Eşlik ve Benzerlik ile İlgili Problemler 2 Ders Notu

Eşlik ve Benzerlik ile İlgili Problemler 2

Bu bölümde, 9. sınıf matematik müfredatında yer alan eşlik ve benzerlik kavramlarını kullanarak çözebileceğimiz çeşitli problemler üzerinde duracağız. Önceki dersimizde temel tanımları ve kuralları öğrenmiştik. Şimdi bu bilgileri kullanarak daha karmaşık soruları nasıl çözeceğimizi inceleyeceğiz.

Eş Üçgenler ile İlgili Problemler

İki üçgenin eş olabilmesi için karşılıklı kenarlarının ve karşılıklı açıların eşit olması gerektiğini biliyoruz. Bu durumu kullanarak verilmeyen uzunlukları veya açıları bulabiliriz.

Örnek 1:

Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeni veriliyor. Bu iki üçgenin eş olduğu biliniyor: \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \). Eğer \( |AB| = 5 \) cm, \( |BC| = 7 \) cm ve \( |AC| = 8 \) cm ise, \( |DE| \), \( |EF| \) ve \( |DF| \) uzunlukları ne olur?

Çözüm:

Üçgenlerin eşliği \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) şeklinde verildiğinde, karşılıklı köşelerin sıralaması önemlidir. Bu sıralamaya göre:

A köşesi D köşesine,

B köşesi E köşesine,

C köşesi F köşesine

karşılık gelir. Dolayısıyla, karşılıklı kenarlar eşit olacaktır:

\( |AB| = |DE| \)

\( |BC| = |EF| \)

\( |AC| = |DF| \)

Verilen uzunlukları yerine koyarsak:

\( |DE| = |AB| = 5 \) cm

\( |EF| = |BC| = 7 \) cm

\( |DF| = |AC| = 8 \) cm

Böylece, \( |DE| = 5 \) cm, \( |EF| = 7 \) cm ve \( |DF| = 8 \) cm olur.

Benzer Üçgenler ile İlgili Problemler

İki üçgenin benzer olabilmesi için karşılıklı açıların eşit olması veya karşılıklı kenar uzunluklarının orantılı olması gerekir. Benzerlik oranı, bir üçgenin kenar uzunluklarının diğer üçgenin karşılıklı kenar uzunluklarına oranının sabit olmasıdır.

Örnek 2:

Bir ABC üçgeninde \( m(\angle A) = 50^\circ \), \( m(\angle B) = 60^\circ \) ve \( m(\angle C) = 70^\circ \) 'dir. Bir DEF üçgeninde ise \( m(\angle D) = 50^\circ \), \( m(\angle E) = 60^\circ \) ve \( m(\angle F) = 70^\circ \)'dir. Eğer \( |AB| = 6 \) cm, \( |BC| = 8 \) cm ve \( |AC| = 10 \) cm ise, \( |DE| \), \( |EF| \) ve \( |DF| \) uzunlukları ne olur? (Bu iki üçgenin benzer olduğunu varsayalım.)

Çözüm:

Üçgenlerin açıları eşit olduğundan, bu üçgenler benzerdir. Benzerlik sırası açıların eşitliğine göre belirlenir: \( A \leftrightarrow D \), \( B \leftrightarrow E \), \( C \leftrightarrow F \). Bu durumda, \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) olur. Benzerlik oranını bulmak için karşılıklı kenarların oranına bakarız. Örneğin, \( \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{|AC|}{|DF|} = k \) (benzerlik oranı).

Ancak bu soruda, hangi kenarın hangi kenara karşılık geldiğini belirlemek için benzerlik oranını bilmemiz veya bir kenar uzunluğunu vermemiz gerekir. Eğer \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) olduğunu ve \( |AB| = 6 \), \( |BC| = 8 \), \( |AC| = 10 \) olduğunu biliyorsak, ve örneğin \( |DE| = 3 \) cm ise, benzerlik oranı \( k = \frac{|DE|}{|AB|} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \) olurdu.

Bu durumda diğer kenarlar şöyle bulunur:

\( |EF| = k \cdot |BC| = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4 \) cm

\( |DF| = k \cdot |AC| = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 \) cm

Soruda bize sadece açıların eşitliği verilip bir kenar uzunluğu verilmediği için, kenar uzunlukları için belirsiz bir durum söz konusudur. Ancak, eğer soru şu şekilde olsaydı: \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) ve \( |AB|=6, |BC|=8, |AC|=10 \) ve \( |DE|=12 \) ise, \( |EF| \) ve \( |DF| \) nedir?

Bu durumda benzerlik oranı \( k = \frac{|DE|}{|AB|} = \frac{12}{6} = 2 \) olurdu.

\( |EF| = k \cdot |BC| = 2 \cdot 8 = 16 \) cm

\( |DF| = k \cdot |AC| = 2 \cdot 10 = 20 \) cm

Günlük Hayattan Örnekler

Eşlik ve benzerlik kavramları günlük hayatımızda birçok alanda karşımıza çıkar:

Haritalar ve Modeller: Bir harita, gerçek bir coğrafi alanın benzer bir modelidir. Haritadaki mesafeler, gerçek mesafelerin belirli bir benzerlik oranıyla küçültülmüş halidir.
Mimari ve İnşaat: Yapı projelerinde, maketler ve çizimler genellikle gerçek yapıların benzer modelleridir. Bu, ölçeklendirme ve oranlama prensiplerini kullanır.
Fotoğrafçılık ve Perspektif: Bir fotoğraf makinesi, nesnelerin uzaklığına göre farklı boyutlarda görüntüler oluşturur. Uzaktaki nesneler daha küçük görünür, bu da benzer üçgenler prensibiyle açıklanabilir.

Örnek 3: Paralel Doğrular ve Keseler

İki paralel doğruyu kesen bir üçüncü doğru verildiğinde oluşan açılar ve üçgenler aracılığıyla benzerlik kurulabilir. Örneğin, bir ABC üçgeninde BC kenarına paralel bir DE doğrusu çizildiğinde (D, AB üzerinde; E, AC üzerinde), \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \) olur.

Bir ABCD yamuğunda AB kenarı DC kenarına paraleldir. AC ve BD köşegenleri E noktasında kesişiyor. Bu durumda \( \triangle ABE \sim \triangle CDE \) olur. Eğer \( |AB| = 10 \) birim ve \( |DC| = 5 \) birim ise, \( |AE| \) uzunluğunun \( |EC| \) uzunluğuna oranı nedir?

Çözüm:

Yamuğun AB ve DC kenarları paralel olduğundan, ters açılar ve iç ters açılar nedeniyle aşağıdaki eşitlikler geçerlidir:

\( m(\angle BAE) = m(\angle DCE) \) (iç ters açılar)

\( m(\angle ABE) = m(\angle CDE) \) (iç ters açılar)

\( m(\angle AEB) = m(\angle CED) \) (ters açılar)

Bu açılar eşit olduğundan, \( \triangle ABE \sim \triangle CDE \) olur. Benzerlik oranı, karşılıklı kenarların oranına eşittir:

\( \frac{|AB|}{|CD|} = \frac{|AE|}{|CE|} = \frac{|BE|}{|DE|} \)

Verilen değerleri yerine koyarsak:

\( \frac{10}{5} = \frac{|AE|}{|CE|} \)

\( 2 = \frac{|AE|}{|CE|} \)

Yani, \( |AE| \) uzunluğu, \( |EC| \) uzunluğunun 2 katıdır.