Eşlik, benzerlik, pisagor, öklid, thales Ders Notu

9. Sınıf Matematik: Eşlik ve Benzerlik 📐

Geometrik şekillerin birbirine olan ilişkilerini anlamak, matematiksel düşünme becerilerimizi geliştiren temel konulardan biridir. Bu dersimizde, iki şeklin birebir aynı olup olmadığını belirten eşlik ve iki şeklin orantılı olarak büyütülmüş veya küçültülmüş halleri olduğunu ifade eden benzerlik kavramlarını detaylıca inceleyeceğiz. Bu konular, Pisagor ve Öklid teoremleri gibi daha ileri seviye geometrik analizlerin de temelini oluşturacaktır.

Eşlik (Congruence) ✨

İki geometrik şeklin eş olması demek, bu şekillerin tüm karşılıklı kenar uzunluklarının ve tüm karşılıklı açı ölçülerinin eşit olması demektir. Yani, bir şekli diğerinin üzerine tam olarak kapatabiliriz.

Üçgenlerde Eşlik

İki üçgenin eş olması için aşağıdaki eşlik kurallarından en az biri sağlanmalıdır:

• Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı ikişer kenar uzunluğu ve bu kenarların arasındaki açı ölçüsü eşitse, bu üçgenler eştir.
• Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı ikişer açı ölçüsü ve bu açıların arasındaki kenar uzunluğu eşitse, bu üçgenler eştir.
• Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı tüm kenar uzunlukları eşitse, bu üçgenler eştir.

Örnek 1 (KAK Eşliği):

Bir ABC üçgeninde \( |AB| = 5 \) cm, \( |AC| = 7 \) cm ve \( \angle BAC = 60^\circ \) olsun. Bir DEF üçgeninde \( |DE| = 5 \) cm, \( |DF| = 7 \) cm ve \( \angle EDF = 60^\circ \) ise, ABC üçgeni ile DEF üçgeni KAK eşlik kuralına göre eştir. Bu durumu \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) şeklinde gösterebiliriz.

Benzerlik (Similarity) 📏

İki geometrik şeklin benzer olması demek, bu şekillerin karşılıklı açı ölçülerinin eşit ve karşılıklı kenar uzunluklarının orantılı olması demektir. Benzer şekillerin şekilleri aynıdır ancak boyutları farklı olabilir.

Üçgenlerde Benzerlik

İki üçgenin benzer olması için aşağıdaki benzerlik durumlarından en az biri sağlanmalıdır:

• Açı-Açı (AA) Benzerliği: İki üçgenin karşılıklı ikişer açı ölçüsü eşitse, bu üçgenler benzerdir.
• Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerliği: İki üçgenin karşılıklı ikişer kenar uzunluğu orantılı ve bu kenarlar arasındaki açı ölçüsü eşitse, bu üçgenler benzerdir.
• Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerliği: İki üçgenin karşılıklı tüm kenar uzunlukları orantılıysa, bu üçgenler benzerdir.

Benzerlik oranı, karşılıklı kenarların oranına eşittir. Eğer benzerlik oranı \( k \) ise, bir şeklin kenar uzunlukları \( k \) ile çarpılarak diğer şeklin kenar uzunlukları elde edilir.

Örnek 2 (AA Benzerliği):

Bir ABC üçgeninde \( \angle A = 50^\circ \) ve \( \angle B = 70^\circ \) olsun. Bir DEF üçgeninde \( \angle D = 50^\circ \) ve \( \angle E = 70^\circ \) ise, bu iki üçgen AA benzerliği ile benzerdir. Çünkü \( \angle A = \angle D \) ve \( \angle B = \angle E \) dir. Üçüncü açıları da eşit olacaktır: \( \angle C = 180^\circ - 50^\circ - 70^\circ = 60^\circ \) ve \( \angle F = 180^\circ - 50^\circ - 70^\circ = 60^\circ \). Bu durumu \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) şeklinde gösterebiliriz.

Örnek 3 (KKK Benzerliği):

Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları \( |AB|=3 \), \( |BC|=4 \), \( |AC|=5 \) olsun. Bir DEF üçgeninin kenar uzunlukları \( |DE|=6 \), \( |EF|=8 \), \( |DF|=10 \) olsun. Kenar uzunluklarının oranlarına bakalım: \( \frac{|DE|}{|AB|} = \frac{6}{3} = 2 \), \( \frac{|EF|}{|BC|} = \frac{8}{4} = 2 \), \( \frac{|DF|}{|AC|} = \frac{10}{5} = 2 \). Kenar uzunlukları orantılı olduğu için (benzerlik oranı 2'dir), bu iki üçgen KKK benzerliği ile benzerdir. \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \).

Pisagor Teoremi 📐

Pisagor teoremi, dik üçgenlerde dik kenarların uzunlukları ile hipotenüsün uzunluğu arasındaki ilişkiyi açıklar. Bir dik üçgende, dik kenarların uzunluklarının karelerinin toplamı, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir.

Eğer dik kenarlar \( a \) ve \( b \), hipotenüs ise \( c \) ise, Pisagor teoremi şu şekilde ifade edilir:

\[ a^2 + b^2 = c^2 \] Örnek 4 (Pisagor Teoremi):

Bir dik üçgenin dik kenarlarından biri 6 cm, diğeri 8 cm ise, hipotenüsün uzunluğunu bulalım. \( a=6 \), \( b=8 \) olsun. Pisagor teoremine göre:

\[ 6^2 + 8^2 = c^2 \] \[ 36 + 64 = c^2 \] \[ 100 = c^2 \]

Her iki tarafın karekökünü alırsak \( c = \sqrt{100} = 10 \) cm bulunur.

Öklid Teoremleri (Yükseklik ve Kenar Bağıntıları) 📏

Öklid teoremleri, dik üçgende hipotenüse indirilen yüksekliğin oluşturduğu parçalarla ilgili bağıntıları inceler. Bu teoremler, dik üçgenlerde kenar uzunluklarını ve yüksekliği hesaplamak için kullanılır.

• Öklid'in Yükseklik Bağıntısı: Dik üçgende hipotenüse indirilen yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların uzunluklarının çarpımına eşittir.
• Öklid'in Kenar Bağıntısı: Dik üçgende dik kenarlardan birinin karesi, hipotenüsün tamamı ile o kenarın hipotenüs üzerindeki izdüşümünün uzunluğunun çarpımına eşittir.

Bir dik üçgende hipotenüs \( c \) olsun ve bu hipotenüse indirilen yükseklik \( h \) olsun. Yükseklik, hipotenüsü \( p \) ve \( q \) uzunluklarında iki parçaya ayırsın. Bu durumda Öklid teoremleri şunlardır:

\[ h^2 = p \cdot q \] \[ a^2 = p \cdot c \] \[ b^2 = q \cdot c \] Örnek 5 (Öklid Teoremleri):

Bir ABC dik üçgeninde \( \angle A = 90^\circ \) olsun. A köşesinden BC kenarına indirilen yükseklik AD olsun. \( |BD| = 4 \) cm ve \( |DC| = 9 \) cm ise, yüksekliği \( |AD| \) ve kenar uzunluklarını \( |AB| \) ve \( |AC| \) bulalım.

Öklid'in Yükseklik Bağıntısı'na göre:

\[ |AD|^2 = |BD| \cdot |DC| \] \[ |AD|^2 = 4 \cdot 9 \] \[ |AD|^2 = 36 \] \[ |AD| = \sqrt{36} = 6 cm

Öklid'in Kenar Bağıntısı'na göre:

Hipotenüs |BC| = |BD| + |DC| = 4 + 9 = 13 cm.

\[ |AB|^2 = |BD| \cdot |BC| \] \[ |AB|^2 = 4 \cdot 13 \] \[ |AB|^2 = 52 \] \[ |AB| = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} cm

\[ |AC|^2 = |DC| \cdot |BC| \] \[ |AC|^2 = 9 \cdot 13 \] \[ |AC|^2 = 117 \] \[ |AC| = \sqrt{117} = 3\sqrt{13} cm

Thales Teoremi (Paralel Doğrular ve Kesimler) 📏

Thales teoremi, paralel doğruların bir kesenle oluşturduğu orantılı doğru parçaları ile ilgilidir. En bilinen haliyle, bir açının kenarlarını kesen paralel doğrular, bu kenarlar üzerinde orantılı doğru parçaları oluşturur.

Aynı zamanda, bir üçgenin bir kenarına paralel olan ve diğer iki kenarı kesen bir doğru, bu kenarlar üzerinde orantılı doğru parçaları oluşturur. Bu, üçgenlerde benzerlik durumlarını da ortaya çıkarır.

Örnek 6 (Thales Teoremi):

Bir ABC üçgeninde DE doğru parçası BC kenarına paralel olsun. D noktası AB kenarı üzerinde, E noktası AC kenarı üzerinde bulunsun. Bu durumda, AB ve AC kenarları üzerindeki doğru parçaları orantılıdır:

\[ \frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|} \]

Ayrıca, bu durum \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \) benzerliğini de ifade eder.

Eğer \( |AD|=3 \) cm, \( |DB|=6 \) cm ve \( |AE|=4 \) cm ise, \( |EC| \) kaç cm'dir?

Thales teoremine göre:

\[ \frac{3}{6} = \frac{4}{|EC|} \] \[ \frac{1}{2} = \frac{4}{|EC|} \] \[ |EC| = 2 \cdot 4 = 8 \) cm