💡 9. Sınıf Matematik: Eşlik ve Benzerlik ile İlgili Çıkarım ve Teori Problem Çözme Çözümlü Örnekler

İki üçgenin eş olması için aşağıdaki şartlardan biri sağlanmalıdır:

• Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı ikişer kenarı ve bu kenetler arasındaki açılar eşit ise bu üçgenler eştir.
• Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı ikişer açısı ve bu açılar arasındaki kenarları eşit ise bu üçgenler eştir.
• Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı üçer kenarı da eşit ise bu üçgenler eştir.

Bu şartlardan herhangi biri sağlandığında, üçgenlerin diğer kenar ve açıları da eşit olur. ✅

İki üçgenin benzer olması için aşağıdaki şartlardan biri sağlanmalıdır:

• Açı-Açı (AA) Benzerliği: İki üçgenin karşılıklı ikişer açısı eşit ise bu üçgenler benzerdir.
• Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerliği: İki üçgenin karşılıklı ikişer kenarı orantılı ve bu kenetler arasındaki açılar eşit ise bu üçgenler benzerdir.
• Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerliği: İki üçgenin karşılıklı üçer kenarı da orantılı ise bu üçgenler benzerdir.

Benzer üçgenlerde karşılıklı açıların ölçüleri eşittir ve karşılıklı kenarların uzunlukları orantılıdır. 👉

Verilen bilgilere göre:

• ABC üçgeninde \( AB = 5 \) cm ve \( BC = 7 \) cm.
• DEF üçgeninde \( DE = 10 \) cm ve \( EF = 14 \) cm.
• Her iki üçgende de aradaki açı \( 60^\circ \) olarak verilmiş.

Şimdi kenar oranlarına bakalım: \( \frac{DE}{AB} = \frac{10}{5} = 2 \) \( \frac{EF}{BC} = \frac{14}{7} = 2 \) Karşılıklı iki kenar orantılıdır (oranları 2) ve bu kenarlar arasındaki açı olan \( \angle B \) ve \( \angle E \) eşittir (\( 60^\circ \)). Bu durum, Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerliği şartını sağlar. Dolayısıyla, ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir. Bu benzerlik \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) şeklinde gösterilir. 📌

ABCD dörtgeninde \( [AB] \parallel [DC] \) ve \( [AD] \parallel [BC] \) olması, bu dörtgenin bir paralelkenar olduğunu gösterir. 🌟 Paralelkenarın özelliklerinden biri, köşegenlerinin birbirini ortalamasıdır. Yani, köşegenlerin kesim noktası her iki köşegenin de orta noktasıdır. Soruda köşegenlerin E noktasında kesiştiği ve \( AE = 4 \) cm ile \( EC = 4 \) cm olduğu verilmiş. Bu, AC köşegeninin E noktasında ortalandığını gösterir. Paralelkenarın diğer özelliği gereği, BD köşegeni de E noktasında ortalanmalıdır. Bu nedenle, \( DE = EB \) olmalıdır. 📏

Bu problemde, mühendisin boyu ve gölgesi ile binanın yüksekliği ve gölgesi arasında benzer üçgenler oluşur. Güneş ışınları, mühendisin tepesi ve binanın tepesi ile yerdeki gölge uçları benzer üçgenlerin köşelerini oluşturur.

• Mühendisin boyu = 1.8 m
• Mühendisin gölgesi = 2.4 m
• Binanın gölgesi = 36 m
• Binanın yüksekliği = \( h \) (bilinmiyor)

Benzerlik oranını kullanarak bir denklem kurabiliriz: \( \frac{\text{Mühendisin Boyu}}{\text{Mühendisin Gölgesi}} = \frac{\text{Binanın Yüksekliği}}{\text{Binanın Gölgesi}} \) \( \frac{1.8}{2.4} = \frac{h}{36} \) Şimdi \( h \) değerini bulmak için denklemi çözelim: \( h = \frac{1.8 \times 36}{2.4} \) \( h = \frac{64.8}{2.4} \) \( h = 27 \) Dolayısıyla, binanın yüksekliği 27 metredir. 🏗️

Bu durum, benzerlik prensibi ile açıklanabilir. Fotoğraf makinesinin lensi, bir tür "görüntü oluşturucu" gibidir. Nesnenin makineye olan uzaklığı azaldıkça, lens tarafından oluşturulan görüntü de o kadar büyür. Şöyle düşünebiliriz:

• Lensin merkezinden nesneye olan uzaklık (nesne mesafesi) ve lensin merkezinden sensöre olan uzaklık (görüntü mesafesi) ile nesnenin gerçek boyutu ve sensör üzerindeki görüntü boyutu arasında bir benzerlik ilişkisi vardır.
• Nesne makineye yaklaştıkça (nesne mesafesi azalırsa), sensör üzerindeki görüntüsü büyür (görüntü boyutu artar).
• Nesne makineden uzaklaştıkça (nesne mesafesi artarsa), sensör üzerindeki görüntüsü küçülür (görüntü boyutu azalır).

Bu, uzak bir nesnenin fotoğrafının daha küçük, yakın bir nesnenin fotoğrafının ise daha büyük çıkmasının temel nedenidir. Bu prensip, teleskoplar ve mikroskoplar gibi optik cihazlarda da kullanılır. 🔭

Öncelikle her iki üçgenin de üçüncü açılarını bulalım:

• ABC Üçgeni İçin:
Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan: \( \angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) \) \( \angle C = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) \) \( \angle C = 180^\circ - 120^\circ \) \( \angle C = 60^\circ \) Yani, ABC üçgeninin açıları \( 50^\circ, 70^\circ, 60^\circ \) 'dir.
• KLM Üçgeni İçin:
\( \angle M = 180^\circ - (\angle K + \angle L) \) \( \angle M = 180^\circ - (60^\circ + 70^\circ) \) \( \angle M = 180^\circ - 130^\circ \) \( \angle M = 50^\circ \) Yani, KLM üçgeninin açıları \( 60^\circ, 70^\circ, 50^\circ \) 'dir.

Şimdi her iki üçgenin açılarını karşılaştıralım:

• \( \angle A = 50^\circ \) ve \( \angle M = 50^\circ \)
• \( \angle B = 70^\circ \) ve \( \angle L = 70^\circ \)
• \( \angle C = 60^\circ \) ve \( \angle K = 60^\circ \)

Her iki üçgenin de karşılıklı açıları eşittir. Bu durum, Açı-Açı (AA) Benzerliği şartını sağlar (aslında üç açı da eşit olduğu için KKK benzerliği de söz konusudur ama AA benzerliği yeterlidir). Dolayısıyla, ABC üçgeni ile KLM üçgeni benzerdir. Bu benzerlik \( \triangle ABC \sim \triangle MLK \) şeklinde gösterilir (açı eşleşmelerine dikkat!). 📌

Harita ölçeği, harita üzerindeki bir uzunluğun gerçekteki uzunluğa oranını gösterir. Ölçek 1:200.000 demek, haritada 1 birim olan bir uzunluğun gerçekte 200.000 birim olduğu anlamına gelir.

• Harita üzerindeki mesafe = 4 cm
• Ölçek = 1:200.000

Gerçek mesafeyi bulmak için harita üzerindeki mesafeyi ölçekteki ikinci sayıyla çarparız: Gerçek Mesafe (cm) = Harita Mesafesi \( \times \) Ölçek Paydası Gerçek Mesafe (cm) = \( 4 \text{ cm} \times 200.000 \) Gerçek Mesafe (cm) = \( 800.000 \text{ cm} \) Şimdi bu mesafeyi kilometreye çevirmemiz gerekiyor. Bilindiği gibi: 1 kilometre = 100.000 santimetre Bu nedenle, santimetreyi kilometreye çevirmek için 100.000'e böleriz: Gerçek Mesafe (km) = \( \frac{800.000 \text{ cm}}{100.000 \text{ cm/km}} \) Gerçek Mesafe (km) = \( 8 \text{ km} \) Yani, A ve B şehirleri arasındaki gerçek mesafe 8 kilometredir. 📍

Verilen ABC üçgeninin kenar uzunlukları: \( AB = 6 \) cm, \( BC = 8 \) cm, \( AC = 10 \) cm. Bu üçgenin en kısa kenarı 6 cm'dir. Oluşturulan DEF üçgeninin en kısa kenarı 12 cm olarak verilmiş. Bu, DEF üçgeninin ABC üçgenine göre büyütüldüğünü gösterir. Büyütme oranını bulalım: Büyütme Oranı = \( \frac{\text{DEF'nin en kısa kenarı}}{\text{ABC'nin en kısa kenarı}} \) Büyütme Oranı = \( \frac{12 \text{ cm}}{6 \text{ cm}} = 2 \) Yani, DEF üçgeninin kenar uzunlukları, ABC üçgeninin kenar uzunluklarının 2 katıdır. Şimdi DEF üçgeninin kenar uzunluklarını hesaplayalım:

• \( DE = AB \times 2 = 6 \text{ cm} \times 2 = 12 \text{ cm} \)
• \( EF = BC \times 2 = 8 \text{ cm} \times 2 = 16 \text{ cm} \)
• \( DF = AC \times 2 = 10 \text{ cm} \times 2 = 20 \text{ cm} \)

DEF üçgeninin çevresi, bu kenar uzunluklarının toplamıdır: Çevre = \( DE + EF + DF \) Çevre = \( 12 \text{ cm} + 16 \text{ cm} + 20 \text{ cm} \) Çevre = \( 48 \text{ cm} \) DEF üçgeninin çevresi 48 cm'dir. ✅