🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Fonksiyonlarda Öteleme Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Fonksiyonlarda Öteleme Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
💡 Dikey Öteleme (Yukarı)
Aşağıda verilen \(f(x) = x + 2\) fonksiyonunun grafiğini 3 birim yukarı öteleyerek yeni oluşan \(g(x)\) fonksiyonunu bulunuz ve kuralını yazınız.
Aşağıda verilen \(f(x) = x + 2\) fonksiyonunun grafiğini 3 birim yukarı öteleyerek yeni oluşan \(g(x)\) fonksiyonunu bulunuz ve kuralını yazınız.
Çözüm:
Bu tür öteleme sorularında, fonksiyonun kuralına doğrudan ekleme veya çıkarma yaparız. İşte adımlar:
- 📌 Fonksiyonu Anlama: Başlangıç fonksiyonumuz \(f(x) = x + 2\)'dir.
- ⬆️ Yukarı Öteleme Kuralı: Bir fonksiyonu \(k\) birim yukarı ötelemek için fonksiyonun kuralına \(k\) ekleriz. Yani, \(g(x) = f(x) + k\) olur.
- 🔢 Değerleri Yerine Koyma: Bu durumda, \(k = 3\) birim yukarı öteleneceği için yeni fonksiyon \(g(x) = f(x) + 3\) olacaktır.
- ✍️ Yeni Fonksiyon Kuralı: \(f(x)\) yerine \(x + 2\) yazarsak: \[ g(x) = (x + 2) + 3 \] \[ g(x) = x + 5 \]
- ✅ Sonuç: \(f(x) = x + 2\) fonksiyonu 3 birim yukarı ötelendiğinde oluşan yeni fonksiyon \(g(x) = x + 5\) olur.
Örnek 2:
📉 Dikey Öteleme (Aşağı)
Verilen \(f(x) = 2x - 1\) fonksiyonunun grafiğini 4 birim aşağı öteleyerek oluşan yeni \(h(x)\) fonksiyonunun kuralını belirleyiniz.
Verilen \(f(x) = 2x - 1\) fonksiyonunun grafiğini 4 birim aşağı öteleyerek oluşan yeni \(h(x)\) fonksiyonunun kuralını belirleyiniz.
Çözüm:
Bir fonksiyonu dikey olarak aşağı ötelemek için fonksiyonun kuralından belirli bir değeri çıkarırız. İşte çözüm adımları:
- 📌 Başlangıç Fonksiyonu: Elimizdeki fonksiyon \(f(x) = 2x - 1\)'dir.
- ⬇️ Aşağı Öteleme Kuralı: Bir fonksiyonu \(k\) birim aşağı ötelemek için fonksiyonun kuralından \(k\) çıkarırız. Yani, \(h(x) = f(x) - k\) olur.
- 🔢 Değerleri Uygulama: Burada \(k = 4\) birim aşağı öteleme söz konusu olduğu için yeni fonksiyon \(h(x) = f(x) - 4\) olacaktır.
- ✍️ Yeni Fonksiyon Kuralı: \(f(x)\) yerine \(2x - 1\) yazarak: \[ h(x) = (2x - 1) - 4 \] \[ h(x) = 2x - 5 \]
- ✅ Sonuç: \(f(x) = 2x - 1\) fonksiyonu 4 birim aşağı ötelendiğinde elde edilen yeni fonksiyon \(h(x) = 2x - 5\)'tir.
Örnek 3:
⬅️ Yatay Öteleme (Sola)
\(f(x) = x^2\) parabolünün grafiğini 2 birim sola öteleyerek oluşan yeni \(g(x)\) fonksiyonunun kuralını bulunuz.
\(f(x) = x^2\) parabolünün grafiğini 2 birim sola öteleyerek oluşan yeni \(g(x)\) fonksiyonunun kuralını bulunuz.
Çözüm:
Yatay öteleme, dikey ötelemeden farklı olarak, fonksiyonun içindeki \(x\) değerini etkiler ve genellikle ters yönde gibi düşünebiliriz.
- 📌 Orijinal Fonksiyon: Başlangıç fonksiyonumuz \(f(x) = x^2\)'dir.
- 👈 Sola Öteleme Kuralı: Bir fonksiyonu \(k\) birim sola ötelemek için \(x\) yerine \((x + k)\) yazarız. Yani, \(g(x) = f(x + k)\) olur.
- 🔢 Değerleri Yerine Koyma: Bu durumda, \(k = 2\) birim sola öteleme yapılacağı için yeni fonksiyon \(g(x) = f(x + 2)\) olacaktır.
- ✍️ Yeni Fonksiyon Kuralı: \(f(x)\) kuralında \(x\) yerine \((x + 2)\) yazarsak: \[ g(x) = (x + 2)^2 \]
- ✅ Sonuç: \(f(x) = x^2\) fonksiyonu 2 birim sola ötelendiğinde oluşan yeni fonksiyon \(g(x) = (x + 2)^2\) olur.
Örnek 4:
➡️ Yatay Öteleme (Sağa)
\(f(x) = 3x + 5\) fonksiyonunun grafiğini 1 birim sağa öteleyerek oluşan yeni \(h(x)\) fonksiyonunun kuralını belirleyiniz.
\(f(x) = 3x + 5\) fonksiyonunun grafiğini 1 birim sağa öteleyerek oluşan yeni \(h(x)\) fonksiyonunun kuralını belirleyiniz.
Çözüm:
Yatay öteleme yaparken, fonksiyonun içindeki \(x\) değerini değiştirmeyi unutmayın.
- 📌 Verilen Fonksiyon: Başlangıç fonksiyonumuz \(f(x) = 3x + 5\)'tir.
- 👉 Sağa Öteleme Kuralı: Bir fonksiyonu \(k\) birim sağa ötelemek için \(x\) yerine \((x - k)\) yazarız. Yani, \(h(x) = f(x - k)\) olur.
- 🔢 Değerleri Uygulama: Burada \(k = 1\) birim sağa öteleme söz konusu olduğu için yeni fonksiyon \(h(x) = f(x - 1)\) olacaktır.
- ✍️ Yeni Fonksiyon Kuralı: \(f(x)\) kuralında \(x\) yerine \((x - 1)\) yazarak: \[ h(x) = 3(x - 1) + 5 \] \[ h(x) = 3x - 3 + 5 \] \[ h(x) = 3x + 2 \]
- ✅ Sonuç: \(f(x) = 3x + 5\) fonksiyonu 1 birim sağa ötelendiğinde elde edilen yeni fonksiyon \(h(x) = 3x + 2\)'dir.
Örnek 5:
📊 Hem Yatay Hem Dikey Öteleme
\(f(x) = x^2\) fonksiyonunun grafiğini önce 3 birim sola, ardından 2 birim aşağı öteleyerek oluşan yeni \(g(x)\) fonksiyonunun kuralını yazınız.
\(f(x) = x^2\) fonksiyonunun grafiğini önce 3 birim sola, ardından 2 birim aşağı öteleyerek oluşan yeni \(g(x)\) fonksiyonunun kuralını yazınız.
Çözüm:
Hem yatay hem de dikey öteleme adımlarını sırayla uygulayarak yeni fonksiyonu bulabiliriz.
- 📌 Orijinal Fonksiyon: Başlangıç fonksiyonumuz \(f(x) = x^2\)'dir.
- 1️⃣ Yatay Öteleme (3 birim sola):
- Sola öteleme için \(x\) yerine \((x + k)\) yazarız. Burada \(k = 3\).
- Geçici fonksiyonumuz \(f_1(x) = f(x + 3) = (x + 3)^2\) olur.
- 2️⃣ Dikey Öteleme (2 birim aşağı):
- Aşağı öteleme için fonksiyonun kuralından \(k\) çıkarırız. Burada \(k = 2\).
- \(f_1(x)\) fonksiyonunu 2 birim aşağı öteliyoruz: \(g(x) = f_1(x) - 2\).
- Yani \(g(x) = (x + 3)^2 - 2\).
- ✅ Sonuç: \(f(x) = x^2\) fonksiyonu önce 3 birim sola, sonra 2 birim aşağı ötelendiğinde oluşan yeni fonksiyon \(g(x) = (x + 3)^2 - 2\) olur.
Örnek 6:
🔍 Ötelenmiş Fonksiyonun Kuralını Bulma
\(f(x) = x^2\) fonksiyonunun grafiği ötelenerek \(g(x) = (x - 4)^2 + 1\) fonksiyonu elde edilmiştir. Bu ötelemenin yönünü ve miktarını açıklayınız.
\(f(x) = x^2\) fonksiyonunun grafiği ötelenerek \(g(x) = (x - 4)^2 + 1\) fonksiyonu elde edilmiştir. Bu ötelemenin yönünü ve miktarını açıklayınız.
Çözüm:
Ötelenmiş fonksiyonun kuralına bakarak, orijinal fonksiyona hangi işlemlerin uygulandığını anlayabiliriz.
- 📌 Orijinal Fonksiyon: \(f(x) = x^2\).
- 📌 Ötelenmiş Fonksiyon: \(g(x) = (x - 4)^2 + 1\).
- 1️⃣ Yatay Öteleme İncelemesi:
- \(g(x)\) fonksiyonunda \((x - 4)\) ifadesini görüyoruz.
- Hatırlayalım ki, \(f(x - k)\) ifadesi fonksiyonu \(k\) birim sağa öteler.
- Burada \(k = 4\) olduğu için, fonksiyon 4 birim sağa ötelenmiştir.
- 2️⃣ Dikey Öteleme İncelemesi:
- \(g(x)\) fonksiyonunun sonunda \(+ 1\) ifadesini görüyoruz.
- Hatırlayalım ki, \(f(x) + k\) ifadesi fonksiyonu \(k\) birim yukarı öteler.
- Burada \(k = 1\) olduğu için, fonksiyon 1 birim yukarı ötelenmiştir.
- ✅ Sonuç: \(f(x) = x^2\) fonksiyonu, 4 birim sağa ve 1 birim yukarı öteleme sonucunda \(g(x) = (x - 4)^2 + 1\) fonksiyonuna dönüşmüştür.
Örnek 7:
🏃♀️ Günlük Hayattan: Koşucu Performansı
Bir koşucu, antrenman sırasında her saniyede \(f(t) = 0.5t\) metre yol almaktadır (\(t\) saniye cinsinden zamanı göstermektedir). Koşucu, antrenmana başlamadan önce 10 metrelik bir ısınma koşusu yapmıştır ve bu ısınma koşusu, normal antrenman rotasının başlangıcından 10 metre ilerideki bir noktadan başlamasına neden olmuştur. Buna göre, koşucunun \(t\) saniye sonra başlangıç noktasından itibaren toplam katettiği mesafeyi veren yeni \(g(t)\) fonksiyonunu bulunuz.
Bir koşucu, antrenman sırasında her saniyede \(f(t) = 0.5t\) metre yol almaktadır (\(t\) saniye cinsinden zamanı göstermektedir). Koşucu, antrenmana başlamadan önce 10 metrelik bir ısınma koşusu yapmıştır ve bu ısınma koşusu, normal antrenman rotasının başlangıcından 10 metre ilerideki bir noktadan başlamasına neden olmuştur. Buna göre, koşucunun \(t\) saniye sonra başlangıç noktasından itibaren toplam katettiği mesafeyi veren yeni \(g(t)\) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm:
Bu problem, koşucunun başlangıç konumunun değişmesinin fonksiyon üzerindeki etkisini öteleme kavramıyla açıklar.
- 📌 Orijinal Fonksiyon: Koşucunun normal performansı \(f(t) = 0.5t\) ile modellenmiştir. Bu, \(t\) saniyede katettiği mesafeyi gösterir.
- 🤔 Durum Analizi: Koşucu, antrenman rotasına başlamadan önce 10 metre "ısınma koşusu" yapmıştır. Bu, onun rotasına 10 metre "ileriden" başlaması anlamına gelir. Yani, her an için normalde kat edeceği mesafeye ek olarak 10 metre daha kat etmiş olacaktır.
- ⬆️ Öteleme Tipi: Bu durum, fonksiyonun dikey olarak yukarı ötelenmesi anlamına gelir. Çünkü her \(t\) anında, \(f(t)\) değerine sabit bir 10 metre eklenmektedir.
- ✍️ Yeni Fonksiyon Kuralı: Yeni fonksiyon \(g(t) = f(t) + 10\) şeklinde olacaktır. \[ g(t) = 0.5t + 10 \]
- ✅ Sonuç: Koşucunun \(t\) saniye sonra başlangıç noktasından itibaren toplam katettiği mesafeyi veren yeni fonksiyon \(g(t) = 0.5t + 10\) olarak bulunur. Bu, fonksiyonun 10 birim yukarı ötelendiğini gösterir.
Örnek 8:
🌡️ Günlük Hayattan: Termometre Kalibrasyonu
Bir termometre, ortam sıcaklığını Celcius (\(C\)) cinsinden \(T(C) = C\) olarak göstermektedir. Ancak termometre arızalı olduğu için tüm ölçümleri gerçek değerden 5 derece daha az göstermektedir. Bu arızalı termometrenin göstereceği sıcaklığı gerçek sıcaklık \(C\) cinsinden ifade eden yeni \(K(C)\) fonksiyonunu yazınız.
Bir termometre, ortam sıcaklığını Celcius (\(C\)) cinsinden \(T(C) = C\) olarak göstermektedir. Ancak termometre arızalı olduğu için tüm ölçümleri gerçek değerden 5 derece daha az göstermektedir. Bu arızalı termometrenin göstereceği sıcaklığı gerçek sıcaklık \(C\) cinsinden ifade eden yeni \(K(C)\) fonksiyonunu yazınız.
Çözüm:
Bu örnek, bir ölçüm hatasının fonksiyon üzerindeki etkisini öteleme ile açıklar.
- 📌 Orijinal Fonksiyon: Termometrenin normalde göstermesi gereken sıcaklık \(T(C) = C\)'dir. Bu, her bir Celcius değerini aynı şekilde gösterir.
- 🤔 Durum Analizi: Termometre, tüm ölçümleri "gerçek değerden 5 derece daha az" göstermektedir. Bu, gerçek sıcaklık ne olursa olsun, termometrenin gösterdiği değerin her zaman 5 birim aşağıda olacağı anlamına gelir.
- ⬇️ Öteleme Tipi: Bu durum, fonksiyonun dikey olarak aşağı ötelenmesi anlamına gelir. Çünkü her \(C\) değeri için, \(T(C)\) değerinden sabit bir 5 çıkarılmaktadır.
- ✍️ Yeni Fonksiyon Kuralı: Yeni fonksiyon \(K(C) = T(C) - 5\) şeklinde olacaktır. \[ K(C) = C - 5 \]
- ✅ Sonuç: Arızalı termometrenin göstereceği sıcaklığı gerçek sıcaklık \(C\) cinsinden ifade eden yeni fonksiyon \(K(C) = C - 5\) olarak bulunur. Bu, fonksiyonun 5 birim aşağı ötelendiğini gösterir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-fonksiyonlarda-oteleme/sorular