🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Eşlik ve Benzerlik ile İlgili Problemler 2 Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Eşlik ve Benzerlik ile İlgili Problemler 2 Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde \( AB = 6 \) cm, \( BC = 8 \) cm ve \( AC = 10 \) cm'dir. Bir DEF üçgeninde \( DE = 12 \) cm, \( EF = 16 \) cm ve \( DF = 20 \) cm'dir.
Bu iki üçgen arasındaki eşlik veya benzerlik durumunu belirleyiniz.
Bu iki üçgen arasındaki eşlik veya benzerlik durumunu belirleyiniz.
Çözüm:
Bu problemi çözmek için üçgenlerin kenar uzunluklarını karşılaştıracağız.
- Adım 1: Üçgenlerin kenar uzunluklarını gruplayalım.
ABC üçgeninin kenarları: \( 6, 8, 10 \)
DEF üçgeninin kenarları: \( 12, 16, 20 \) - Adım 2: Kenar uzunluklarının oranlarını inceleyelim.
\( \frac{DE}{AB} = \frac{12}{6} = 2 \)
\( \frac{EF}{BC} = \frac{16}{8} = 2 \)
\( \frac{DF}{AC} = \frac{20}{10} = 2 \) - Adım 3: Oranların eşitliğini kontrol edelim.
Tüm kenar uzunluklarının oranları \( 2 \) olarak bulunmuştur. Bu durum, iki üçgenin kenar uzunluklarının orantılı olduğunu gösterir. - Sonuç: Kenar-Kenar-Kenar (KKK) benzerlik kuralına göre, ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir. Benzerlik oranı \( 2 \)'dir.
Örnek 2:
Bir parkta bulunan iki direğin yükseklikleri arasındaki ilişkiyi inceleyelim.
Birinci direğin boyu 5 metre ve gölgesi 3 metredir. İkinci direğin gölgesi ise 6 metredir.
İkinci direğin boyunu bulunuz.
Birinci direğin boyu 5 metre ve gölgesi 3 metredir. İkinci direğin gölgesi ise 6 metredir.
İkinci direğin boyunu bulunuz.
Çözüm:
Bu problemde, güneşin aynı anda farklı yükseklikteki cisimler üzerine düşen gölgeleri arasındaki ilişkiyi kullanarak benzerlikten faydalanacağız.
- Adım 1: Problemi görselleştirelim.
Her iki direk ve gölgeleri, güneş ışınlarının oluşturduğu dik üçgenler olarak düşünülebilir. Bu üçgenlerde, direğin boyu dikey kenarı, gölgesi yatay kenarı temsil eder. Güneş ışınlarının açısı her iki direk için de aynıdır. - Adım 2: Benzerlik oranını kuralım.
Direklerin yükseklikleri ile gölgeleri arasında bir benzerlik vardır. Birinci direğin boyu \( h_1 = 5 \) m ve gölgesi \( g_1 = 3 \) m'dir. İkinci direğin boyu \( h_2 \) ve gölgesi \( g_2 = 6 \) m'dir.
Benzerlik oranı: \( \frac{h_1}{g_1} = \frac{h_2}{g_2} \) - Adım 3: Bilinen değerleri formülde yerine koyalım.
\( \frac{5}{3} = \frac{h_2}{6} \) - Adım 4: İkinci direğin boyunu \( h_2 \) hesaplayalım.
İçler dışlar çarpımı yaparsak:
\( 3 \times h_2 = 5 \times 6 \)
\( 3h_2 = 30 \)
\( h_2 = \frac{30}{3} \)
\( h_2 = 10 \) metre
Örnek 3:
Bir inşaat mühendisi, bir binanın maketini yapmaktadır. Maketin ölçeği \( 1:50 \)'dir. Maketin yüksekliği 12 cm olarak tasarlanmıştır.
Bu maket, gerçek binanın hangi yüksekliğine karşılık gelir?
Bu maket, gerçek binanın hangi yüksekliğine karşılık gelir?
Çözüm:
Bu problemde, verilen ölçeği kullanarak maket boyutundan gerçek boyutları hesaplayacağız.
- Adım 1: Ölçeğin anlamını kavrayalım.
Ölçek \( 1:50 \) demek, maketteki her 1 birimin gerçekte 50 birime karşılık geldiği anlamına gelir. - Adım 2: Maketin yüksekliğini ve ölçeği not edelim.
Maket yüksekliği = \( 12 \) cm
Ölçek = \( 1:50 \) - Adım 3: Gerçek yüksekliği hesaplamak için ölçeği kullanalım.
Gerçek Yükseklik = Maket Yüksekliği \( \times \) Ölçek Oranı
Gerçek Yükseklik = \( 12 \) cm \( \times 50 \) - Adım 4: Hesaplamayı yapalım.
Gerçek Yükseklik = \( 600 \) cm - Adım 5: Birimi metreye çevirelim.
\( 1 \) metre = \( 100 \) cm olduğundan,
Gerçek Yükseklik = \( \frac{600}{100} \) metre = \( 6 \) metre
Örnek 4:
Bir ABC üçgeninde \( AB = AC \) ve \( \angle ABC = \angle ACB = 50^\circ \) 'dir. Bu üçgenin içine, \( \angle BCD = 30^\circ \) olacak şekilde bir D noktası çiziliyor ve C köşesinden D noktasına bir doğru parçası çekiliyor. \( \angle ADC \) kaç derecedir?
Çözüm:
Bu problem, açılar arasındaki ilişkileri ve üçgenlerin iç açıları toplamını kullanarak çözülecektir.
- Adım 1: Verilen ABC üçgeninin özelliklerini belirleyelim.
ABC üçgeni ikizkenar bir üçgendir çünkü \( AB = AC \) ve \( \angle ABC = \angle ACB = 50^\circ \). - Adım 2: ABC üçgeninin A açısını hesaplayalım.
Bir üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \)'dir.
\( \angle BAC = 180^\circ - (\angle ABC + \angle ACB) \)
\( \angle BAC = 180^\circ - (50^\circ + 50^\circ) \)
\( \angle BAC = 180^\circ - 100^\circ \)
\( \angle BAC = 80^\circ \) - Adım 3: C noktasından D noktasına çizilen CD doğrusunun oluşturduğu açıları inceleyelim.
\( \angle BCD = 30^\circ \) olarak verilmiş.
\( \angle ACD = \angle ACB - \angle BCD \)
\( \angle ACD = 50^\circ - 30^\circ \)
\( \angle ACD = 20^\circ \) - Adım 4: ADC üçgeninin açılarını bulmaya çalışalım.
ADC üçgeninde \( \angle CAD \) açısını bulmamız gerekiyor. Bu açı \( \angle BAC \) ile aynıdır, yani \( \angle CAD = 80^\circ \).
ADC üçgeninin iç açıları şunlardır: \( \angle CAD = 80^\circ \), \( \angle ACD = 20^\circ \). - Adım 5: ADC üçgeninin \( \angle ADC \) açısını hesaplayalım.
\( \angle ADC = 180^\circ - (\angle CAD + \angle ACD) \)
\( \angle ADC = 180^\circ - (80^\circ + 20^\circ) \)
\( \angle ADC = 180^\circ - 100^\circ \)
\( \angle ADC = 80^\circ \)
Örnek 5:
Bir fotoğrafçı, bir manzarayı kadrajına alırken uzaktaki bir dağın yüksekliğini yaklaşık olarak belirlemek istiyor. Fotoğrafçının göz hizası yerden 1.6 metre yüksekliktedir ve elindeki kameranın lensinden dağın tepesine olan uzaklık 100 metre olarak ölçülüyor. Dağın fotoğrafçıya olan yatay uzaklığı ise 500 metredir.
Dağın yaklaşık yüksekliğini hesaplayınız.
Dağın yaklaşık yüksekliğini hesaplayınız.
Çözüm:
Bu problemde, benzerlik prensibini kullanarak dağın yüksekliğini tahmin edeceğiz. Fotoğrafçı, göz hizası ve kamera lensi ile dağın tepesi arasında bir benzerlik oluşturacaktır.
- Adım 1: Problemi bir dik üçgen modeliyle temsil edelim.
Fotoğrafçının göz hizası, dağın zirvesi ve fotoğrafçının bulunduğu nokta ile dağın alt noktası arasında bir benzerlik kuracağız. Göz hizası, üçgenin bir parçası olarak düşünülebilir. - Adım 2: Benzer üçgenleri tanımlayalım.
Küçük üçgen: Fotoğrafçının göz hizasından dağın zirvesine kadar olan dikey yükseklik ( \( h_{göz} \) ) ve fotoğrafçının göz hizasından dağın zirvesine olan eğik uzaklık.
Büyük üçgen: Dağın toplam yüksekliği ( \( H_{dağ} \) ) ve fotoğrafçının bulunduğu noktadan dağın alt noktasına olan yatay uzaklık ( \( U_{yatay} = 500 \) m ).
Burada, fotoğrafçının göz hizasından dağın zirvesine kadar olan dikey yükseklik \( h_{dağ\_zirve} \) olsun. - Adım 3: Benzerlik oranını kuralım.
Küçük üçgenin dikey kenarı \( h_{dağ\_zirve} \) ve yatay kenarı (fotoğrafçının göz hizasından dağa olan yatay uzaklık) \( 500 \) metredir. Ancak, problemde verilen eğik uzaklık ( \( 100 \) m ) ve yatay uzaklık ( \( 500 \) m ) ile bir hata yapılmış olabilir. Genellikle benzerlikte yatay uzaklıklar kullanılır.
Soruyu, fotoğrafçının göz hizasından dağın zirvesine kadar olan dikey mesafenin, dağın toplam yüksekliğine oranının, fotoğrafçının göz hizasından dağa olan yatay uzaklığın, dağın toplam yatay uzaklığına oranı şeklinde kuralım. Ancak, verilen bilgilerle bu doğrudan bir benzerlik oluşturmaz.
Daha doğru bir yaklaşım: Fotoğrafçının göz hizasından dağın zirvesine kadar olan dikey mesafenin, dağın altından zirvesine kadar olan toplam dikey mesafeye oranı, fotoğrafçının göz hizasından dağa olan yatay uzaklığın, dağın altından fotoğrafçıya olan yatay uzaklığına oranıdır. Ancak elimizde eğik uzaklık var. Bu durumda, fotoğrafçının göz hizasından dağın zirvesine kadar olan dikey mesafeyi bulmak için benzerlik kullanabiliriz.
Eğer kamera lensinden dağın tepesine olan uzaklık \( 100 \) m ise ve bu uzaklık dağın zirvesine doğruysa, ve fotoğrafçının göz hizasından dağa olan yatay uzaklık \( 500 \) m ise, bu durum bir dik üçgen oluşturur. Bu dik üçgenin dikey kenarı \( h_{dağ\_zirve} \) ve yatay kenarı \( 500 \) m olur. Hipotenüs \( 100 \) m olamaz çünkü hipotenüs dik kenarlardan uzun olmak zorundadır.
Soruyu şu şekilde revize edelim: Fotoğrafçının göz hizasından dağın tepesine olan eğik uzaklığı 100 metre değil, dağın zirvesinin fotoğrafçının göz hizasına göre dikey yüksekliği 100 metre olsun.
Bu durumda, fotoğrafçının göz hizasından dağın zirvesine kadar olan dikey yükseklik \( h_{zirve\_göz} = 100 \) m ve fotoğrafçının göz hizasından dağa olan yatay uzaklık \( U_{yatay} = 500 \) m.
Bu durumda benzerlik oranı: \( \frac{h_{zirve\_göz}}{U_{yatay}} \) gibi bir oran kuramayız.
Soruyu tekrar gözden geçirelim. Eğer kamera lensinden dağın tepesine olan uzaklık 100 metre ise ve bu bir eğik uzaklıksa, bu durum bir dik üçgenin hipotenüsü olabilir. Ancak, bu hipotenüsün yatay uzaklıktan (500 m) uzun olması gerekir. Bu çelişkilidir.
Soruyu şu şekilde yorumlayalım ve çözelim: Fotoğrafçının göz hizasından dağın zirvesine kadar olan dikey mesafenin, dağın altından zirvesine kadar olan toplam yüksekliğe oranı, fotoğrafçının göz hizasından dağa olan yatay uzaklığın, dağın altından fotoğrafçıya olan yatay uzaklığına oranıdır.
Daha basit bir yaklaşım: Güneş ışınları gibi düşünelim. Dağın boyu \( H \) ve gölgesi \( G \). Fotoğrafçının göz hizası \( h_{göz} \) ve onun "gölgesi" (fotoğrafçının göz hizasından dağın zirvesine kadar olan dikey yükseklik) \( h_{zirve\_göz} \).
Eğer kamera lensinden dağın tepesine olan uzaklık 100 metre ise, bu bir eğik uzaklıktır. Dağın yatay uzaklığı 500 metre ise, bu bir dik üçgenin bir kenarıdır. Bu durumda, benzerlik oranı şu şekilde kurulabilir:
\( \frac{\text{Dağın Zirvesinin Göz Seviyesinden Yüksekliği}}{\text{Dağın Yatay Uzaklığı}} = \frac{\text{Fotoğrafçının Göz Yüksekliği}}{\text{Fotoğrafçının Gözünden Dağa Olan Yatay Uzaklık}} \) (Bu doğru bir benzerlik değildir.)
Doğru Yaklaşım: Fotoğrafçının göz hizasından dağın zirvesine kadar olan dikey yükseklik \( x \) olsun. Dağın toplam yüksekliği \( H_{dağ} = x + 1.6 \) metre olacaktır.
Benzerlik oranı: \( \frac{x}{500 \text{ m}} = \frac{1.6 \text{ m}}{500 \text{ m}} \) (Bu da yanlış.)
En Olası Yorum ve Çözüm: Fotoğrafçının göz hizasından dağın zirvesine kadar olan dikey mesafeyi ( \( x \) ) bulmak için, dağın fotoğrafçıya olan yatay uzaklığı ( \( 500 \) m ) ve kamera lensinden dağın tepesine olan eğik uzaklık ( \( 100 \) m ) kullanılamaz. Bu bilgiler bir dik üçgen oluşturmaz. Soruyu şu şekilde revize edelim: Dağın fotoğrafçıya olan yatay uzaklığı 500 metre ve dağın zirvesinin fotoğrafçının göz hizasından dikey yüksekliği 100 metredir.
Bu durumda: \( x = 100 \) m.
Dağın toplam yüksekliği = \( x + \text{fotoğrafçının göz yüksekliği} \)
Dağın toplam yüksekliği = \( 100 \) m + \( 1.6 \) m = \( 101.6 \) m.
Eğer soruyu şu şekilde yorumlarsak: Fotoğrafçının göz hizasından dağın zirvesine kadar olan eğik uzaklığı 100 metredir. Dağın fotoğrafçıya olan yatay uzaklığı ise 500 metredir. Bu durumda, fotoğrafçının göz hizasından dağın zirvesine kadar olan dikey yüksekliği ( \( x \) ) Pisagor teoremi ile bulunabilir ancak bu durumda \( 100 \) m hipotenüs olmalı ve \( 500 \) m bir dik kenar olamaz. Bu soruda verilen bilgilerde bir tutarsızlık var gibi görünüyor.
Soruyu, "Dağın zirvesinin fotoğrafçının göz hizasından dikey yüksekliği 100 metredir" şeklinde kabul ederek devam edelim.
- Adım 1: Dağın zirvesinin fotoğrafçının göz hizasından dikey yüksekliğini belirleyelim.
Bu yükseklik \( x = 100 \) metre olarak kabul edelim. - Adım 2: Fotoğrafçının göz hizasını ekleyelim.
Dağın toplam yüksekliği = Dağın zirvesinin göz hizasından dikey yüksekliği + Fotoğrafçının göz hizası
Dağın toplam yüksekliği = \( 100 \) m + \( 1.6 \) m - Adım 3: Toplam yüksekliği hesaplayalım.
Dağın toplam yüksekliği = \( 101.6 \) metre
- Adım 1: Dağın zirvesinin fotoğrafçının göz hizasından dikey yüksekliğini belirleyelim.
Örnek 6:
İki adet eşkenar üçgen verilmiştir. Birinci üçgenin bir kenar uzunluğu 5 cm, ikinci üçgenin bir kenar uzunluğu 10 cm'dir.
Bu iki üçgen arasındaki benzerlik oranını bulunuz.
Bu iki üçgen arasındaki benzerlik oranını bulunuz.
Çözüm:
Eşkenar üçgenlerin tüm kenar uzunlukları eşittir ve tüm iç açıları \( 60^\circ \)'dir.
- Adım 1: Verilen üçgenlerin kenar uzunluklarını not edelim.
Birinci eşkenar üçgenin kenar uzunluğu: \( a_1 = 5 \) cm.
İkinci eşkenar üçgenin kenar uzunluğu: \( a_2 = 10 \) cm. - Adım 2: Kenar uzunluklarının oranını hesaplayalım.
Benzerlik oranı, karşılıklı kenar uzunluklarının oranına eşittir.
Oran = \( \frac{\text{İkinci Üçgenin Kenar Uzunluğu}}{\text{Birinci Üçgenin Kenar Uzunluğu}} \)
Oran = \( \frac{10 \text{ cm}}{5 \text{ cm}} \) - Adım 3: Oranı sadeleştirelim.
Oran = \( 2 \)
Örnek 7:
Bir harita üzerinde, iki şehir arasındaki mesafe 4 cm olarak ölçülmüştür. Haritanın ölçeği \( 1:250,000 \)'dir.
Bu iki şehir arasındaki gerçek mesafeyi kilometre cinsinden bulunuz.
Bu iki şehir arasındaki gerçek mesafeyi kilometre cinsinden bulunuz.
Çözüm:
Bu problemde, harita üzerindeki mesafeyi ve verilen ölçeği kullanarak şehirler arasındaki gerçek mesafeyi hesaplayacağız.
- Adım 1: Ölçeğin anlamını anlayalım.
Ölçek \( 1:250,000 \) demek, haritadaki 1 cm'nin gerçekte 250,000 cm'ye karşılık geldiği anlamına gelir. - Adım 2: Harita üzerindeki mesafeyi not edelim.
Harita mesafesi = \( 4 \) cm. - Adım 3: Gerçek mesafeyi santimetre cinsinden hesaplayalım.
Gerçek Mesafe (cm) = Harita Mesafesi \( \times \) Ölçek Oranı
Gerçek Mesafe (cm) = \( 4 \) cm \( \times 250,000 \) - Adım 4: Hesaplamayı yapalım.
Gerçek Mesafe (cm) = \( 1,000,000 \) cm. - Adım 5: Mesafeyi kilometreye çevirelim.
\( 1 \) kilometre = \( 100,000 \) cm olduğundan,
Gerçek Mesafe (km) = \( \frac{1,000,000 \text{ cm}}{100,000 \text{ cm/km}} \) - Adım 6: Sonucu bulalım.
Gerçek Mesafe (km) = \( 10 \) km.
Örnek 8:
Bir fotoğrafçı, dik bir binanın fotoğrafını çekerken binanın tepesini kadrajına sığdırmak için binadan belirli bir uzaklıkta durmak zorundadır. Fotoğrafçının göz hizası yerden 1.5 metre yüksekliktedir. Binanın gerçek yüksekliği 30 metredir.
Eğer fotoğrafçının göz hizasından binanın tepesine olan eğik uzaklık 50 metre ise, fotoğrafçının binaya olan yatay uzaklığını bulunuz.
Eğer fotoğrafçının göz hizasından binanın tepesine olan eğik uzaklık 50 metre ise, fotoğrafçının binaya olan yatay uzaklığını bulunuz.
Çözüm:
Bu problemde, verilen bilgileri kullanarak bir dik üçgen oluşturacak ve Pisagor teoremini uygulayacağız.
- Adım 1: Problemi bir dik üçgen olarak modelleyelim.
Üçgenin dik kenarlarından biri, binanın fotoğrafçının göz hizasından yüksekliğidir. Diğer dik kenar, fotoğrafçının binaya olan yatay uzaklığıdır. Hipotenüs ise, fotoğrafçının göz hizasından binanın tepesine olan eğik uzaklıktır. - Adım 2: Üçgenin kenarlarını belirleyelim.
Hipotenüs (eğik uzaklık): \( c = 50 \) metre.
Binanın fotoğrafçının göz hizasından dikey yüksekliği: \( a \). Bu yükseklik, binanın toplam yüksekliğinden fotoğrafçının göz hizası çıkarılarak bulunur.
\( a = 30 \text{ m} - 1.5 \text{ m} = 28.5 \) metre.
Fotoğrafçının binaya olan yatay uzaklığı: \( b \). Bu değeri bulmamız gerekiyor. - Adım 3: Pisagor teoremini uygulayalım.
Pisagor teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \) - Adım 4: Bilinen değerleri formülde yerine koyalım.
\( (28.5)^2 + b^2 = (50)^2 \) - Adım 5: Kareleri hesaplayalım.
\( 28.5^2 = 812.25 \)
\( 50^2 = 2500 \) - Adım 6: \( b^2 \) değerini bulalım.
\( 812.25 + b^2 = 2500 \)
\( b^2 = 2500 - 812.25 \)
\( b^2 = 1687.75 \) - Adım 7: \( b \) değerini hesaplayalım.
\( b = \sqrt{1687.75} \) - Adım 8: Sonucu yaklaşık olarak bulalım.
\( b \approx 41.08 \) metre.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-eslik-ve-benzerlik-ile-ilgili-problemler-2/sorular