Fonksiyonlarda Öteleme (X Kareli Fonksiyon İçermeyecek Şekilde) Ders Notu

Fonksiyonlarda öteleme, bir fonksiyonun grafiğini koordinat düzleminde sağa, sola, yukarı veya aşağı doğru kaydırma işlemidir. Fonksiyonun şekli değişmez, sadece konumu değişir. Bu konuda, özellikle doğrusal ve mutlak değerli fonksiyonlar gibi \(x\) kareli terim içermeyen fonksiyonların öteleme kurallarını inceleyeceğiz.

Fonksiyonlarda Yatay (Sağa-Sola) Öteleme ↔️

Bir \(f(x)\) fonksiyonunun grafiğini yatay eksende (x ekseni boyunca) kaydırmak için fonksiyonun içindeki \(x\) değişkeni üzerinde değişiklik yapılır.

1. Sağa Öteleme (x ekseninde pozitif yönde)

• Bir \(f(x)\) fonksiyonunun grafiğini \(a\) birim sağa ötelemek için, fonksiyonu \(f(x-a)\) şeklinde yazarız.
• Burada \(a\) pozitif bir sayıdır.
• Kural: \(f(x) \rightarrow f(x-a)\)

Örnek: \(f(x) = x\) fonksiyonunun grafiğini 3 birim sağa öteleyelim.

Yeni fonksiyon \(g(x) = f(x-3)\) olur. Yani \(g(x) = x-3\).

Eğer \(f(x) = |x|\) fonksiyonunu 2 birim sağa öteleseydik, yeni fonksiyon \(g(x) = |x-2|\) olurdu.

2. Sola Öteleme (x ekseninde negatif yönde)

• Bir \(f(x)\) fonksiyonunun grafiğini \(a\) birim sola ötelemek için, fonksiyonu \(f(x+a)\) şeklinde yazarız.
• Burada \(a\) pozitif bir sayıdır.
• Kural: \(f(x) \rightarrow f(x+a)\)

Örnek: \(f(x) = x\) fonksiyonunun grafiğini 2 birim sola öteleyelim.

Yeni fonksiyon \(g(x) = f(x+2)\) olur. Yani \(g(x) = x+2\).

Eğer \(f(x) = |x|\) fonksiyonunu 4 birim sola öteleseydik, yeni fonksiyon \(g(x) = |x+4|\) olurdu.

Yatay Öteleme Özeti:

Fonksiyon Değişimi	Öteleme Yönü	Öteleme Miktarı
\(f(x-a)\)	Sağa	\(a\) birim
\(f(x+a)\)	Sola	\(a\) birim

Fonksiyonlarda Dikey (Yukarı-Aşağı) Öteleme ↕️

Bir \(f(x)\) fonksiyonunun grafiğini dikey eksende (y ekseni boyunca) kaydırmak için fonksiyonun tümüne bir sayı eklenir veya çıkarılır.

1. Yukarı Öteleme (y ekseninde pozitif yönde)

• Bir \(f(x)\) fonksiyonunun grafiğini \(b\) birim yukarı ötelemek için, fonksiyonu \(f(x)+b\) şeklinde yazarız.
• Burada \(b\) pozitif bir sayıdır.
• Kural: \(f(x) \rightarrow f(x)+b\)

Örnek: \(f(x) = x\) fonksiyonunun grafiğini 5 birim yukarı öteleyelim.

Yeni fonksiyon \(g(x) = f(x)+5\) olur. Yani \(g(x) = x+5\).

Eğer \(f(x) = |x|\) fonksiyonunu 3 birim yukarı öteleseydik, yeni fonksiyon \(g(x) = |x|+3\) olurdu.

2. Aşağı Öteleme (y ekseninde negatif yönde)

• Bir \(f(x)\) fonksiyonunun grafiğini \(b\) birim aşağı ötelemek için, fonksiyonu \(f(x)-b\) şeklinde yazarız.
• Burada \(b\) pozitif bir sayıdır.
• Kural: \(f(x) \rightarrow f(x)-b\)

Örnek: \(f(x) = x\) fonksiyonunun grafiğini 4 birim aşağı öteleyelim.

Yeni fonksiyon \(g(x) = f(x)-4\) olur. Yani \(g(x) = x-4\).

Eğer \(f(x) = |x|\) fonksiyonunu 1 birim aşağı öteleseydik, yeni fonksiyon \(g(x) = |x|-1\) olurdu.

Dikey Öteleme Özeti:

Fonksiyon Değişimi	Öteleme Yönü	Öteleme Miktarı
\(f(x)+b\)	Yukarı	\(b\) birim
\(f(x)-b\)	Aşağı	\(b\) birim

Hem Yatay Hem Dikey Öteleme ⬆️⬇️⬅️➡️

Bir fonksiyonun grafiği hem yatayda hem de dikeyde aynı anda ötelenebilir. Bu durumda hem \(x\) değişkeni üzerinde hem de fonksiyonun tamamı üzerinde değişiklik yapılır.

• Kural: Bir \(f(x)\) fonksiyonunun grafiğini \(a\) birim sağa ve \(b\) birim yukarı ötelemek için \(f(x-a)+b\) şeklinde yazarız.
• Diğer yönler için de aynı mantıkla hareket edilir.

Örnek: \(f(x) = x\) fonksiyonunun grafiğini 2 birim sağa ve 3 birim yukarı öteleyelim.

Önce 2 birim sağa öteliyoruz: \(f(x-2) = x-2\).

Sonra bu yeni fonksiyonu 3 birim yukarı öteliyoruz: \(g(x) = (x-2)+3 = x+1\).

Yani, \(f(x) = x\) fonksiyonu için 2 birim sağa ve 3 birim yukarı öteleme sonrası yeni fonksiyon \(g(x) = x+1\) olur.

Örnek: \(f(x) = |x|\) fonksiyonunun grafiğini 1 birim sola ve 2 birim aşağı öteleyelim.

Önce 1 birim sola öteliyoruz: \(f(x+1) = |x+1|\).

Sonra bu yeni fonksiyonu 2 birim aşağı öteliyoruz: \(g(x) = |x+1|-2\).

Yani, \(f(x) = |x|\) fonksiyonu için 1 birim sola ve 2 birim aşağı öteleme sonrası yeni fonksiyon \(g(x) = |x+1|-2\) olur.

Önemli Notlar:

• Fonksiyonun öteleme işlemi, fonksiyonun tanımlı olduğu bölgedeki her noktayı aynı miktarda ve aynı yönde kaydırır.
• Öteleme, fonksiyonun "şeklini" (eğriliğini, doğrusallığını vb.) değiştirmez; sadece koordinat düzlemindeki "yerini" değiştirir.