🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Fonksiyonlarda Öteleme (X Kareli Fonksiyon İçermeyecek Şekilde) Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Fonksiyonlarda Öteleme (X Kareli Fonksiyon İçermeyecek Şekilde) Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
💡 Dikey Öteleme (Yukarı)
Aşağıda verilen \( f(x) = 3x + 2 \) fonksiyonunun grafiği, y ekseni boyunca 4 birim yukarı ötelenerek yeni bir \( g(x) \) fonksiyonu elde ediliyor. Buna göre \( g(x) \) fonksiyonunun kuralını bulunuz.
Aşağıda verilen \( f(x) = 3x + 2 \) fonksiyonunun grafiği, y ekseni boyunca 4 birim yukarı ötelenerek yeni bir \( g(x) \) fonksiyonu elde ediliyor. Buna göre \( g(x) \) fonksiyonunun kuralını bulunuz.
Çözüm:
Bu tür öteleme sorularında, fonksiyonun kuralında yapılan değişiklikleri anlamak önemlidir.
- 📌 Bir fonksiyonun grafiği y ekseni boyunca yukarı doğru öteleniyorsa, fonksiyonun kuralına ötelenen birim kadar pozitif bir sayı eklenir.
- 👉 Verilen fonksiyon: \( f(x) = 3x + 2 \)
- 👉 Fonksiyon 4 birim yukarı öteleniyor. Bu durumda \( f(x) \) kuralına 4 eklemeliyiz.
- ✅ Yeni fonksiyon \( g(x) \) şu şekilde bulunur: \[ g(x) = f(x) + 4 \] \[ g(x) = (3x + 2) + 4 \] \[ g(x) = 3x + 6 \]
Örnek 2:
💡 Dikey Öteleme (Aşağı)
Verilen \( f(x) = -2x + 5 \) fonksiyonunun grafiği, y ekseni boyunca 3 birim aşağı ötelenerek yeni bir \( h(x) \) fonksiyonu elde ediliyor. Buna göre \( h(x) \) fonksiyonunun kuralını bulunuz.
Verilen \( f(x) = -2x + 5 \) fonksiyonunun grafiği, y ekseni boyunca 3 birim aşağı ötelenerek yeni bir \( h(x) \) fonksiyonu elde ediliyor. Buna göre \( h(x) \) fonksiyonunun kuralını bulunuz.
Çözüm:
Fonksiyonlarda dikey öteleme kurallarını hatırlayalım.
- 📌 Bir fonksiyonun grafiği y ekseni boyunca aşağı doğru öteleniyorsa, fonksiyonun kuralından ötelenen birim kadar pozitif bir sayı çıkarılır.
- 👉 Verilen fonksiyon: \( f(x) = -2x + 5 \)
- 👉 Fonksiyon 3 birim aşağı öteleniyor. Bu durumda \( f(x) \) kuralından 3 çıkarmalıyız.
- ✅ Yeni fonksiyon \( h(x) \) şu şekilde bulunur: \[ h(x) = f(x) - 3 \] \[ h(x) = (-2x + 5) - 3 \] \[ h(x) = -2x + 2 \]
Örnek 3:
💡 Yatay Öteleme (Sola)
\( f(x) = 4x - 1 \) fonksiyonunun grafiği, x ekseni boyunca 2 birim sola ötelenerek \( k(x) \) fonksiyonu elde ediliyor. \( k(x) \) fonksiyonunun kuralını yazınız.
\( f(x) = 4x - 1 \) fonksiyonunun grafiği, x ekseni boyunca 2 birim sola ötelenerek \( k(x) \) fonksiyonu elde ediliyor. \( k(x) \) fonksiyonunun kuralını yazınız.
Çözüm:
Yatay öteleme, fonksiyonun içindeki x değerini etkiler.
- 📌 Bir fonksiyonun grafiği x ekseni boyunca sola doğru öteleniyorsa, fonksiyonun kuralında x yerine \( (x + \text{öteleme miktarı}) \) yazılır. Yani \( f(x) \) yerine \( f(x + c) \) olur.
- 👉 Verilen fonksiyon: \( f(x) = 4x - 1 \)
- 👉 Fonksiyon 2 birim sola öteleniyor. Bu durumda x yerine \( (x + 2) \) yazmalıyız.
- ✅ Yeni fonksiyon \( k(x) \) şu şekilde bulunur: \[ k(x) = f(x + 2) \] \[ k(x) = 4(x + 2) - 1 \] \[ k(x) = 4x + 8 - 1 \] \[ k(x) = 4x + 7 \]
Örnek 4:
💡 Yatay Öteleme (Sağa)
\( f(x) = 5 - x \) fonksiyonunun grafiği, x ekseni boyunca 3 birim sağa ötelenerek \( m(x) \) fonksiyonu elde ediliyor. \( m(x) \) fonksiyonunun kuralını bulunuz.
\( f(x) = 5 - x \) fonksiyonunun grafiği, x ekseni boyunca 3 birim sağa ötelenerek \( m(x) \) fonksiyonu elde ediliyor. \( m(x) \) fonksiyonunun kuralını bulunuz.
Çözüm:
Yatay öteleme, x değişkeni üzerinde etkilidir.
- 📌 Bir fonksiyonun grafiği x ekseni boyunca sağa doğru öteleniyorsa, fonksiyonun kuralında x yerine \( (x - \text{öteleme miktarı}) \) yazılır. Yani \( f(x) \) yerine \( f(x - c) \) olur.
- 👉 Verilen fonksiyon: \( f(x) = 5 - x \)
- 👉 Fonksiyon 3 birim sağa öteleniyor. Bu durumda x yerine \( (x - 3) \) yazmalıyız.
- ✅ Yeni fonksiyon \( m(x) \) şu şekilde bulunur: \[ m(x) = f(x - 3) \] \[ m(x) = 5 - (x - 3) \] \[ m(x) = 5 - x + 3 \] \[ m(x) = 8 - x \]
Örnek 5:
💡 Hem Yatay Hem Dikey Öteleme
\( f(x) = 2x + 3 \) fonksiyonunun grafiği, x ekseni boyunca 1 birim sağa ve y ekseni boyunca 5 birim aşağı ötelenerek yeni bir \( p(x) \) fonksiyonu elde ediliyor. \( p(x) \) fonksiyonunun kuralını bulunuz.
\( f(x) = 2x + 3 \) fonksiyonunun grafiği, x ekseni boyunca 1 birim sağa ve y ekseni boyunca 5 birim aşağı ötelenerek yeni bir \( p(x) \) fonksiyonu elde ediliyor. \( p(x) \) fonksiyonunun kuralını bulunuz.
Çözüm:
Bu soruda hem yatay hem de dikey öteleme aynı anda uygulanacaktır.
- 📌 Yatay öteleme (sağa): 1 birim sağa ötelemek için x yerine \( (x - 1) \) yazılır.
- 📌 Dikey öteleme (aşağı): 5 birim aşağı ötelemek için fonksiyonun kuralından 5 çıkarılır.
- 👉 Verilen fonksiyon: \( f(x) = 2x + 3 \)
- ✅ Önce yatay ötelemeyi uygulayalım: \[ f(x - 1) = 2(x - 1) + 3 \] \[ f(x - 1) = 2x - 2 + 3 \] \[ f(x - 1) = 2x + 1 \]
- ✅ Şimdi dikey ötelemeyi uygulayalım: \[ p(x) = f(x - 1) - 5 \] \[ p(x) = (2x + 1) - 5 \] \[ p(x) = 2x - 4 \]
Örnek 6:
📈 Bir ürünün üretim maliyeti, üretilen ürün adedine (x) bağlı olarak \( C(x) = 15x + 50 \) TL fonksiyonu ile modellenmektedir. Yeni bir vergi düzenlemesi nedeniyle, her birim ürün için ödenen maliyet değişmezken, sabit üretim masrafı 12 TL artmıştır. Bu yeni duruma göre üretim maliyetini gösteren \( C_{yeni}(x) \) fonksiyonunun kuralını bulunuz.
Çözüm:
Bu problem, günlük hayattan bir senaryoyu fonksiyon öteleme kavramıyla ilişkilendiriyor.
- 📌 Başlangıçtaki maliyet fonksiyonu: \( C(x) = 15x + 50 \). Burada \( 15x \) değişken maliyeti (ürün başına), \( 50 \) ise sabit maliyeti (kira, personel vb.) temsil eder.
- 👉 Yeni vergi düzenlemesiyle sabit üretim masrafı 12 TL artmıştır. Bu, fonksiyonun tüm çıktılarının 12 birim artması anlamına gelir. Yani, fonksiyonun grafiği y ekseni boyunca yukarı ötelenir.
- ✅ Yeni maliyet fonksiyonu \( C_{yeni}(x) \) şu şekilde bulunur: \[ C_{yeni}(x) = C(x) + 12 \] \[ C_{yeni}(x) = (15x + 50) + 12 \] \[ C_{yeni}(x) = 15x + 62 \]
Örnek 7:
🌡️ Bir şehirdeki günlük ortalama sıcaklık, günün belirli saatlerine göre \( S(t) \) fonksiyonu ile gösterilmektedir. Öğleden sonra aniden bastıran soğuk hava dalgası nedeniyle, gün boyunca sıcaklık değerlerinin tamamı 7 derece düşmüştür. Bu yeni durumu ifade eden \( S_{yeni}(t) \) fonksiyonunun kuralını nasıl yazarsınız?
Çözüm:
Günlük hayattaki değişimler, fonksiyon öteleme ile kolayca modellenebilir.
- 📌 Başlangıçtaki sıcaklık fonksiyonu: \( S(t) \). Bu fonksiyon, 't' anındaki sıcaklığı vermektedir.
- 👉 Soğuk hava dalgası nedeniyle tüm sıcaklık değerleri 7 derece düşmüştür. Bu, fonksiyonun her bir çıktısının 7 birim azalması anlamına gelir. Yani, fonksiyonun grafiği y ekseni boyunca aşağı ötelenir.
- ✅ Yeni sıcaklık fonksiyonu \( S_{yeni}(t) \) şu şekilde bulunur: \[ S_{yeni}(t) = S(t) - 7 \]
Örnek 8:
💡 Mutlak Değer Fonksiyonunda Öteleme
\( f(x) = |x| \) mutlak değer fonksiyonunun grafiği, x ekseni boyunca 4 birim sola ve y ekseni boyunca 2 birim yukarı ötelenerek yeni bir \( r(x) \) fonksiyonu elde ediliyor. Buna göre \( r(x) \) fonksiyonunun kuralını bulunuz.
\( f(x) = |x| \) mutlak değer fonksiyonunun grafiği, x ekseni boyunca 4 birim sola ve y ekseni boyunca 2 birim yukarı ötelenerek yeni bir \( r(x) \) fonksiyonu elde ediliyor. Buna göre \( r(x) \) fonksiyonunun kuralını bulunuz.
Çözüm:
Mutlak değer fonksiyonları da diğer fonksiyonlar gibi ötelenebilir. Kurallar aynıdır.
- 📌 Yatay öteleme (sola): 4 birim sola ötelemek için x yerine \( (x + 4) \) yazılır.
- 📌 Dikey öteleme (yukarı): 2 birim yukarı ötelemek için fonksiyonun kuralına 2 eklenir.
- 👉 Verilen fonksiyon: \( f(x) = |x| \)
- ✅ Önce yatay ötelemeyi uygulayalım: \[ f(x + 4) = |x + 4| \]
- ✅ Şimdi dikey ötelemeyi uygulayalım: \[ r(x) = f(x + 4) + 2 \] \[ r(x) = |x + 4| + 2 \]
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-fonksiyonlarda-oteleme-x-kareli-fonksiyon-icermeyecek-sekilde/sorular