💡 9. Sınıf Matematik: Gerçek Sayıların Üslü Ve Köklü Gösterimi Çözümlü Örnekler

✅ Çözüm:

Üslü sayılarda toplama ve bölme işlemlerinin kurallarını uygulayarak soruyu adım adım çözelim:

• 1. Adım: Pay kısmındaki ifadeyi ortak çarpan parantezine alalım. En küçük üsse sahip olan \( 2^9 \) parantezine alırsak: \[ 2^{10} + 2^9 = 2^9 \times (2^1 + 1) \]
• 2. Adım: Parantez içindeki işlemi yapalım: \[ 2^1 + 1 = 2 + 1 = 3 \] Bu durumda pay kısmı \( 3 \times 2^9 \) olur.
• 3. Adım: Şimdi elde ettiğimiz bu ifadeyi paydaya bölelim: \[ \frac{3 \times 2^9}{2^8} \]
• 4. Adım: Üslü sayılarda bölme kuralına göre tabanlar aynı ise payın üssünden paydanın üssü çıkarılır: \[ 3 \times 2^{9-8} = 3 \times 2^1 = 3 \times 2 = 6 \]

Sonuç: İşlemin sonucu 6 olarak bulunur.

✅ Çözüm:

Üslü denklemi çözmek için ortak çarpan parantezine alma yöntemini kullanalım:

• 1. Adım: \( 3^{x+2} \) ifadesini üslü sayıların çarpma kuralını tersten uygulayarak parçalayalım: \[ 3^{x+2} = 3^x \times 3^2 = 9 \times 3^x \]
• 2. Adım: Bu ifadeyi denklemde yerine yazalım: \[ 9 \times 3^x - 3^x = 24 \]
• 3. Adım: Sol tarafı \( 3^x \) ortak parantezine alalım: \[ 3^x \times (9 - 1) = 24 \] \[ 3^x \times 8 = 24 \]
• 4. Adım: Her iki tarafı da 8'e bölelim: \[ 3^x = \frac{24}{8} \] \[ 3^x = 3 \]
• 5. Adım: Tabanlar eşit olduğuna göre üsler de eşit olmalıdır. \( 3^1 = 3 \) olduğundan: \[ x = 1 \]

Sonuç: Denklemi sağlayan \( x \) değeri 1'dir.

✅ Çözüm:

Köklü bir ifadenin gerçek sayı (reel sayı) belirtmesi için kök derecesi çift olduğunda kök içinin sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir.

• 1. Adım: İlk terim olan \( \sqrt{x-3} \) ifadesinin kök derecesi yazılmadığı için 2'dir (çifttir). Bu yüzden: \[ x - 3 \ge 0 \implies x \ge 3 \]
• 2. Adım: İkinci terim olan \( \sqrt[4]{7-x} \) ifadesinin kök derecesi 4'tür (çifttir). Bu yüzden: \[ 7 - x \ge 0 \implies 7 \ge x \implies x \le 7 \]
• 3. Adım: Her iki şartı da sağlayan ortak aralığı bulalım: \[ 3 \le x \le 7 \]
• 4. Adım: Bu aralıktaki \( x \) tam sayı değerlerini yazalım ve toplayalım: \( x \) değerleri: 3, 4, 5, 6, 7'dir. \[ \text{Toplam} = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25 \]

Sonuç: Alabileceği değerlerin toplamı 25'tir.

✅ Çözüm:

Paydayı rasyonel yapmak için eşlenik çarpımı uygulamalıyız:

• 1. Adım: \( \sqrt{3}-1 \) ifadesinin eşleniği olan \( \sqrt{3}+1 \) ile kesrin pay ve paydasını çarpalım: \[ \frac{2 \times (\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1) \times (\sqrt{3}+1)} \]
• 2. Adım: Paydadaki iki kare farkı özdeşliğini uygulayalım: \[ (\sqrt{3}-1) \times (\sqrt{3}+1) = (\sqrt{3})^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2 \]
• 3. Adım: Kesri yeniden yazalım ve sadeleştirelim: \[ \frac{2 \times (\sqrt{3}+1)}{2} = \sqrt{3}+1 \]
• 4. Adım: Şimdi sorudaki çıkarma işlemini gerçekleştirelim: \[ (\sqrt{3}+1) - \sqrt{3} = 1 \]

Sonuç: İşlemin en sade sonucu 1'dir.

✅ Çözüm:

Bakteri sayısının saatlere göre değişimini üslü sayılarla modelleyelim:

• Başlangıçta: \( 3^4 \) bakteri var.
• 1. Saatin Sonunda: \( 3^4 \times 3 = 3^5 \) bakteri olur.
• 2. Saatin Sonunda: \( 3^5 \times 3 = 3^6 \) bakteri olur.
• Genel Kural: Her saat sonunda bakteri sayısı \( 3 \) ile çarpıldığı için, \( n \) saat sonraki bakteri sayısı başlangıç miktarının \( 3^n \) katı olur.
• 5. Saatin Sonunda: \[ 3^4 \times 3^5 \]
• Hesaplama: Tabanları aynı olan üslü sayılar çarpılırken üsler toplanır: \[ 3^{4+5} = 3^9 \]

Sonuç: 5 saatin sonunda laboratuvarda \( 3^9 \) adet bakteri bulunur.

✅ Çözüm:

Kare şeklindeki bir bölgenin alanı biliniyorsa, bir kenar uzunluğu alanın kareköküne eşittir.

• 1. Adım: Parkın bir kenar uzunluğunu \( a \) ile gösterirsek: \[ a = \sqrt{150} \text{ metre} \]
• 2. Adım: \( \sqrt{150} \) sayısının hangi tam sayılar arasında olduğunu bulmak için tam kare sayıları hatırlayalım: \[ 12^2 = 144 \] \[ 13^2 = 169 \]
• 3. Adım: Sayıları sıralayalım: \[ 144 < 150 < 169 \] Her tarafın karekökünü alırsak: \[ \sqrt{144} < \sqrt{150} < \sqrt{169} \] \[ 12 < \sqrt{150} < 13 \]

Sonuç: Parkın bir kenar uzunluğu \( \sqrt{150} \) metredir ve bu uzunluk 12 ile 13 metre arasındadır.

✅ Çözüm:

Köklü ifadelerde sadeleştirme ve çevre hesabı adımlarını uygulayalım:

• 1. Adım: Karenin bir kenar uzunluğunu en sade biçimde yazalım: \[ \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2} \text{ cm} \]
• 2. Adım: 4 adet kare yan yana dizildiğinde oluşan dikdörtgenin kısa kenarı bir karenin kenarına, uzun kenarı ise 4 karenin kenar uzunlukları toplamına eşit olur:
  • Kısa kenar = \( 3\sqrt{2} \text{ cm} \)
  • Uzun kenar = \( 4 \times 3\sqrt{2} = 12\sqrt{2} \text{ cm} \)
• 3. Adım: Dikdörtgenin çevre formülünü uygulayalım: Çevre = \( 2 \times (\text{Kısa Kenar} + \text{Uzun Kenar}) \) \[ \text{Çevre} = 2 \times (3\sqrt{2} + 12\sqrt{2}) \] \[ \text{Çevre} = 2 \times 15\sqrt{2} = 30\sqrt{2} \text{ cm} \]

Sonuç: Oluşan dikdörtgenin çevresi \( 30\sqrt{2} \) cm'dir.

✅ Çözüm:

Köklü ifadeyi üslü ifadeye çevirerek denklemi çözelim:

• 1. Adım: Köklü ifadeyi üslü sayı biçiminde yazma kuralını uygulayalım (\( \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \)): \[ 2^{\frac{x+1}{3}} = 4 \]
• 2. Adım: Eşitliğin sağ tarafındaki 4 sayısını 2 tabanında yazalım: \[ 2^{\frac{x+1}{3}} = 2^2 \]
• 3. Adım: Tabanlar eşit olduğuna göre üsler de eşit olmalıdır: \[ \frac{x+1}{3} = 2 \]
• 4. Adım: İçler dışlar çarpımı yaparak \( x \) değerini bulalım: \[ x + 1 = 6 \] \[ x = 5 \]

Sonuç: Denklemi sağlayan \( x \) değeri 5'tir.