🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Eşitlik Ve Benzerlikler Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Eşitlik Ve Benzerlikler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeni eştir. Bu üçgenlerin köşeleri sırasıyla A ile D, B ile E ve C ile F eşleşmektedir. Eğer \( |AB| = 7 \) cm, \( |BC| = 10 \) cm ve \( m(\hat{B}) = 60^\circ \) ise, DEF üçgeninin kenar uzunlukları ve açı ölçüleri hakkında ne söyleyebiliriz? 🤔
Çözüm:
Eş üçgenler, karşılıklı kenarları ve karşılıklı açıları eşit olan üçgenlerdir.
👉 Köşeler arasındaki eşleşme şöyledir: A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F.
👉 Köşeler arasındaki eşleşme şöyledir: A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F.
- ✅ Karşılıklı Kenarlar Eşittir:
- \( |AB| = |DE| \) olduğu için \( |DE| = 7 \) cm'dir.
- \( |BC| = |EF| \) olduğu için \( |EF| = 10 \) cm'dir.
- \( |AC| = |DF| \) olacaktır. (AC'nin uzunluğu verilmediği için DF'nin uzunluğunu bilemeyiz, ancak eşit olduklarını biliriz.)
- ✅ Karşılıklı Açılar Eşittir:
- \( m(\hat{A}) = m(\hat{D}) \)
- \( m(\hat{B}) = m(\hat{E}) \) olduğu için \( m(\hat{E}) = 60^\circ \)'dir.
- \( m(\hat{C}) = m(\hat{F}) \)
Örnek 2:
Bir ABC üçgeni ile bir KLM üçgeni verilmiştir. \( |AB| = 5 \) cm, \( |BC| = 8 \) cm, \( |AC| = 10 \) cm'dir. KLM üçgeninde ise \( |KL| = 5 \) cm, \( |LM| = x \) cm ve \( |KM| = 10 \) cm'dir. Eğer ABC üçgeni ile KLM üçgeni eş ise, x kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
İki üçgenin eş olması için karşılıklı kenar uzunluklarının eşit olması (K.K.K. Eşlik Kuralı) veya belirli kenar ve açıların eşit olması gerekir.
Bu durumda, üçgenlerin eş olduğu belirtildiği için karşılıklı kenarları eşleştirmemiz gerekir.
Bu durumda, üçgenlerin eş olduğu belirtildiği için karşılıklı kenarları eşleştirmemiz gerekir.
- 📌 Kenarları Eşleştirme:
- En kısa kenar: \( |AB| = 5 \) cm ve \( |KL| = 5 \) cm. Bu kenarlar karşılıklı eşleşir.
- En uzun kenar: \( |AC| = 10 \) cm ve \( |KM| = 10 \) cm. Bu kenarlar karşılıklı eşleşir.
- Geriye kalan kenarlar da karşılıklı eşleşmek zorundadır.
- ✅ x Değerini Bulma:
- Bu durumda \( |BC| \) kenarı ile \( |LM| \) kenarı karşılıklı eşleşir.
- Yani \( |BC| = |LM| \) olmalıdır.
- \( 8 = x \)
Örnek 3:
Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeni verilmiştir. \( m(\hat{A}) = 70^\circ \), \( m(\hat{B}) = 50^\circ \) ve \( |AB| = 6 \) cm'dir. DEF üçgeninde ise \( m(\hat{D}) = 70^\circ \), \( m(\hat{E}) = 50^\circ \) ve \( |DE| = 6 \) cm'dir. Bu iki üçgenin eş olup olmadığını Kural belirterek açıklayın ve \( m(\hat{C}) \) ile \( m(\hat{F}) \) açılarını bulun. 📐
Çözüm:
İki üçgenin eşliğini kontrol etmek için verilen bilgileri değerlendirelim.
- 💡 Verilenler:
- ABC üçgeninde: \( m(\hat{A}) = 70^\circ \), \( m(\hat{B}) = 50^\circ \), \( |AB| = 6 \) cm.
- DEF üçgeninde: \( m(\hat{D}) = 70^\circ \), \( m(\hat{E}) = 50^\circ \), \( |DE| = 6 \) cm.
- 📌 Eşlik Kuralı Tespiti:
- Karşılıklı iki açı (\( \hat{A} \) ile \( \hat{D} \), \( \hat{B} \) ile \( \hat{E} \)) ve bu açıların arasındaki kenar (\( |AB| \) ile \( |DE| \)) eşit olduğu için bu üçgenler A.K.A. (Açı-Kenar-Açı) Eşlik Kuralı'na göre eştir.
- ✅ Açıların Bulunması:
- Eş üçgenlerde karşılıklı açılar eşit olduğundan:
- \( m(\hat{C}) = m(\hat{F}) \) olacaktır.
- Bir üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan:
- ABC üçgeni için: \( m(\hat{A}) + m(\hat{B}) + m(\hat{C}) = 180^\circ \)
- \( 70^\circ + 50^\circ + m(\hat{C}) = 180^\circ \)
- \( 120^\circ + m(\hat{C}) = 180^\circ \)
- \( m(\hat{C}) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \)
- Dolayısıyla, \( m(\hat{F}) = 60^\circ \) olur.
- Eş üçgenlerde karşılıklı açılar eşit olduğundan:
Örnek 4:
Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeni benzerdir. Köşeler arasındaki eşleşme A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F şeklindedir. Eğer \( |AB| = 4 \) cm, \( |BC| = 6 \) cm, \( |AC| = 8 \) cm ve \( |DE| = 12 \) cm ise, bu üçgenlerin benzerlik oranı nedir? Ayrıca \( |EF| \) ve \( |DF| \) uzunluklarını bulun. 🧐
Çözüm:
Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları birbirine eşittir ve bu orana benzerlik oranı (k) denir.
- 👉 Benzerlik Oranını Bulma:
- Verilen kenarları eşleştirelim: \( |AB| \) ile \( |DE| \).
- Benzerlik oranı \( k = \frac{|DE|}{|AB|} \) veya \( k = \frac{|AB|}{|DE|} \) olarak alınabilir. Genellikle büyük üçgenin kenarı küçük üçgenin kenarına bölünerek benzerlik oranı bulunur.
- \[ k = \frac{|DE|}{|AB|} = \frac{12}{4} = 3 \]
- ✅ Diğer Kenar Uzunluklarını Bulma:
- Benzerlik oranı \( 3 \) olduğuna göre, diğer karşılıklı kenarlar da bu orana sahip olmalıdır.
- \( \frac{|EF|}{|BC|} = 3 \implies \frac{|EF|}{6} = 3 \implies |EF| = 3 \times 6 = 18 \) cm.
- \( \frac{|DF|}{|AC|} = 3 \implies \frac{|DF|}{8} = 3 \implies |DF| = 3 \times 8 = 24 \) cm.
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninde, DE doğru parçası BC kenarına paraleldir (DE // BC). D noktası AB kenarı üzerinde, E noktası AC kenarı üzerindedir. Eğer \( |AD| = 3 \) cm, \( |DB| = 6 \) cm ve \( |AE| = 4 \) cm ise, \( |EC| \) uzunluğu kaç cm'dir? 🌳
Çözüm:
DE // BC olduğu için, Temel Orantı Teoremi'ni veya A.A. (Açı-Açı) Benzerlik Kuralı'nı kullanarak çözüm yapabiliriz.
- 💡 A.A. Benzerlik Kuralı ile Açıklama:
- \( \angle A \) açısı hem ADE üçgeninde hem de ABC üçgeninde ortak açıdır.
- DE // BC olduğu için yöndeş açılar eşittir: \( m(\hat{ADE}) = m(\hat{ABC}) \) ve \( m(\hat{AED}) = m(\hat{ACB}) \).
- Bu durumda ADE üçgeni ile ABC üçgeni A.A. benzerlik kuralına göre benzerdir (\( \triangle ADE \sim \triangle ABC \)).
- 📌 Benzerlik Oranını Kullanarak Çözüm:
- Benzerlik oranı için karşılıklı kenarları oranlayalım: \( \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} \).
- \( |AB| = |AD| + |DB| = 3 + 6 = 9 \) cm.
- Denklemi yazalım: \[ \frac{3}{9} = \frac{4}{|AC|} \]
- \[ \frac{1}{3} = \frac{4}{|AC|} \]
- Çapraz çarpımdan \( |AC| = 3 \times 4 = 12 \) cm bulunur.
- ✅ \( |EC| \) Uzunluğunu Bulma:
- \( |AC| = |AE| + |EC| \) olduğundan:
- \( 12 = 4 + |EC| \)
- \( |EC| = 12 - 4 = 8 \) cm'dir.
Örnek 6:
Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeni verilmiştir. \( |AB| = 6 \) cm, \( |AC| = 9 \) cm ve \( m(\hat{A}) = 40^\circ \)'dir. DEF üçgeninde ise \( |DE| = 4 \) cm, \( |DF| = 6 \) cm ve \( m(\hat{D}) = 40^\circ \)'dir. Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını açıklayın ve benzerlik oranını bulun. 🔍
Çözüm:
İki üçgenin benzerliğini incelemek için K.A.K. (Kenar-Açı-Kenar) Benzerlik Kuralı'nı kullanabiliriz.
- 💡 Kuralın Uygulanması:
- İki üçgenin birer açısı eşit olmalı ve bu eşit açıyı oluşturan kenarlar orantılı olmalıdır.
- Verilenler: \( m(\hat{A}) = m(\hat{D}) = 40^\circ \). Bu açıların eşit olduğunu görüyoruz.
- Bu açıları oluşturan kenarları oranlayalım:
- \[ \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \]
- \[ \frac{|AC|}{|DF|} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \]
- ✅ Sonuç:
- Görüldüğü gibi, eşit açılar ve bu açıları oluşturan kenarların oranları birbirine eşittir (\( \frac{3}{2} \)).
- Bu nedenle, ABC üçgeni ile DEF üçgeni K.A.K. Benzerlik Kuralı'na göre benzerdir (\( \triangle ABC \sim \triangle DEF \)).
- Benzerlik oranı \( k = \frac{3}{2} \)'dir.
Örnek 7:
Bir ABC üçgeni ile bir KLM üçgeni benzerdir ve benzerlik oranı \( \frac{2}{5} \)'tir. Eğer ABC üçgeninin çevresi \( 20 \) cm ise, KLM üçgeninin çevresi kaç cm'dir? Ayrıca, ABC üçgeninin alanı \( 16 \) cm\(^2\) ise, KLM üçgeninin alanı kaç cm\(^2\)'dir? 🌍
Çözüm:
Benzer üçgenlerde çevreler oranı benzerlik oranına eşitken, alanlar oranı benzerlik oranının karesine eşittir.
- 📌 Çevreler Arasındaki İlişki:
- Benzerlik oranı \( k = \frac{\text{Çevre}(\triangle ABC)}{\text{Çevre}(\triangle KLM)} = \frac{2}{5} \).
- ABC üçgeninin çevresi \( 20 \) cm olarak verilmiştir.
- \[ \frac{20}{\text{Çevre}(\triangle KLM)} = \frac{2}{5} \]
- \( 2 \times \text{Çevre}(\triangle KLM) = 20 \times 5 \)
- \( 2 \times \text{Çevre}(\triangle KLM) = 100 \)
- \( \text{Çevre}(\triangle KLM) = \frac{100}{2} = 50 \) cm.
- 💡 Alanlar Arasındaki İlişki:
- Alanlar oranı, benzerlik oranının karesine eşittir: \( \frac{\text{Alan}(\triangle ABC)}{\text{Alan}(\triangle KLM)} = k^2 = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25} \).
- ABC üçgeninin alanı \( 16 \) cm\(^2\) olarak verilmiştir.
- \[ \frac{16}{\text{Alan}(\triangle KLM)} = \frac{4}{25} \]
- \( 4 \times \text{Alan}(\triangle KLM) = 16 \times 25 \)
- \( 4 \times \text{Alan}(\triangle KLM) = 400 \)
- \( \text{Alan}(\triangle KLM) = \frac{400}{4} = 100 \) cm\(^2\).
Örnek 8:
Güneşli bir günde, boyu \( 1.8 \) metre olan bir kişi, \( 2.4 \) metre uzunluğunda bir gölge oluşturmaktadır. Aynı anda, bu kişinin yakınında bulunan bir ağacın gölge boyu \( 8 \) metre olarak ölçülmüştür. Bu bilgilere göre ağacın boyu kaç metredir? ☀️
Çözüm:
Bu tür gölge problemleri, benzer üçgenler prensibiyle çözülür. Güneş ışınları paralel geldiği için, kişi ve ağaç ile onların gölgeleri arasında oluşan dik üçgenler benzerdir (A.A. Benzerlik Kuralı).
- 💡 Benzer Üçgenleri Oluşturma:
- Kişi ve gölgesi bir dik üçgen oluşturur. Ağaç ve gölgesi de başka bir dik üçgen oluşturur.
- Her iki üçgende de zemine dik konumda olan nesneler (kişi ve ağaç) ve zemindeki gölge boyları vardır.
- Güneş ışınlarının gelme açısı aynı olduğundan, her iki dik üçgenin hipotenüs ile zemin arasındaki açıları eşittir.
- Ayrıca, her iki üçgenin de birer dik açısı (\( 90^\circ \)) vardır.
- Bu nedenle, iki üçgen A.A. (Açı-Açı) Benzerlik Kuralı'na göre benzerdir.
- 📌 Orantı Kurma:
- Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar orantılıdır.
- \[ \frac{\text{Kişinin Boyu}}{\text{Kişinin Gölge Boyu}} = \frac{\text{Ağacın Boyu}}{\text{Ağacın Gölge Boyu}} \]
- Verilen değerleri yerine yazalım: \[ \frac{1.8}{2.4} = \frac{\text{Ağacın Boyu}}{8} \]
- ✅ Ağacın Boyunu Hesaplama:
- Denklemi çözerek ağacın boyunu bulalım: \[ \text{Ağacın Boyu} = \frac{1.8}{2.4} \times 8 \] \[ \text{Ağacın Boyu} = \frac{18}{24} \times 8 \] \[ \text{Ağacın Boyu} = \frac{3}{4} \times 8 \] \[ \text{Ağacın Boyu} = 3 \times 2 \] \[ \text{Ağacın Boyu} = 6 \]
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-esitlik-ve-benzerlikler/sorular