💡 9. Sınıf Matematik: Eşlik ve benzerlik teoremleri, öklid, tales ve pisagor Çözümlü Örnekler

Bu soruyu çözmek için Pisagor Teoremi'ni kullanacağız.

• Pisagor Teoremi formülü: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
• Verilen değerleri formülde yerine yazalım: \( 9^2 + 12^2 = AC^2 \)
• \( 81 + 144 = AC^2 \)
• \( 225 = AC^2 \)
• Her iki tarafın karekökünü aldığımızda: \( AC = 15 \) birim bulunur.
• Pratik Yol: Bu üçgen \( 3-4-5 \) özel üçgeninin \( 3 \) katıdır. \( (3 \times 3, 4 \times 3, 5 \times 3) \) olduğundan sonuç doğrudan \( 15 \) olarak da bulunabilir. ✅

Dik açıdan hipotenüse dikme indirildiği için Öklid Teoremi bağıntılarını kullanmalıyız.

• Öklid'in yükseklik bağıntısı: \( h^2 = p \times k \)
• Burada \( h = x \), \( p = 4 \) ve \( k = 9 \)'dur.
• Denklemi kuralım: \( x^2 = 4 \times 9 \)
• \( x^2 = 36 \)
• Her iki tarafın karekökünü aldığımızda: \( x = 6 \) cm bulunur. 💡

DE doğrusu BC kenarına paralel olduğu için ABC üçgeni ile ADE üçgeni arasında Temel Benzerlik Teoremi (A.A. Benzerliği) vardır.

• Benzerlik oranını kuralım: \( \frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC} \)
• \( AB = AD + DB = 4 + 6 = 10 \) cm'dir.
• Orantıyı yazalım: \( \frac{4}{10} = \frac{8}{x} \)
• İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 4 \times x = 10 \times 8 \)
• \( 4 \times x = 80 \)
• Her iki tarafı 4'e böldüğümüzde: \( x = 20 \) cm bulunur. 🚀

Soruyu iki ayrı dik üçgen olarak modelleyelim:

• 1. Adım (Merdiven Tarafı): Merdiven (\( 5 \) m), yükseklik (\( 3 \) m) ve yerdeki yatay mesafe (\( a \)) bir dik üçgen oluşturur.
• \( a^2 + 3^2 = 5^2 \Rightarrow a^2 + 9 = 25 \Rightarrow a^2 = 16 \Rightarrow a = 4 \) metre (Merdivenin yerdeki izdüşümü).
• 2. Adım (Kaydırak Tarafı): Toplam yer mesafesi \( 7 \) metreydi. Kaydırağın yerdeki izdüşümü \( b = 7 - 4 = 3 \) metredir.
• 3. Adım (Kaydırak Boyu): Kaydırağın boyuna \( x \) diyelim. Yükseklik (\( 3 \) m) ve yatay mesafe (\( 3 \) m) ile Pisagor yapalım.
• \( 3^2 + 3^2 = x^2 \)
• \( 9 + 9 = x^2 \Rightarrow 18 = x^2 \)
• \( x = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \) metre bulunur. ✨

Güneş ışınları aynı açıyla geldiği için öğrenci ve gölgesi ile bina ve gölgesi arasında Benzerlik ilişkisi vardır.

• Orantı: \( \frac{\text{Öğrenci Boyu}}{\text{Öğrenci Gölgesi}} = \frac{\text{Bina Boyu}}{\text{Bina Gölgesi}} \)
• Değerleri yerleştirelim: \( \frac{1,6}{2} = \frac{x}{15} \)
• \( 0,8 = \frac{x}{15} \)
• İçler dışlar çarpımı: \( x = 0,8 \times 15 \)
• \( x = 12 \) metre.
• Okul binasının yüksekliği \( 12 \) metredir. ☀️

Bu soruda hem Pisagor hem de Öklid bağıntılarını birlikte kullanabiliriz.

• 1. Adım: ABH dik üçgeninde Pisagor yaparak \( AH \)'yi bulalım.
• \( AH^2 + 9^2 = 15^2 \Rightarrow AH^2 + 81 = 225 \Rightarrow AH^2 = 144 \Rightarrow AH = 12 \) cm.
• 2. Adım: Öklid'in yükseklik bağıntısı ile \( HC \)'yi bulalım.
• \( AH^2 = BH \times HC \Rightarrow 12^2 = 9 \times HC \Rightarrow 144 = 9 \times HC \Rightarrow HC = 16 \) cm.
• 3. Adım: AHC dik üçgeninde Pisagor yaparak \( AC \)'yi bulalım.
• \( 12^2 + 16^2 = x^2 \Rightarrow 144 + 256 = x^2 \Rightarrow 400 = x^2 \Rightarrow x = 20 \) cm.
• Not: AHC üçgeni \( 3-4-5 \) üçgeninin \( 4 \) katı olan \( 12-16-20 \) üçgenidir. ✅

Paralel doğrular arasındaki parçaların oranı birbirine eşittir. Bu durum Tales Teoremi olarak adlandırılır.

• Tales Teoremi'ne göre oran kuralım: \( \frac{6}{9} = \frac{8}{x} \)
• Sadeleştirme yapalım: \( \frac{2}{3} = \frac{8}{x} \)
• İçler dışlar çarpımı: \( 2 \times x = 3 \times 8 \)
• \( 2 \times x = 24 \)
• \( x = 12 \) cm bulunur. 📍

İki üçgenin eş olması, tüm kenar uzunluklarının ve açı ölçülerinin aynı olması demektir.

• K.A.K. Eşlik Teoremi: İki üçgenin karşılıklı ikişer kenar uzunlukları birbirine eşit ve bu kenarlar arasında kalan açıların ölçüleri de birbirine eşit ise bu üçgenler eştir.
• Örneğin: ABC ve DEF üçgenlerinde;
• \( AB = DE \)
• \( BC = EF \)
• \( m(B) = m(E) \) ise
• Bu iki üçgen ABC \cong DEF şeklinde gösterilir ve tamamen aynıdırlar. 💎