🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Geometrik Dönüşümler Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Geometrik Dönüşümler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Örnek 1: Nokta Öteleme 🚚
Koordinat düzleminde verilen \( A(3, -2) \) noktasının, \( x \) ekseni boyunca 4 birim sağa ve \( y \) ekseni boyunca 3 birim yukarı ötelenmesiyle oluşan \( A' \) noktasının koordinatlarını bulunuz.
Koordinat düzleminde verilen \( A(3, -2) \) noktasının, \( x \) ekseni boyunca 4 birim sağa ve \( y \) ekseni boyunca 3 birim yukarı ötelenmesiyle oluşan \( A' \) noktasının koordinatlarını bulunuz.
Çözüm:
Bu problemi adım adım çözelim:
- 👉 Öteleme Tanımı: Bir noktanın belirli bir doğrultu ve yönde sabit bir miktar kaydırılması işlemidir.
- 🔢 \( x \) Ekseni Boyunca Öteleme:
- Noktanın \( x \) koordinatı \(3\)'tür.
- 4 birim sağa öteleme demek, \( x \) koordinatına \(+4\) eklemek demektir.
- Yeni \( x \) koordinatı: \( 3 + 4 = 7 \) olur.
- 🔢 \( y \) Ekseni Boyunca Öteleme:
- Noktanın \( y \) koordinatı \(-2\)'dir.
- 3 birim yukarı öteleme demek, \( y \) koordinatına \(+3\) eklemek demektir.
- Yeni \( y \) koordinatı: \( -2 + 3 = 1 \) olur.
- ✅ Sonuç: Öteleme sonucunda oluşan \( A' \) noktasının koordinatları \( (7, 1) \) olarak bulunur.
Örnek 2:
Örnek 2: Nokta Yansıma (x ekseni) 🪞
Koordinat düzleminde verilen \( B(-5, 4) \) noktasının \( x \) eksenine göre yansıması sonucunda oluşan \( B' \) noktasının koordinatları nelerdir?
Koordinat düzleminde verilen \( B(-5, 4) \) noktasının \( x \) eksenine göre yansıması sonucunda oluşan \( B' \) noktasının koordinatları nelerdir?
Çözüm:
Bu yansıma problemini çözelim:
- 👉 Yansıma Tanımı: Bir noktanın bir doğruya göre simetriğidir. \( x \) eksenine göre yansımada, noktanın \( x \) koordinatı değişmez, \( y \) koordinatı işaret değiştirir.
- 📌 \( x \) Ekseni Yansıması Kuralı: Bir \( (a, b) \) noktasının \( x \) eksenine göre yansıması \( (a, -b) \) olur.
- 🔢 Uygulama:
- Verilen nokta \( B(-5, 4) \). Burada \( a = -5 \) ve \( b = 4 \).
- \( x \) koordinatı değişmez: \( -5 \).
- \( y \) koordinatı işaret değiştirir: \( 4 \)'ten \( -4 \)'e dönüşür.
- ✅ Sonuç: \( B(-5, 4) \) noktasının \( x \) eksenine göre yansıması \( B'(-5, -4) \) noktasıdır.
Örnek 3:
Örnek 3: Nokta Dönme (Orijin etrafında 90°) 🔄
Koordinat düzleminde verilen \( C(2, -3) \) noktasının orijin etrafında saat yönünün tersine 90 derece döndürülmesiyle oluşan \( C' \) noktasının koordinatlarını bulunuz.
Koordinat düzleminde verilen \( C(2, -3) \) noktasının orijin etrafında saat yönünün tersine 90 derece döndürülmesiyle oluşan \( C' \) noktasının koordinatlarını bulunuz.
Çözüm:
Dönme dönüşümünü uygulayalım:
- 👉 Dönme Tanımı: Bir noktanın sabit bir merkez etrafında belirli bir açı ile hareket etmesidir.
- 📌 Orijin Etrafında Saat Yönünün Tersine 90° Dönme Kuralı: Bir \( (a, b) \) noktasının orijin etrafında saat yönünün tersine 90 derece döndürülmesiyle oluşan nokta \( (-b, a) \) olur.
- 🔢 Uygulama:
- Verilen nokta \( C(2, -3) \). Burada \( a = 2 \) ve \( b = -3 \).
- Yeni \( x \) koordinatı \( -b \): \( -(-3) = 3 \).
- Yeni \( y \) koordinatı \( a \): \( 2 \).
- ✅ Sonuç: \( C(2, -3) \) noktasının orijin etrafında saat yönünün tersine 90 derece döndürülmesiyle oluşan \( C' \) noktasının koordinatları \( (3, 2) \) olarak bulunur.
Örnek 4:
Örnek 4: Nokta Yansıma (y = x doğrusu) 📐
Koordinat düzleminde \( D(4, 7) \) noktasının \( y = x \) doğrusuna göre yansıması sonucunda oluşan \( D' \) noktasının koordinatları nelerdir?
Koordinat düzleminde \( D(4, 7) \) noktasının \( y = x \) doğrusuna göre yansıması sonucunda oluşan \( D' \) noktasının koordinatları nelerdir?
Çözüm:
Bu özel yansıma problemini inceleyelim:
- 👉 Yansıma Tanımı: Bir noktanın bir doğruya göre simetriğidir.
- 📌 \( y = x \) Doğrusuna Göre Yansıma Kuralı: Bir \( (a, b) \) noktasının \( y = x \) doğrusuna göre yansıması \( (b, a) \) olur. Yani, \( x \) ve \( y \) koordinatları yer değiştirir.
- 🔢 Uygulama:
- Verilen nokta \( D(4, 7) \). Burada \( a = 4 \) ve \( b = 7 \).
- \( x \) ve \( y \) koordinatları yer değiştirecek.
- Yeni \( x \) koordinatı \( 7 \).
- Yeni \( y \) koordinatı \( 4 \).
- ✅ Sonuç: \( D(4, 7) \) noktasının \( y = x \) doğrusuna göre yansıması \( D'(7, 4) \) noktasıdır.
Örnek 5:
Örnek 5: Ardışık Dönüşümler (Öteleme ve Yansıma) ✨
Köşe koordinatları \( K(1, 2) \) olan bir üçgenin \( K \) noktasını ele alalım. Bu nokta önce \( x \) ekseni boyunca 3 birim sola, \( y \) ekseni boyunca 1 birim aşağı öteleniyor. Ardından, oluşan yeni nokta \( y \) eksenine göre yansıtılıyor. Son durumda elde edilen \( K'' \) noktasının koordinatlarını bulunuz.
Köşe koordinatları \( K(1, 2) \) olan bir üçgenin \( K \) noktasını ele alalım. Bu nokta önce \( x \) ekseni boyunca 3 birim sola, \( y \) ekseni boyunca 1 birim aşağı öteleniyor. Ardından, oluşan yeni nokta \( y \) eksenine göre yansıtılıyor. Son durumda elde edilen \( K'' \) noktasının koordinatlarını bulunuz.
Çözüm:
Bu ardışık dönüşümleri adım adım uygulayalım:
- 1️⃣ Adım 1: Öteleme İşlemi
- Başlangıç noktası: \( K(1, 2) \).
- \( x \) ekseni boyunca 3 birim sola öteleme: \( 1 - 3 = -2 \).
- \( y \) ekseni boyunca 1 birim aşağı öteleme: \( 2 - 1 = 1 \).
- Öteleme sonrası oluşan yeni nokta \( K'(-2, 1) \) olur.
- 2️⃣ Adım 2: Yansıma İşlemi
- Yansıtılacak nokta: \( K'(-2, 1) \).
- 📌 \( y \) Ekseni Yansıması Kuralı: Bir \( (a, b) \) noktasının \( y \) eksenine göre yansıması \( (-a, b) \) olur. \( x \) koordinatı işaret değiştirir, \( y \) koordinatı aynı kalır.
- \( x \) koordinatı işaret değiştirir: \( -(-2) = 2 \).
- \( y \) koordinatı aynı kalır: \( 1 \).
- Yansıma sonrası oluşan nokta \( K''(2, 1) \) olur.
- ✅ Sonuç: Ardışık dönüşümler sonucunda elde edilen \( K'' \) noktasının koordinatları \( (2, 1) \)'dir.
Örnek 6:
Örnek 6: Dönme Uygulaması (Saat) ⏰
Bir analog saatte akrep 3'ü gösterirken (yani koordinat düzleminde \( x \) ekseni üzerinde bir nokta gibi düşünebiliriz), saat 6'ya geldiğinde akrebin ucu hangi dönüşümü gerçekleştirmiş olur? Akrebin uzunluğunu sabit kabul edin ve saatin merkezini orijin olarak düşünün.
Bir analog saatte akrep 3'ü gösterirken (yani koordinat düzleminde \( x \) ekseni üzerinde bir nokta gibi düşünebiliriz), saat 6'ya geldiğinde akrebin ucu hangi dönüşümü gerçekleştirmiş olur? Akrebin uzunluğunu sabit kabul edin ve saatin merkezini orijin olarak düşünün.
Çözüm:
Bu günlük hayattan dönme örneğini inceleyelim:
- 💡 Durum Analizi:
- Saat 3'te akrep \( x \) ekseni üzerindedir. Örneğin, akrebin ucu \( (r, 0) \) noktasında olsun (burada \( r \) akrebin uzunluğu).
- Saat 6'da akrep aşağı doğru dikey konumdadır. Bu, \( y \) ekseninin negatif tarafına denk gelir. Akrebin ucu \( (0, -r) \) noktasında olur.
- 🔄 Dönme Açısı ve Yönü:
- Saat 3'ten saat 6'ya gelmek, saatin 3 saat ilerlemesi demektir.
- Analog saatte tam tur (12 saat) 360 derecedir.
- Her bir saat dilimi \( \frac{360}{12} = 30 \) derecedir.
- 3 saatlik ilerleme: \( 3 \times 30 = 90 \) derecelik bir açıyı temsil eder.
- Akrep saat yönünde hareket ettiği için, bu bir saat yönünde 90 derecelik dönmedir.
- 📌 Dönme Kuralı (Saat Yönünde 90°): Bir \( (a, b) \) noktasının orijin etrafında saat yönünde 90 derece döndürülmesiyle oluşan nokta \( (b, -a) \) olur.
- 🔢 Uygulama:
- Başlangıç noktası \( (r, 0) \). Burada \( a = r \) ve \( b = 0 \).
- Dönme sonrası yeni \( x \) koordinatı \( b \): \( 0 \).
- Dönme sonrası yeni \( y \) koordinatı \( -a \): \( -r \).
- Sonuç noktası: \( (0, -r) \). Bu da saat 6 konumuna karşılık gelir.
- ✅ Sonuç: Akrebin ucu, saatin merkezi (orijin) etrafında saat yönünde 90 derecelik bir dönme gerçekleştirmiştir.
Örnek 7:
Örnek 7: Şekil Dönüşümü (Dikdörtgen Köşesi) 🖼️
Köşe koordinatları \( A(2, 1) \), \( B(5, 1) \), \( C(5, 3) \) ve \( D(2, 3) \) olan bir dikdörtgen verilmiştir. Bu dikdörtgenin \( A \) köşesi, orijin etrafında saat yönünün tersine 180 derece döndürüldükten sonra, \( y \) ekseni boyunca 2 birim aşağı öteleniyor. Son durumda \( A'' \) noktasının koordinatları ne olur?
Köşe koordinatları \( A(2, 1) \), \( B(5, 1) \), \( C(5, 3) \) ve \( D(2, 3) \) olan bir dikdörtgen verilmiştir. Bu dikdörtgenin \( A \) köşesi, orijin etrafında saat yönünün tersine 180 derece döndürüldükten sonra, \( y \) ekseni boyunca 2 birim aşağı öteleniyor. Son durumda \( A'' \) noktasının koordinatları ne olur?
Çözüm:
Dikdörtgenin \( A \) köşesi üzerindeki dönüşümleri sırasıyla uygulayalım:
- 1️⃣ Adım 1: Dönme İşlemi
- Başlangıç noktası: \( A(2, 1) \).
- 📌 Orijin Etrafında 180° Dönme Kuralı: Bir \( (a, b) \) noktasının orijin etrafında 180 derece (saat yönü veya tersi fark etmez) döndürülmesiyle oluşan nokta \( (-a, -b) \) olur. Yani, her iki koordinat da işaret değiştirir.
- \( x \) koordinatı işaret değiştirir: \( -2 \).
- \( y \) koordinatı işaret değiştirir: \( -1 \).
- Dönme sonrası oluşan yeni nokta \( A'(-2, -1) \) olur.
- 2️⃣ Adım 2: Öteleme İşlemi
- Ötelenecek nokta: \( A'(-2, -1) \).
- \( y \) ekseni boyunca 2 birim aşağı öteleme demek, \( y \) koordinatından \( 2 \) çıkarmak demektir.
- Yeni \( x \) koordinatı: \( -2 \) (değişmez).
- Yeni \( y \) koordinatı: \( -1 - 2 = -3 \).
- Öteleme sonrası oluşan nokta \( A''(-2, -3) \) olur.
- ✅ Sonuç: Ardışık dönüşümler sonucunda \( A'' \) noktasının koordinatları \( (-2, -3) \) olarak bulunur.
Örnek 8:
Örnek 8: Öteleme (Asansör) 🏢⬆️⬇️
Bir otelde, lobi katı (zemin kat) koordinat düzleminde \( y=0 \) olarak kabul edilsin. Bir asansör, lobiden başlayarak 5 kat yukarı çıkarak bir odaya ulaşıyor. Daha sonra bu odadan 2 kat aşağı inerek restorana varıyor. Eğer lobideki bir noktanın \( y \) koordinatı \( 0 \) ise, restorandaki noktanın \( y \) koordinatını bulunuz. (Her kat arası dikey mesafenin 1 birim olduğunu varsayın.)
Bir otelde, lobi katı (zemin kat) koordinat düzleminde \( y=0 \) olarak kabul edilsin. Bir asansör, lobiden başlayarak 5 kat yukarı çıkarak bir odaya ulaşıyor. Daha sonra bu odadan 2 kat aşağı inerek restorana varıyor. Eğer lobideki bir noktanın \( y \) koordinatı \( 0 \) ise, restorandaki noktanın \( y \) koordinatını bulunuz. (Her kat arası dikey mesafenin 1 birim olduğunu varsayın.)
Çözüm:
Bu asansör hareketini öteleme kavramıyla açıklayalım:
- 💡 Başlangıç Durumu: Lobi katı \( y = 0 \) seviyesindedir.
- 1️⃣ İlk Hareket (Yukarı Öteleme):
- Asansör 5 kat yukarı çıkıyor.
- Bu, \( y \) koordinatının \( +5 \) birim ötelenmesi demektir.
- Odaya ulaşılan katın \( y \) koordinatı: \( 0 + 5 = 5 \).
- 2️⃣ İkinci Hareket (Aşağı Öteleme):
- Odadaki konumdan ( \( y = 5 \) ) 2 kat aşağı iniliyor.
- Bu, \( y \) koordinatının \( -2 \) birim ötelenmesi demektir.
- Restorana ulaşılan katın \( y \) koordinatı: \( 5 - 2 = 3 \).
- ✅ Sonuç: Restorandaki noktanın \( y \) koordinatı \( 3 \) olarak bulunur. Bu, lobiden 3 kat yukarıda olduğu anlamına gelir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-geometrik-donusumler/sorular