💡 9. Sınıf Matematik: Eşlik Benzerliği Çözümlü Örnekler

İki üçgenin eş olması için aşağıdaki koşullardan biri sağlanmalıdır:

• Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşliği: İki üçgenin ikişer kenar uzunlukları ve bu kenar-açılarının ölçüleri eşit ise bu üçgenler eştir.
• Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşliği: İki üçgenin ikişer açısının ölçüleri ve bu açılar arasındaki kenarlarının uzunlukları eşit ise bu üçgenler eştir.
• Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı üçer kenar uzunlukları eşit ise bu üçgenler eştir.

Bu koşullar sağlandığında, üçgenlerin diğer kenar uzunlukları ve açı ölçüleri de eşit olur. ✅

İki üçgenin benzer olması için aşağıdaki koşullardan biri sağlanmalıdır:

• Açı-Açı (AA) Benzerliği: İki üçgenin karşılıklı ikişer açısının ölçüsü eşit ise bu üçgenler benzerdir. Bu en sık kullanılan benzerlik durumudur.
• Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerliği: İki üçgenin ikişer kenar uzunlukları orantılı ve bu kenarlar arasındaki açılarının ölçüsü eşit ise bu üçgenler benzerdir.
• Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerliği: İki üçgenin karşılıklı üçer kenar uzunlukları orantılı ise bu üçgenler benzerdir.

Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları sabittir. 💡

Verilen bilgilere göre ABC ve DEF üçgenlerini inceleyelim:

• ABC üçgeninde \( AB = 5 \) cm ve \( BC = 7 \) cm, aradaki açı \( \angle B = 60^\circ \).
• DEF üçgeninde \( DE = 10 \) cm ve \( EF = 14 \) cm, aradaki açı \( \angle E = 60^\circ \).

Şimdi kenar uzunluklarının oranlarına bakalım:

• \( \frac{DE}{AB} = \frac{10}{5} = 2 \)
• \( \frac{EF}{BC} = \frac{14}{7} = 2 \)

Gördüğümüz gibi, ikişer kenar uzunlukları orantılıdır (\( \frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = 2 \)) ve bu kenarlar arasındaki açıların ölçüsü de eşittir (\( \angle B = \angle E = 60^\circ \)). Bu durum, Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerliği koşulunu sağlar. 👉 Bu nedenle, ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir. Eş değillerdir çünkü kenar uzunlukları orantılıdır, eşit değildir. ✅

Yamukta \( AB \parallel DC \) olduğundan, ABE ve CDE üçgenleri arasında benzerlik ilişkisi kurabiliriz.

• \( \angle BAE \) ve \( \angle DCE \) iç ters açılardır ve ölçüleri eşittir.
• \( \angle ABE \) ve \( \angle CDE \) iç ters açılardır ve ölçüleri eşittir.
• \( \angle AEB \) ve \( \angle CED \) ters açılardır ve ölçüleri eşittir.

Bu nedenle, Açı-Açı (AA) Benzerliği gereğince \( \triangle ABE \sim \triangle CDE \) dir. Benzerlik oranını kenarlar üzerinden yazalım: \( \frac{AB}{DC} = \frac{AE}{EC} = \frac{BE}{DE} \) Verilen değerleri yerine koyalım: \( \frac{4}{8} = \frac{AE}{EC} \) Bu durumda, \( \frac{AE}{EC} = \frac{1}{2} \) olur. Soruda \( AE = 3 \) cm olarak verilmişti. \( \frac{3}{EC} = \frac{1}{2} \) denkleminden \( EC = 6 \) cm bulunur. Sorulan oran \( \frac{AE}{EC} \) olduğu için cevap \( \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \) dir. 📌

Bu problemde, modelin yüzünün gerçek boyutları ile fotoğraf üzerindeki boyutları arasındaki benzerlik oranı sorulmaktadır.

• Modelin yüzünün gerçek uzunluğu = 20 cm
• Modelin yüzünün fotoğraf üzerindeki uzunluğu = 5 cm

Benzerlik oranı, bir şeklin diğerine göre ne kadar büyütüldüğünü veya küçültüldüğünü gösterir. Genellikle küçük şeklin büyük şekle oranı olarak ifade edilir veya tam tersi. Bu soruda, fotoğraf üzerindeki boyutun gerçek boyuta oranı soruluyor gibi düşünülebilir. Benzerlik oranı \( k \) ise: \( k = \frac{\text{Fotoğraf üzerindeki boyut}}{\text{Gerçek boyut}} \) \( k = \frac{5 \text{ cm}}{20 \text{ cm}} \) \( k = \frac{1}{4} \) Bu durumda, fotoğraf üzerindeki yüz boyutları, gerçek yüz boyutlarının \( \frac{1}{4} \) katıdır. Yani yüz, fotoğraf üzerinde küçültülmüştür. 📏

Harita üzerindeki uzunluklar ile gerçek uzunluklar arasındaki ilişkiyi ölçek belirler. Ölçek, harita üzerindeki bir birimin gerçekte kaç birime karşılık geldiğini gösterir.

• Harita ölçeği: 1:500.000
• Bu şu anlama gelir: Haritada 1 cm, gerçekte 500.000 cm'dir.

Şimdi harita üzerindeki mesafeyi gerçek mesafeye çevirelim:

• Harita üzerinde mesafe = 4 cm
• Gerçekte mesafe = 4 cm \( \times \) 500.000
• Gerçekte mesafe = 2.000.000 cm

Bu mesafeyi kilometreye çevirmemiz gerekiyor.

• 1 km = 100.000 cm

O halde, gerçekte mesafe \( = \frac{2.000.000 \text{ cm}}{100.000 \text{ cm/km}} \) Gerçekte mesafe \( = 20 \) km. 🌍 Harita üzerindeki bu 4 cm'lik mesafe, gerçekte 20 km'ye denk gelmektedir. ✅

Öncelikle ABCD karesinin alanını hesaplayalım:

• Karenin bir kenar uzunluğu = 6 cm
• ABCD karesinin alanı = \( \text{kenar} \times \text{kenar} = 6 \text{ cm} \times 6 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2 \)

Şimdi \( \triangle DEF \) üçgeninin alanını bulmak için, karenin alanından \( \triangle ADE \), \( \triangle EBF \) ve \( \triangle DCF \) üçgenlerinin alanlarını çıkarabiliriz. Verilenlere göre:

• \( AE = 2 \) cm, o zaman \( EB = AB - AE = 6 - 2 = 4 \) cm.
• \( BF = 4 \) cm, o zaman \( FC = BC - BF = 6 - 4 = 2 \) cm.

Bu üçgenlerin alanları dik üçgen oldukları için kolayca hesaplanabilir:

• \( \triangle ADE \) alanı: \( \frac{1}{2} \times AD \times AE = \frac{1}{2} \times 6 \times 2 = 6 \text{ cm}^2 \)
• \( \triangle EBF \) alanı: \( \frac{1}{2} \times EB \times BF = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8 \text{ cm}^2 \)
• \( \triangle DCF \) alanı: \( \frac{1}{2} \times DC \times FC = \frac{1}{2} \times 6 \times 2 = 6 \text{ cm}^2 \)

Şimdi \( \triangle DEF \) üçgeninin alanını bulalım: \( \text{Alan}(\triangle DEF) = \text{Alan}(\text{ABCD}) - \text{Alan}(\triangle ADE) - \text{Alan}(\triangle EBF) - \text{Alan}(\triangle DCF) \) \( \text{Alan}(\triangle DEF) = 36 - 6 - 8 - 6 = 16 \text{ cm}^2 \) Son olarak, \( \triangle DEF \) üçgeninin alanının, ABCD karesinin alanına oranını bulalım: \( \frac{\text{Alan}(\triangle DEF)}{\text{Alan}(\text{ABCD})} = \frac{16 \text{ cm}^2}{36 \text{ cm}^2} \) Bu oranı sadeleştirelim: \( \frac{16}{36} = \frac{4 \times 4}{4 \times 9} = \frac{4}{9} \) Yani, \( \triangle DEF \) üçgeninin alanı, ABCD karesinin alanının \( \frac{4}{9} \) katıdır. ✨

İki üçgenin benzer olması durumunda, kenar uzunlukları arasındaki oran sabittir. Soruda DEF üçgeninin kenar uzunluklarının ABC üçgeninin kenar uzunluklarının iki katı olduğu belirtilmiş. Bu, iki üçgenin benzer olduğu anlamına gelir.

• ABC üçgeninin kenar uzunlukları: \( AB = 6 \) cm, \( BC = 9 \) cm, \( AC = 12 \) cm.
• DEF üçgeninin kenar uzunlukları: \( DE = 2 \times AB \), \( EF = 2 \times BC \), \( DF = 2 \times AC \).

Şimdi DEF üçgeninin kenar uzunluklarını hesaplayalım:

• \( DE = 2 \times 6 = 12 \) cm
• \( EF = 2 \times 9 = 18 \) cm
• \( DF = 2 \times 12 = 24 \) cm

DEF üçgeninin çevresi, kenar uzunluklarının toplamıdır: Çevre(DEF) \( = DE + EF + DF \) Çevre(DEF) \( = 12 + 18 + 24 \) Çevre(DEF) \( = 54 \) cm. ➕ Alternatif olarak, benzerlik oranı \( k=2 \) olduğundan, çevrenin oranı da benzerlik oranına eşittir. Çevre(ABC) \( = 6 + 9 + 12 = 27 \) cm. Çevre(DEF) \( = k \times \text{Çevre(ABC)} = 2 \times 27 = 54 \) cm. ✅

Bu problemde, gerçek boyutlar ile maket boyutları arasındaki ölçeği bulmamız gerekiyor. Ölçek, genellikle maket üzerindeki bir birimin gerçekte kaç birime karşılık geldiğini gösterir. Öncelikle birimleri aynı yapalım. Gerçek yükseklik 30 metre, maket yüksekliği ise 60 cm. 1 metre = 100 cm olduğundan, gerçek yüksekliği santimetreye çevirelim:

• Gerçek yükseklik = 30 metre \( \times \) 100 cm/metre = 3000 cm
• Maket yüksekliği = 60 cm

Şimdi ölçeği bulmak için maket üzerindeki birim ile gerçekteki karşılığını oranlayalım. Ölçek \( 1 : X \) formatında gösterilir. \( \frac{\text{Maket Yüksekliği}}{\text{Gerçek Yükseklik}} = \frac{1}{X} \) \( \frac{60 \text{ cm}}{3000 \text{ cm}} = \frac{1}{X} \) Bu oranı sadeleştirelim: \( \frac{60}{3000} = \frac{6}{300} = \frac{1}{50} \) Yani, \( \frac{1}{50} = \frac{1}{X} \) Buradan \( X = 50 \) bulunur. Bu nedenle, maketin ölçeği 1:50'dir. 📏 Bu, maketteki her 1 cm'nin gerçekte 50 cm'ye karşılık geldiği anlamına gelir. 💡

Ekranın en-boy oranı, ekranın eninin boyuna oranıdır.

• Ekranın eni = 120 cm
• Ekranın boyu = 90 cm

En-boy oranını hesaplayalım: \( \text{Oran} = \frac{\text{En}}{\text{Boy}} = \frac{120 \text{ cm}}{90 \text{ cm}} \) Bu oranı sadeleştirelim: \( \frac{120}{90} = \frac{12}{9} = \frac{4 \times 3}{3 \times 3} = \frac{4}{3} \) Bu ekranın en-boy oranı 4:3'tür. Bu oran, geleneksel televizyon ekranları ve eski bilgisayar monitörleri için yaygın bir standarttı. Günümüzde ise daha çok 16:9 (geniş ekran) oranı kullanılmaktadır. 🎞️ Yani, bu televizyonun ekranı 4:3 oranına sahiptir. ✅