Karşılıklı açıları ve aralarındaki kenarları kontrol edelim:
- \( m(\widehat{A}) = m(\widehat{D}) = 50^\circ \)
- \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) = 70^\circ \)
- \( |AB| = |DE| = 8 \) cm
- ✅ Görüldüğü gibi, iki üçgenin karşılıklı iki açısı ve bu açılar arasındaki kenar uzunlukları birbirine eşittir.
- Sonuç olarak, AKA Eşlik Teoremi'ne göre \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) 'dir. Yani bu iki üçgen eştir.
Örnek 3:
Bir ABC üçgeninde \( |AB| = 6 \) cm, \( |BC| = 10 \) cm ve \( m(\widehat{B}) = 40^\circ \)'dir.
Bir KLM üçgeninde \( |KL| = 6 \) cm, \( |LM| = 10 \) cm ve \( m(\widehat{L}) = 40^\circ \)'dir.
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını belirleyiniz.
Bir KLM üçgeninde \( |KL| = 6 \) cm, \( |LM| = 10 \) cm ve \( m(\widehat{L}) = 40^\circ \)'dir.
Bu iki üçgenin eş olup olmadığını belirleyiniz.
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşlik Teoremi'ni kullanacağız. 💡
- 👉 KAK Eşlik Teoremi: İki üçgenin karşılıklı iki kenarının uzunlukları ve bu kenarlar arasındaki açının ölçüsü birbirine eşitse, bu üçgenler eştir.
- ABC üçgenindeki veriler:
- Kenar \( |AB| = 6 \) cm
- Kenar \( |BC| = 10 \) cm
- Bu iki kenar arasındaki açı \( m(\widehat{B}) = 40^\circ \)
- KLM üçgenindeki veriler:
- Kenar \( |KL| = 6 \) cm
- Kenar \( |LM| = 10 \) cm
- Bu iki kenar arasındaki açı \( m(\widehat{L}) = 40^\circ \)
- Karşılıklı kenarları ve aralarındaki açıları kontrol edelim:
- \( |AB| = |KL| = 6 \) cm
- \( |BC| = |LM| = 10 \) cm
- \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{L}) = 40^\circ \)
- ✅ Görüldüğü gibi, iki üçgenin karşılıklı iki kenarı ve bu kenarlar arasındaki açısı birbirine eşittir.
- Sonuç olarak, KAK Eşlik Teoremi'ne göre \( \triangle ABC \cong \triangle KLM \) 'dir. Yani bu iki üçgen eştir.
Örnek 4:
Bir ABC üçgeninde \( m(\widehat{A}) = 60^\circ \) ve \( m(\widehat{B}) = 80^\circ \)'dir.
Bir DEF üçgeninde \( m(\widehat{D}) = 60^\circ \) ve \( m(\widehat{E}) = 80^\circ \)'dir.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını belirleyiniz ve benzerlik oranını yorumlayınız.
Bir DEF üçgeninde \( m(\widehat{D}) = 60^\circ \) ve \( m(\widehat{E}) = 80^\circ \)'dir.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını belirleyiniz ve benzerlik oranını yorumlayınız.
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Açı-Açı (A.A.) Benzerlik Teoremi'ni kullanacağız. 📌
- 👉 A.A. Benzerlik Teoremi: İki üçgenin karşılıklı iki açısı eş ise, bu üçgenler benzerdir.
- ABC üçgenindeki açılar:
- \( m(\widehat{A}) = 60^\circ \)
- \( m(\widehat{B}) = 80^\circ \)
- Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, \( m(\widehat{C}) = 180^\circ - (60^\circ + 80^\circ) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ \).
- DEF üçgenindeki açılar:
- \( m(\widehat{D}) = 60^\circ \)
- \( m(\widehat{E}) = 80^\circ \)
- Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, \( m(\widehat{F}) = 180^\circ - (60^\circ + 80^\circ) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ \).
- Karşılıklı açılar eş mi kontrol edelim:
- \( m(\widehat{A}) = m(\widehat{D}) = 60^\circ \)
- \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) = 80^\circ \)
- \( m(\widehat{C}) = m(\widehat{F}) = 40^\circ \)
- ✅ Görüldüğü gibi, ABC ve DEF üçgenlerinin tüm karşılıklı açıları birbirine eşittir. Bu nedenle bu üçgenler benzerdir: \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \).
- Benzerlik oranı hakkında kesin bir şey söyleyemeyiz çünkü kenar uzunlukları verilmemiştir. Sadece üçgenlerin şekillerinin aynı olduğunu, boyutlarının farklı olabileceğini biliyoruz.
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninde, BC kenarına paralel olan DE doğrusu, AB kenarını D noktasında, AC kenarını E noktasında kesiyor.
\( |AD| = 4 \) cm, \( |DB| = 6 \) cm ve \( |AE| = 3 \) cm olduğuna göre, \( |EC| \) uzunluğunu bulunuz.
\( |AD| = 4 \) cm, \( |DB| = 6 \) cm ve \( |AE| = 3 \) cm olduğuna göre, \( |EC| \) uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Temel Orantı Teoremi (Thales Teoremi)'ni kullanacağız. 💡
- 👉 Temel Orantı Teoremi: Bir üçgenin bir kenarına paralel olan bir doğru, diğer iki kenarı kestiğinde, bu kenarları orantılı parçalara ayırır. Ayrıca, oluşan küçük üçgen büyük üçgene benzerdir.
- Verilenler:
- \( DE \parallel BC \)
- \( |AD| = 4 \) cm
- \( |DB| = 6 \) cm
- \( |AE| = 3 \) cm
- Temel Orantı Teoremi'ne göre, kenarlar arasındaki oranlar eşittir: \[ \frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|} \]
- Verilen değerleri yerine yazalım: \[ \frac{4}{6} = \frac{3}{|EC|} \]
- Denklemi çözmek için içler dışlar çarpımı yapalım: \[ 4 \times |EC| = 6 \times 3 \] \[ 4 \times |EC| = 18 \]
- Her iki tarafı 4'e bölelim: \[ |EC| = \frac{18}{4} \] \[ |EC| = 4.5 \text{ cm} \]
- ✅ Sonuç olarak, \( |EC| \) uzunluğu \( 4.5 \) cm'dir.
Örnek 6:
Bir ABC üçgeninde \( |AB| = 6 \) cm, \( |AC| = 9 \) cm ve \( m(\widehat{A}) = 50^\circ \)'dir.
Bir DEF üçgeninde \( |DE| = 10 \) cm, \( |DF| = 15 \) cm ve \( m(\widehat{D}) = 50^\circ \)'dir.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını belirleyiniz ve benzerlik oranını bulunuz.
Bir DEF üçgeninde \( |DE| = 10 \) cm, \( |DF| = 15 \) cm ve \( m(\widehat{D}) = 50^\circ \)'dir.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını belirleyiniz ve benzerlik oranını bulunuz.
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerlik Teoremi'ni kullanacağız. 💡
- 👉 KAK Benzerlik Teoremi: İki üçgenin karşılıklı iki kenarının uzunlukları orantılı ve bu kenarlar arasındaki açılar eşit ise, bu üçgenler benzerdir.
- ABC üçgenindeki veriler:
- Kenar \( |AB| = 6 \) cm
- Kenar \( |AC| = 9 \) cm
- Bu iki kenar arasındaki açı \( m(\widehat{A}) = 50^\circ \)
- DEF üçgenindeki veriler:
- Kenar \( |DE| = 10 \) cm
- Kenar \( |DF| = 15 \) cm
- Bu iki kenar arasındaki açı \( m(\widehat{D}) = 50^\circ \)
- Karşılıklı açıları kontrol edelim:
- \( m(\widehat{A}) = m(\widehat{D}) = 50^\circ \). Açılar eşit, bu ilk koşul tamam.
- Karşılıklı kenarların oranlarını kontrol edelim:
- \( \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \)
- \( \frac{|AC|}{|DF|} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} \)
- ✅ Kenarlar arasındaki oranlar eşit (\( \frac{3}{5} \)) ve bu kenarlar arasındaki açılar da eşit olduğundan, KAK Benzerlik Teoremi'ne göre \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) 'dir.
- Benzerlik oranı \( k = \frac{3}{5} \)'tir.
Örnek 7:
Bir öğrenci, bir duvara yaslanmış 120 cm uzunluğundaki bir merdivenin alt ucunu duvardan 72 cm uzağa yerleştiriyor. Merdivenin duvara değdiği nokta ile yer arasındaki yüksekliği hesaplamak istiyor.
Aynı öğrenci, daha sonra merdiveni başka bir duvara yaslıyor. Bu sefer merdivenin üst ucu yerden 96 cm yükseklikte ve merdivenin alt ucu duvardan 72 cm uzakta. Merdivenin uzunluğunu bulunuz.
Bu iki durumdaki üçgenlerin benzer olup olmadığını açıklayınız.
Aynı öğrenci, daha sonra merdiveni başka bir duvara yaslıyor. Bu sefer merdivenin üst ucu yerden 96 cm yükseklikte ve merdivenin alt ucu duvardan 72 cm uzakta. Merdivenin uzunluğunu bulunuz.
Bu iki durumdaki üçgenlerin benzer olup olmadığını açıklayınız.
Çözüm:
Bu problemde iki farklı dik üçgen durumu oluşmaktadır. 📐 Merdiven, duvar ve yer bir dik üçgen oluşturur.
- 1. Durum (Merdiven 1):
- Merdiven uzunluğu (hipotenüs) \( c_1 = 120 \) cm.
- Duvardan uzaklık (bir dik kenar) \( a_1 = 72 \) cm.
- Duvara değdiği nokta ile yer arasındaki yükseklik (diğer dik kenar) \( h_1 \) olsun.
- Pisagor Teoremi'ne göre: \( a_1^2 + h_1^2 = c_1^2 \)
- \( 72^2 + h_1^2 = 120^2 \)
- \( 5184 + h_1^2 = 14400 \)
- \( h_1^2 = 14400 - 5184 = 9216 \)
- \( h_1 = \sqrt{9216} = 96 \) cm.
- 1. üçgenin kenarları: \( 72, 96, 120 \). (Bunlar aslında \( 24 \times 3, 24 \times 4, 24 \times 5 \) yani \( 3k, 4k, 5k \) üçgenidir.)
- 2. Durum (Merdiven 2):
- Duvardan uzaklık (bir dik kenar) \( a_2 = 72 \) cm.
- Yerden yükseklik (diğer dik kenar) \( h_2 = 96 \) cm.
- Merdiven uzunluğu (hipotenüs) \( c_2 \) olsun.
- Pisagor Teoremi'ne göre: \( a_2^2 + h_2^2 = c_2^2 \)
- \( 72^2 + 96^2 = c_2^2 \)
- \( 5184 + 9216 = c_2^2 \)
- \( c_2^2 = 14400 \)
- \( c_2 = \sqrt{14400} = 120 \) cm.
- 2. üçgenin kenarları: \( 72, 96, 120 \).
- Benzerlik Durumu:
- 1. durumdaki üçgenin kenarları \( (72, 96, 120) \).
- 2. durumdaki üçgenin kenarları \( (72, 96, 120) \).
- Her iki üçgenin de kenar uzunlukları tamamen aynıdır. Bu, KKK Eşlik Aksiyomu'na göre bu üçgenlerin eş olduğu anlamına gelir.
- Eş olan üçgenler aynı zamanda benzerdir ve benzerlik oranı 1'dir.
- ✅ Sonuç olarak, merdivenin uzunluğu \( 120 \) cm'dir. İki durumdaki üçgenler kenar uzunlukları aynı olduğu için eştir (ve dolayısıyla benzerdir).
Örnek 8:
Güneşli bir günde, 1.80 metre boyundaki bir kişinin gölge boyu 2.40 metredir.
Aynı anda, yakındaki bir ağacın gölge boyu 8 metredir.
Bu bilgilere göre ağacın boyunu hesaplayınız.
Aynı anda, yakındaki bir ağacın gölge boyu 8 metredir.
Bu bilgilere göre ağacın boyunu hesaplayınız.
Çözüm:
Bu problemde Açı-Açı (A.A.) Benzerlik Teoremi'ni kullanacağız. Güneş ışınları yeryüzüne paralel geldiği için, aynı anda oluşan gölgeler benzer üçgenler oluşturur. ☀️
- 👉 A.A. Benzerlik Teoremi: İki üçgenin karşılıklı iki açısı eş ise, bu üçgenler benzerdir.
- 1. Kişi için üçgen (Kişi-Gölge-Yer):
- Kişinin boyu \( (h_k) = 1.80 \) m.
- Kişinin gölge boyu \( (g_k) = 2.40 \) m.
- Yere dik durduğu için kişi ve yer arasındaki açı \( 90^\circ \).
- Güneş ışınlarının yerle yaptığı açı her iki durumda da aynıdır. Bu da iki üçgenin birer açısının eşit olduğunu gösterir.
- 2. Ağaç için üçgen (Ağaç-Gölge-Yer):
- Ağacın boyu \( (h_a) = ? \) (Bunu bulacağız.)
- Ağacın gölge boyu \( (g_a) = 8 \) m.
- Ağaç yere dik durduğu için ağaç ve yer arasındaki açı \( 90^\circ \).
- İki üçgende de:
- Birer açı \( 90^\circ \)'dir (dik durma).
- Güneş ışınlarının yerle yaptığı açı aynıdır.
- ✅ Bu nedenle, A.A. Benzerlik Teoremi'ne göre bu iki üçgen benzerdir.
- Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir: \[ \frac{\text{Kişinin Boyu}}{\text{Kişinin Gölge Boyu}} = \frac{\text{Ağacın Boyu}}{\text{Ağacın Gölge Boyu}} \] \[ \frac{h_k}{g_k} = \frac{h_a}{g_a} \]
- Verilen değerleri yerine yazalım: \[ \frac{1.80}{2.40} = \frac{h_a}{8} \]
- Oranı sadeleştirelim: \[ \frac{180}{240} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4} \]
- Şimdi denklemi tekrar yazalım: \[ \frac{3}{4} = \frac{h_a}{8} \]
- \( h_a \) değerini bulmak için içler dışlar çarpımı yapabiliriz veya 8'i 4'e bölüp 3 ile çarpabiliriz: \[ 4 \times h_a = 3 \times 8 \] \[ 4 \times h_a = 24 \] \[ h_a = \frac{24}{4} \] \[ h_a = 6 \text{ metre} \]
- ✅ Sonuç olarak, ağacın boyu \( 6 \) metredir.
Örnek 9:
Bir üçgenin kenar uzunlukları 6 cm, 8 cm ve 10 cm'dir. Bu üçgeni ABC olarak adlandıralım.
Başka bir üçgenin kenar uzunlukları 9 cm, 12 cm ve 15 cm'dir. Bu üçgeni DEF olarak adlandıralım.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını belirleyiniz ve benzerlik oranını bulunuz.
Başka bir üçgenin kenar uzunlukları 9 cm, 12 cm ve 15 cm'dir. Bu üçgeni DEF olarak adlandıralım.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını belirleyiniz ve benzerlik oranını bulunuz.
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerlik Teoremi'ni kullanacağız. 📌
- 👉 KKK Benzerlik Teoremi: İki üçgenin karşılıklı kenarlarının uzunlukları orantılı ise, bu üçgenler benzerdir.
- ABC üçgeninin kenarları: \( a_1 = 6 \), \( b_1 = 8 \), \( c_1 = 10 \).
- DEF üçgeninin kenarları: \( a_2 = 9 \), \( b_2 = 12 \), \( c_2 = 15 \).
- Karşılıklı kenarlar arasındaki oranları kontrol edelim (küçükten büyüğe doğru eşleştirelim):
- \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \)
- \( \frac{b_1}{b_2} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \)
- \( \frac{c_1}{c_2} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \)
- ✅ Görüldüğü gibi, tüm karşılıklı kenar uzunlukları arasındaki oranlar birbirine eşittir (\( \frac{2}{3} \)).
- Bu nedenle, KKK Benzerlik Teoremi'ne göre \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) 'dir. Yani bu iki üçgen benzerdir.
- Benzerlik oranı \( k = \frac{2}{3} \)'tür.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-iki-ucgenin-es-veya-benzer-olmasi-icin-gerekli-kosullar/sorular