🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Gerçek Sayıların Üslü Ve Köklü Gösterimi Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Gerçek Sayıların Üslü Ve Köklü Gösterimi Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
💡 Aşağıdaki üslü ifadelerin değerlerini bulunuz.
a) \( (-3)^3 \)
b) \( (-2)^4 \)
c) \( \left(\frac{1}{5}\right)^{-2} \)
a) \( (-3)^3 \)
b) \( (-2)^4 \)
c) \( \left(\frac{1}{5}\right)^{-2} \)
Çözüm:
👉 Üslü ifadelerde işaret ve negatif üs kurallarına dikkat edelim.
- a) \( (-3)^3 \): Negatif bir sayının tek kuvveti yine negatiftir.
\( (-3) \times (-3) \times (-3) = 9 \times (-3) = -27 \)
Sonuç: \( -27 \) ✅ - b) \( (-2)^4 \): Negatif bir sayının çift kuvveti pozitiftir.
\( (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = 4 \times 4 = 16 \)
Sonuç: \( 16 \) ✅ - c) \( \left(\frac{1}{5}\right)^{-2} \): Negatif üs, tabanı ters çevirir.
\( \left(\frac{1}{5}\right)^{-2} = \left(\frac{5}{1}\right)^2 = 5^2 = 25 \)
Sonuç: \( 25 \) ✅
Örnek 2:
📌 \( \sqrt{72} + \sqrt{18} - \sqrt{8} \) işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm:
👉 Köklü ifadeleri toplayıp çıkarabilmek için kök içlerinin aynı olması gerekir. Bunun için kök içindeki sayıları çarpanlarına ayırarak kök dışına çıkaralım.
- Öncelikle her bir köklü ifadeyi sadeleştirelim:
- \( \sqrt{72} \): \( 72 = 36 \times 2 \) olduğundan, \( \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2} \)
- \( \sqrt{18} \): \( 18 = 9 \times 2 \) olduğundan, \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \)
- \( \sqrt{8} \): \( 8 = 4 \times 2 \) olduğundan, \( \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = \sqrt{4} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \)
- Şimdi bu sadeleştirilmiş ifadeleri ana denklemde yerine yazalım:
\( 6\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} \) - Kök içleri aynı olduğu için katsayıları toplayıp çıkarabiliriz:
\( (6 + 3 - 2)\sqrt{2} = (9 - 2)\sqrt{2} = 7\sqrt{2} \)
Örnek 3:
💡 Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz:
\( \frac{2^{10} \times 4^3}{8^4} \)
\( \frac{2^{10} \times 4^3}{8^4} \)
Çözüm:
👉 Üslü ifadelerde çarpma ve bölme yaparken tabanları aynı yapmaya çalışırız. Burada tabanları 2'nin kuvveti olarak yazabiliriz.
- \( 4 = 2^2 \) ve \( 8 = 2^3 \) olduğunu biliyoruz. Bu değerleri ifadede yerine yazalım:
\( \frac{2^{10} \times (2^2)^3}{(2^3)^4} \) - Üssün üssü kuralını uygulayalım: \( (a^m)^n = a^{m \times n} \)
\( (2^2)^3 = 2^{2 \times 3} = 2^6 \)
\( (2^3)^4 = 2^{3 \times 4} = 2^{12} \) - İfadeyi yeniden yazalım:
\( \frac{2^{10} \times 2^6}{2^{12}} \) - Pay kısmında tabanları aynı olan üslü ifadeleri çarpalım: \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)
\( 2^{10} \times 2^6 = 2^{10+6} = 2^{16} \) - Şimdi bölme işlemini yapalım: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)
\( \frac{2^{16}}{2^{12}} = 2^{16-12} = 2^4 \) - Son olarak \( 2^4 \) değerini hesaplayalım:
\( 2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16 \)
Örnek 4:
📌 \( \sqrt[3]{54} + \sqrt[3]{16} - \sqrt[3]{250} \) işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm:
👉 Küpkökleri toplayıp çıkarabilmek için kök içlerinin aynı olması gerekir. Kök içindeki sayıları küp çarpanlarına ayırarak kök dışına çıkaralım.
- \( \sqrt[3]{54} \): \( 54 = 27 \times 2 \) ve \( 27 = 3^3 \) olduğundan,
\( \sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \times 2} = \sqrt[3]{27} \times \sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2} \) - \( \sqrt[3]{16} \): \( 16 = 8 \times 2 \) ve \( 8 = 2^3 \) olduğundan,
\( \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \times 2} = \sqrt[3]{8} \times \sqrt[3]{2} = 2\sqrt[3]{2} \) - \( \sqrt[3]{250} \): \( 250 = 125 \times 2 \) ve \( 125 = 5^3 \) olduğundan,
\( \sqrt[3]{250} = \sqrt[3]{125 \times 2} = \sqrt[3]{125} \times \sqrt[3]{2} = 5\sqrt[3]{2} \) - Şimdi bu sadeleştirilmiş ifadeleri ana denklemde yerine yazalım:
\( 3\sqrt[3]{2} + 2\sqrt[3]{2} - 5\sqrt[3]{2} \) - Kök içleri aynı olduğu için katsayıları toplayıp çıkarabiliriz:
\( (3 + 2 - 5)\sqrt[3]{2} = (5 - 5)\sqrt[3]{2} = 0\sqrt[3]{2} = 0 \)
Örnek 5:
💡 \( \frac{1}{\sqrt{5}-2} \) ifadesinin paydasını rasyonel yapınız.
Çözüm:
👉 Paydayı rasyonel yapmak için, paydada bulunan ifadenin eşleniği ile hem payı hem de paydayı çarparız. \( \sqrt{a}-b \) şeklindeki bir ifadenin eşleniği \( \sqrt{a}+b \) şeklindedir.
- Paydada \( \sqrt{5}-2 \) ifadesi bulunmaktadır. Bu ifadenin eşleniği \( \sqrt{5}+2 \) olacaktır.
- Şimdi kesri bu eşlenik ile çarpalım:
\( \frac{1}{\sqrt{5}-2} \times \frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2} \) - Pay kısmını çarpalım: \( 1 \times (\sqrt{5}+2) = \sqrt{5}+2 \)
- Payda kısmını çarparken iki kare farkı özdeşliğini kullanırız: \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \)
Burada \( a = \sqrt{5} \) ve \( b = 2 \) dir.
\( (\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2) = (\sqrt{5})^2 - (2)^2 = 5 - 4 = 1 \) - Son olarak ifadeyi birleştirelim:
\( \frac{\sqrt{5}+2}{1} = \sqrt{5}+2 \)
Örnek 6:
📌 \( 3^{x+1} + 3^{x+2} = 108 \) denklemini sağlayan \( x \) değerini bulunuz.
Çözüm:
👉 Üslü ifadelerde toplama işlemi yapabilmek için ifadelerin aynı terim cinsinden yazılması gerekir. \( a^{m+n} = a^m \times a^n \) kuralını kullanalım.
- Denklemdeki terimleri açalım:
\( 3^{x+1} = 3^x \times 3^1 = 3 \times 3^x \)
\( 3^{x+2} = 3^x \times 3^2 = 9 \times 3^x \) - Bu ifadeleri denklemde yerine yazalım:
\( 3 \times 3^x + 9 \times 3^x = 108 \) - Şimdi \( 3^x \) ortak çarpan parantezine alalım:
\( 3^x (3 + 9) = 108 \)
\( 3^x (12) = 108 \) - Her iki tarafı 12'ye bölelim:
\( 3^x = \frac{108}{12} \)
\( 3^x = 9 \) - 9'u 3'ün kuvveti olarak yazalım: \( 9 = 3^2 \)
\( 3^x = 3^2 \) - Tabanlar eşit olduğu için üsler de eşit olmalıdır:
\( x = 2 \)
Örnek 7:
🌳 Bir bakteri türü, her 20 dakikada bir sayısını 2 katına çıkarmaktadır. Başlangıçta 100 bakteri olduğuna göre, 2 saatin sonunda bu ortamda kaç bakteri olur?
Çözüm:
👉 Bakterilerin üremesi üslü sayılarla modellenebilen bir durumdur.
- Öncelikle toplam süreyi (2 saat) 20 dakikalık periyotlara bölelim:
1 saat = 60 dakika
2 saat = \( 2 \times 60 = 120 \) dakika - Her 20 dakikada bir katlandığına göre, 120 dakika içinde kaç kez katlanma olacağını bulalım:
Katlanma sayısı = \( \frac{120 \text{ dakika}}{20 \text{ dakika}} = 6 \) kez - Her katlanmada bakteri sayısı 2 katına çıkıyor. Yani 6 katlanma sonunda başlangıçtaki sayının \( 2^6 \) katı olacaktır.
- \( 2^6 \) değerini hesaplayalım:
\( 2^6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64 \) - Başlangıçta 100 bakteri vardı. 6 katlanma sonunda toplam bakteri sayısı:
\( 100 \times 64 = 6400 \)
Örnek 8:
📏 Bir marangoz, kenar uzunluğu \( \sqrt{125} \) cm olan kare şeklindeki ahşap bir levhayı, kenar uzunluğu \( \sqrt{5} \) cm olan kare parçalara ayırmak istiyor. Marangoz bu levhadan en fazla kaç tane küçük kare parça elde edebilir?
Çözüm:
👉 Bir büyük alandan kaç tane küçük alan elde edileceğini bulmak için, büyük alanın küçük alana oranını hesaplamamız gerekir.
- Büyük kare levhanın kenar uzunluğu \( \sqrt{125} \) cm'dir.
Alanı = \( (\sqrt{125})^2 = 125 \) cm\(^2\) - Küçük kare parçanın kenar uzunluğu \( \sqrt{5} \) cm'dir.
Alanı = \( (\sqrt{5})^2 = 5 \) cm\(^2\) - Elde edilebilecek küçük kare parça sayısı, büyük levhanın alanının küçük parçanın alanına bölümüdür:
Parça Sayısı = \( \frac{\text{Büyük Levhanın Alanı}}{\text{Küçük Parçanın Alanı}} = \frac{125}{5} \) - Bölme işlemini yapalım:
\( \frac{125}{5} = 25 \) - Alternatif olarak, kenar uzunlukları oranını bulup karesini alabiliriz:
Kenar uzunlukları oranı = \( \frac{\sqrt{125}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{125}{5}} = \sqrt{25} = 5 \)
Parça sayısı = \( (\text{Kenar uzunlukları oranı})^2 = 5^2 = 25 \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-gercek-sayilarin-uslu-ve-koklu-gosterimi/sorular