🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Eşlik ve benzerlik, tales, öklid, pisagor Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Eşlik ve benzerlik, tales, öklid, pisagor Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde \( AB = 6 \) cm, \( BC = 8 \) cm ve \( AC = 10 \) cm'dir. Bu üçgenin dik açısının hangi köşede olduğunu bulunuz.
Çözüm:
- Üçgenin kenar uzunlukları \( a = 8 \), \( b = 10 \), \( c = 6 \) olarak verilmiş.
- Pisagor teoreminin tersini kontrol edelim: En uzun kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamına eşit mi?
- \( AC^2 = 10^2 = 100 \)
- \( AB^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \)
- \( AC^2 = AB^2 + BC^2 \) eşitliği sağlandığı için, bu bir dik üçgendir.
- Dik açı, en uzun kenarın (hipotenüsün) karşısındaki köşededir. Bu durumda dik açı B köşesindedir. ✅
Örnek 2:
İki benzer üçgenin benzerlik oranı \( \frac{2}{3} \) tür. Küçük olan üçgenin çevresi 18 cm ise, büyük olan üçgenin çevresi kaç cm'dir?
Çözüm:
- Benzer üçgenlerde çevreler oranı, kenarlar oranına eşittir.
- Benzerlik oranı \( k = \frac{2}{3} \) olarak verilmiş.
- Küçük üçgenin çevresi \( Ç_k = 18 \) cm.
- Büyük üçgenin çevresi \( Ç_b \) olsun.
- \( \frac{Ç_k}{Ç_b} = k \)
- \( \frac{18}{Ç_b} = \frac{2}{3} \)
- İçler dışlar çarpımı yaparsak: \( 2 \times Ç_b = 18 \times 3 \)
- \( 2 \times Ç_b = 54 \)
- \( Ç_b = \frac{54}{2} = 27 \) cm. 👉
- Büyük üçgenin çevresi 27 cm'dir.
Örnek 3:
Bir dik üçgende dik kenarlar 5 cm ve 12 cm ise, hipotenüs kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
- Pisagor teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \), burada \( a \) ve \( b \) dik kenarlar, \( c \) hipotenüstür.
- Verilen dik kenarlar: \( a = 5 \) cm, \( b = 12 \) cm.
- Teoremi uygulayalım: \( 5^2 + 12^2 = c^2 \)
- \( 25 + 144 = c^2 \)
- \( 169 = c^2 \)
- Her iki tarafın karekökünü alırsak: \( c = \sqrt{169} \)
- \( c = 13 \) cm. ✅
- Hipotenüs 13 cm'dir.
Örnek 4:
Bir ABC üçgeninde D noktası AB kenarı üzerinde, E noktası AC kenarı üzerinde olmak üzere DE doğrusu BC doğrusuna paraleldir. Eğer \( |AD| = 4 \) cm, \( |DB| = 2 \) cm ve \( |AE| = 6 \) cm ise, \( |EC| \) kaç cm'dir? (Tales Teoremi)
Çözüm:
- DE || BC olduğundan, ABC üçgeni ile ADE üçgeni benzerdir (Temel Benzerlik Teoremi).
- Benzerlik oranına göre: \( \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} = \frac{|DE|}{|BC|} \)
- \( |AB| = |AD| + |DB| = 4 + 2 = 6 \) cm.
- Oranı kullanarak \( |AE| \) ve \( |AC| \) arasındaki ilişkiyi kuralım:
- \( \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} \)
- \( \frac{4}{6} = \frac{6}{|AC|} \)
- Sadeleştirirsek: \( \frac{2}{3} = \frac{6}{|AC|} \)
- İçler dışlar çarpımı: \( 2 \times |AC| = 6 \times 3 \)
- \( 2 \times |AC| = 18 \)
- \( |AC| = \frac{18}{2} = 9 \) cm.
- \( |AC| = |AE| + |EC| \)
- \( 9 = 6 + |EC| \)
- \( |EC| = 9 - 6 = 3 \) cm. 👉
- \( |EC| \) uzunluğu 3 cm'dir.
Örnek 5:
Bir inşaat mühendisi, yerden 12 metre yükseklikteki bir köprünün ayağının uzunluğunu hesaplamak istiyor. Köprünün ayağının yerden 12 metre yükseklikteki noktası ile köprünün karşı ayağının tabanı arasındaki yatay mesafe 5 metre olarak ölçülüyor. Mühendisin, köprünün ayağının toplam uzunluğunu (dik üçgenin hipotenüsü) hesaplaması gerekiyor. Bu hesaplama için hangi teoremi kullanmalıdır ve hipotenüs kaç metre olur?
Çözüm:
- Bu problemde, köprünün ayağını, yerden yüksekliği ve yatay mesafeyi bir dik üçgenin kenarları olarak düşünebiliriz.
- Dik kenarlar:
- Yükseklik = 12 metre
- Yatay Mesafe = 5 metre
- Hesaplanması gereken, bu dik kenarların oluşturduğu dik üçgenin hipotenüsüdür.
- Bu hesaplama için Pisagor Teoremi kullanılmalıdır.
- Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- \( 12^2 + 5^2 = c^2 \)
- \( 144 + 25 = c^2 \)
- \( 169 = c^2 \)
- \( c = \sqrt{169} \)
- \( c = 13 \) metre. ✅
- Köprünün ayağının toplam uzunluğu (hipotenüs) 13 metredir.
Örnek 6:
Bir ABC üçgeninde, A köşesinden BC kenarına indirilen yükseklik (AD) 6 birimdir. \( |BD| = 3 \) birim ve \( |CD| = 4 \) birim ise, \( |AB| \) ve \( |AC| \) kenar uzunluklarını bulunuz. (Öklid Bağıntıları ve Pisagor)
Çözüm:
- Bu problemde hem Pisagor Teoremi hem de Öklid'in yükseklik bağıntısı (dik üçgenlerde öklid teoremi) kullanılabilir. Önce Pisagor ile çözelim.
- ABD dik üçgeninde Pisagor Teoremi:
- \( |AB|^2 = |AD|^2 + |BD|^2 \)
- \( |AB|^2 = 6^2 + 3^2 \)
- \( |AB|^2 = 36 + 9 \)
- \( |AB|^2 = 45 \)
- \( |AB| = \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5} \) birim. 💡
- ACD dik üçgeninde Pisagor Teoremi:
- \( |AC|^2 = |AD|^2 + |CD|^2 \)
- \( |AC|^2 = 6^2 + 4^2 \)
- \( |AC|^2 = 36 + 16 \)
- \( |AC|^2 = 52 \)
- \( |AC| = \sqrt{52} = \sqrt{4 \times 13} = 2\sqrt{13} \) birim. 👉
- Yani, \( |AB| = 3\sqrt{5} \) birim ve \( |AC| = 2\sqrt{13} \) birimdir.
Örnek 7:
Bir harita üzerinde A ve B şehirleri arasındaki uzaklık 4 cm olarak gösterilmiştir. Haritanın ölçeği 1:500.000 olduğuna göre, A ve B şehirleri arasındaki gerçek uzaklık kaç km'dir? 🗺️
Çözüm:
- Harita üzerindeki uzaklık ile gerçek uzaklık arasındaki ilişkiyi ölçek belirler.
- Ölçek: 1:500.000 demek, haritadaki 1 birimin gerçekte 500.000 birim olduğu anlamına gelir.
- Harita üzerindeki uzaklık = 4 cm.
- Gerçek uzaklık = Harita üzerindeki uzaklık \( \times \) Ölçek paydası
- Gerçek uzaklık = \( 4 \) cm \( \times 500.000 \)
- Gerçek uzaklık = \( 2.000.000 \) cm.
- Bu uzaklığı kilometreye çevirmemiz gerekiyor.
- 1 km = 100.000 cm
- Gerçek uzaklık (km) = \( \frac{2.000.000 \text{ cm}}{100.000 \text{ cm/km}} \)
- Gerçek uzaklık = 20 km. ✅
- A ve B şehirleri arasındaki gerçek uzaklık 20 km'dir.
Örnek 8:
İki üçgenin karşılıklı kenar uzunlukları orantılı ise bu üçgenler benzerdir. Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları \( |AB|=3 \), \( |BC|=4 \), \( |AC|=5 \) ve bir DEF üçgeninin kenar uzunlukları \( |DE|=6 \), \( |EF|=8 \), \( |DF|=10 \) olarak verilmiştir. Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını ve benzerlik oranını bulunuz.
Çözüm:
- İki üçgenin benzer olup olmadığını kontrol etmek için kenar uzunluklarının oranlarına bakarız.
- ABC üçgeninin kenarları: 3, 4, 5
- DEF üçgeninin kenarları: 6, 8, 10
- Karşılıklı kenarların oranlarını hesaplayalım:
- \( \frac{|DE|}{|AB|} = \frac{6}{3} = 2 \)
- \( \frac{|EF|}{|BC|} = \frac{8}{4} = 2 \)
- \( \frac{|DF|}{|AC|} = \frac{10}{5} = 2 \)
- Tüm karşılıklı kenar oranları eşit (2) olduğu için, ABC ve DEF üçgenleri benzerdir. 👉
- Benzerlik oranı \( k = 2 \) dir. (DEF üçgeni, ABC üçgeninin 2 katı büyüklüğündedir.)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-eslik-ve-benzerlik-tales-oklid-pisagor/sorular