Fonksiyonlarda Öteleme Ders Notu

Fonksiyonlarda öteleme, bir fonksiyonun grafiğini koordinat düzleminde sağa, sola, yukarı veya aşağı doğru kaydırma işlemidir. Fonksiyonun kuralında yapılan belirli değişikliklerle, grafiğin şekli değişmeden konumu değiştirilir.

Sağa ve Sola Öteleme (Yatay Öteleme) ➡️⬅️

Bir fonksiyonun grafiğini yatay olarak ötelemek için, fonksiyonun içindeki \(x\) değişkeni üzerinde değişiklik yapılır. Bu öteleme, grafiği \(x\)-ekseni boyunca hareket ettirir.

• Sağa Öteleme: Bir \(f(x)\) fonksiyonunun grafiğini \(a\) birim sağa ötelemek için, fonksiyonun kuralı \(f(x-a)\) şeklinde değiştirilir. Burada \(a > 0\) olmalıdır.

  Örnek:

  \[ f(x) = x^2 \]

  fonksiyonunun grafiğini 3 birim sağa ötelediğimizde, yeni fonksiyon \(g(x)\) şöyle olur:

  \[ g(x) = f(x-3) = (x-3)^2 \]

• Sola Öteleme: Bir \(f(x)\) fonksiyonunun grafiğini \(a\) birim sola ötelemek için, fonksiyonun kuralı \(f(x+a)\) şeklinde değiştirilir. Burada \(a > 0\) olmalıdır.

  Örnek:

  \[ f(x) = |x| \]

  fonksiyonunun grafiğini 2 birim sola ötelediğimizde, yeni fonksiyon \(h(x)\) şöyle olur:

  \[ h(x) = f(x+2) = |x+2| \]

Yukarı ve Aşağı Öteleme (Dikey Öteleme) ⬆️⬇️

Bir fonksiyonun grafiğini dikey olarak öteleme işlemi, fonksiyonun tüm değerlerine sabit bir sayı eklemek veya çıkarmakla yapılır. Bu öteleme, grafiği \(y\)-ekseni boyunca hareket ettirir.

• Yukarı Öteleme: Bir \(f(x)\) fonksiyonunun grafiğini \(b\) birim yukarı ötelemek için, fonksiyonun kuralı \(f(x)+b\) şeklinde değiştirilir. Burada \(b > 0\) olmalıdır.

  Örnek:

  \[ f(x) = x \]

  fonksiyonunun grafiğini 4 birim yukarı ötelediğimizde, yeni fonksiyon \(k(x)\) şöyle olur:

  \[ k(x) = f(x)+4 = x+4 \]

• Aşağı Öteleme: Bir \(f(x)\) fonksiyonunun grafiğini \(b\) birim aşağı ötelemek için, fonksiyonun kuralı \(f(x)-b\) şeklinde değiştirilir. Burada \(b > 0\) olmalıdır.

  Örnek:

  \[ f(x) = x^3 \]

  fonksiyonunun grafiğini 1 birim aşağı ötelediğimizde, yeni fonksiyon \(m(x)\) şöyle olur:

  \[ m(x) = f(x)-1 = x^3-1 \]

Bileşik Öteleme (Hem Yatay Hem Dikey) 🔄

Bir fonksiyonun grafiği hem yatay hem de dikey olarak aynı anda ötelenebilir. Bu durumda, yukarıda belirtilen kurallar birleştirilir.

Eğer bir \(f(x)\) fonksiyonunun grafiği \(a\) birim sağa (veya sola) ve \(b\) birim yukarı (veya aşağı) ötelenecekse, yeni fonksiyonun kuralı \(f(x-a)+b\) şeklinde olur.

• Kural: \(f(x)\) fonksiyonunun grafiği:
  • \(a\) birim sağa ve \(b\) birim yukarı ötelendiğinde: \(f(x-a)+b\)
  • \(a\) birim sola ve \(b\) birim yukarı ötelendiğinde: \(f(x+a)+b\)
  • \(a\) birim sağa ve \(b\) birim aşağı ötelendiğinde: \(f(x-a)-b\)
  • \(a\) birim sola ve \(b\) birim aşağı ötelendiğinde: \(f(x+a)-b\)

• Örnek:

  \[ f(x) = x^2 \]

  fonksiyonunun grafiğini 2 birim sağa ve 3 birim yukarı ötelediğimizde, yeni fonksiyon \(p(x)\) şöyle olur:

  \[ p(x) = f(x-2)+3 = (x-2)^2+3 \]

Öteleme Kurallarının Özeti 📝

Aşağıdaki tablo, bir \(f(x)\) fonksiyonunun grafiğinin nasıl öteleneceğini özetlemektedir:

Öteleme Yönü	Yeni Fonksiyon Kuralı
\(a\) birim sağa	\(f(x-a)\)
\(a\) birim sola	\(f(x+a)\)
\(b\) birim yukarı	\(f(x)+b\)
\(b\) birim aşağı	\(f(x)-b\)