Gerçek Sayıların Üslü Ve Köklü Gösterimi Ders Notu

Gerçek sayılar kümesindeki elemanların daha kolay ifade edilmesi ve üzerinde işlem yapılabilmesi için üslü ve köklü gösterimler kullanılır. Bu gösterimler, matematikte birçok alanda temel oluşturur.

Üslü Sayılar (Gerçek Sayıların Üslü Gösterimi)

Bir sayının kendisiyle tekrarlı çarpımının kısa yoldan gösterilmesine üslü ifade denir.

Üslü Sayı Nedir? 🧐

Bir \(a\) gerçek sayısı ve bir \(n\) pozitif tam sayısı için, \(n\) tane \(a\) sayısının çarpımı \(a^n\) şeklinde gösterilir.

\[ a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ tane}} \]

Burada;

• \(a\): Taban
• \(n\): Üs (Kuvvet)
• \(a^n\): Üslü İfade olarak adlandırılır.

Örnek:

• \(2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\)
• \(5^2 = 5 \cdot 5 = 25\)
• \((-3)^4 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 81\)

Üslü Sayıların Özellikleri ✨

1. Pozitif Tam Sayı Kuvvetleri

Bir \(a\) gerçek sayısının pozitif tam sayı kuvvetleri, tanım gereği \(a^n\) şeklindedir.

Örnek:

• \(3^2 = 9\)
• \((1/2)^3 = 1/8\)

2. Negatif Tam Sayı Kuvvetleri

Sıfırdan farklı bir \(a\) gerçek sayısının negatif tam sayı kuvveti, sayının çarpma işlemine göre tersinin pozitif kuvveti olarak alınır.

\[ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \]

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n = \frac{b^n}{a^n} \quad (a \ne 0, b \ne 0) \]

Örnek:

• \(2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\)
• \((-5)^{-2} = \frac{1}{(-5)^2} = \frac{1}{25}\)
• \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}\)

3. Sıfırıncı Kuvvet

Sıfırdan farklı her gerçek sayının sıfırıncı kuvveti \(1\)'e eşittir.

\[ a^0 = 1 \quad (a \ne 0) \]

Örnek:

• \(7^0 = 1\)
• \((-15)^0 = 1\)
• \((2/3)^0 = 1\)
• \(0^0\) belirsizdir.

4. Üslü Sayılarda Çarpma İşlemi

• Tabanlar Aynı İse: Üsler toplanır.

  \[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]

  Örnek: \(3^2 \cdot 3^4 = 3^{2+4} = 3^6\)

• Üsler Aynı İse: Tabanlar çarpılır.

  \[ a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n \]

  Örnek: \(2^3 \cdot 5^3 = (2 \cdot 5)^3 = 10^3\)

5. Üslü Sayılarda Bölme İşlemi

• Tabanlar Aynı İse: Payın üssünden paydanın üssü çıkarılır.

  \[ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad (a \ne 0) \]

  Örnek: \(\frac{5^7}{5^3} = 5^{7-3} = 5^4\)

• Üsler Aynı İse: Tabanlar bölünür.

  \[ \frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n \quad (b \ne 0) \]

  Örnek: \(\frac{12^4}{4^4} = \left(\frac{12}{4}\right)^4 = 3^4\)

6. Üssün Üssü

Bir üslü ifadenin kuvveti alınırken, üsler çarpılır.

\[ (a^m)^n = a^{m \cdot n} \]

Örnek:

• \((2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6\)
• \((5^{-2})^3 = 5^{-2 \cdot 3} = 5^{-6}\)

7. Rasyonel Sayıların Kuvvetleri

Bir rasyonel sayının kuvveti alınırken, pay ve paydanın ayrı ayrı kuvvetleri alınır.

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \quad (b \ne 0) \]

Örnek: \(\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16}\)

8. Negatif Tabanın Kuvvetleri

• Negatif bir sayının tek kuvvetleri negatiftir.

  Örnek: \((-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8\)

• Negatif bir sayının çift kuvvetleri pozitiftir.

  Örnek: \((-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9\)

• Parantez olmadığı durumlara dikkat edilmelidir.

  Örnek: \(-2^4 = -(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = -16\)

Köklü Sayılar (Gerçek Sayıların Köklü Gösterimi)

Bir sayının hangi sayının kuvveti olduğunu bulma işlemine kök alma denir.

Köklü Sayı Nedir? 🌿

\(n \ge 2\) olmak üzere, \(n\)'inci kuvveti \(a\) sayısına eşit olan \(x\) sayısına \(a\)'nın \(n\)'inci dereceden kökü denir ve \(\sqrt[n]{a}\) şeklinde gösterilir.

\[ x^n = a \quad \Leftrightarrow \quad x = \sqrt[n]{a} \]

Burada;

• \(\sqrt{}\): Kök işareti
• \(n\): Kök derecesi
• \(a\): Kök içi (Radyant)

Kök derecesi \(2\) olduğunda yazılmaz. Yani \(\sqrt{a}\) ifadesi \(\sqrt[2]{a}\) anlamına gelir ve karekök olarak okunur.

Örnek:

• \(\sqrt{25} = 5\) (Çünkü \(5^2 = 25\))
• \(\sqrt[3]{8} = 2\) (Çünkü \(2^3 = 8\))
• \(\sqrt[5]{-32} = -2\) (Çünkü \((-2)^5 = -32\))

Köklü Sayıların Tanımlı Olma Şartları ✅

\(\sqrt[n]{a}\) ifadesinin bir gerçek sayı belirtmesi için:

• Eğer \(n\) tek sayı ise, \(a\) sayısı her gerçek sayı olabilir. (Ör: \(\sqrt[3]{-27}\))
• Eğer \(n\) çift sayı ise, \(a\) sayısı sıfıra eşit veya pozitif (\(a \ge 0\)) olmalıdır. (Ör: \(\sqrt{9}\), \(\sqrt[4]{16}\))

Önemli:

• \(n\) çift sayı ise: \(\sqrt[n]{a^n} = |a|\) (mutlak değer)
• \(n\) tek sayı ise: \(\sqrt[n]{a^n} = a\)

Örnek:

• \(\sqrt{(-3)^2} = |-3| = 3\)
• \(\sqrt[3]{(-2)^3} = -2\)
• \(\sqrt{x^2}\) ifadesi \(|x|\)'e eşittir.

Köklü Sayıları Üslü Sayıya Çevirme ↔️

Her köklü sayı, üslü sayı şeklinde yazılabilir.

\[ \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \quad (a \ge 0 \text{ veya } n \text{ tek}) \]

Örnek:

• \(\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}\)
• \(\sqrt[3]{5^2} = 5^{\frac{2}{3}}\)
• \(\sqrt{7^{-1}} = 7^{-\frac{1}{2}}\)

Köklü Sayılarda İşlemler ➕➖✖️➗

1. Kök Dışına Çıkarma ve Kök İçine Alma

• Kök Dışına Çıkarma: Kök içindeki bir sayının üssü, kök derecesine eşit veya büyükse, o sayı kök dışına çıkabilir.

  \[ \sqrt[n]{a^n \cdot b} = a \sqrt[n]{b} \quad (a \ge 0 \text{ ise veya } n \text{ tek ise}) \]

  Örnek:

  • \(\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = 2\sqrt{3}\)
  • \(\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 2} = 3\sqrt[3]{2}\)
• Kök İçine Alma: Kök dışındaki bir sayı, kök derecesi kadar kuvveti alınarak kök içine alınır.

  \[ a \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a^n \cdot b} \quad (a \ge 0 \text{ ise veya } n \text{ tek ise}) \]

  Örnek:

  • \(3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\)
  • \(2\sqrt[3]{7} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 7} = \sqrt[3]{8 \cdot 7} = \sqrt[3]{56}\)

2. Köklü Sayılarda Toplama ve Çıkarma

Köklü sayılar toplanırken veya çıkarılırken, kök içleri ve kök dereceleri aynı olmalıdır. Bu durumda katsayılar toplanır veya çıkarılır.

\[ x\sqrt[n]{a} + y\sqrt[n]{a} - z\sqrt[n]{a} = (x+y-z)\sqrt[n]{a} \]

Örnek:

• \(3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = (3+5)\sqrt{2} = 8\sqrt{2}\)
• \(7\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = (7-2)\sqrt{3} = 5\sqrt{3}\)
• \(\sqrt{18} + \sqrt{8} = \sqrt{9 \cdot 2} + \sqrt{4 \cdot 2} = 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 5\sqrt{2}\)

3. Köklü Sayılarda Çarpma

Kök dereceleri aynı olan köklü sayılar çarpılırken, kök içleri çarpılır ve ortak kök derecesi altında yazılır.

\[ \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} \]

Örnek:

• \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{3 \cdot 5} = \sqrt{15}\)
• \(\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2 \cdot 4} = \sqrt[3]{8} = 2\)
• \(2\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{2} = (2 \cdot 5)\sqrt{3 \cdot 2} = 10\sqrt{6}\)

4. Köklü Sayılarda Bölme

Kök dereceleri aynı olan köklü sayılar bölünürken, kök içleri bölünür ve ortak kök derecesi altında yazılır.

\[ \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \quad (b \ne 0) \]

Örnek:

• \(\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{10}{2}} = \sqrt{5}\)
• \(\frac{\sqrt[3]{24}}{\sqrt[3]{3}} = \sqrt[3]{\frac{24}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2\)

5. Paydayı Rasyonel Yapma (Eşlenik Çarpımı)

Paydasında köklü ifade bulunan bir kesrin paydasını kökten kurtarma işlemine paydayı rasyonel yapma denir. Bunun için payda, kendisinin eşleniği ile çarpılır.

• \(\frac{a}{\sqrt{b}}\) ifadesinin eşleniği \(\sqrt{b}\) 'dir.

  \[ \frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b} \]

  Örnek: \(\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}\)

• \(\frac{a}{\sqrt{b} \pm \sqrt{c}}\) ifadesinin eşleniği \(\sqrt{b} \mp \sqrt{c}\) 'dir.

  Bu ifadede \((x-y)(x+y) = x^2 - y^2\) özdeşliği kullanılır.

  \[ \frac{a}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \frac{a(\sqrt{x} - \sqrt{y})}{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} - \sqrt{y})} = \frac{a(\sqrt{x} - \sqrt{y})}{x-y} \]

  Örnek: \(\frac{6}{\sqrt{5}- \sqrt{2}} = \frac{6(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})} = \frac{6(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{5-2} = \frac{6(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{3} = 2(\sqrt{5}+\sqrt{2})\)