Eşitlik Ve Benzerlikler Ders Notu

Geometride iki şeklin birbirine göre konumlarını, boyutlarını ve şekillerini incelemek için eşitlik ve benzerlik kavramları kullanılır. Bu kavramlar, şekiller arasındaki ilişkileri anlamamızı ve matematiksel problemler çözmemizi sağlar.

Eşlik (Kongrüans) Nedir? 🤔

İki geometrik şeklin, ölçüleri ve biçimleri tamamen aynı ise bu şekillere eş şekiller denir. Eş şekiller üst üste çakıştırıldığında birbirlerini tamamen kapatırlar. Eşlik sembolü \( \cong \) ile gösterilir.

Doğru Parçalarının Eşliği

Uzunlukları eşit olan doğru parçaları eştir. Örneğin, uzunluğu 5 cm olan iki doğru parçası birbirine eştir.

• Eğer AB doğru parçasının uzunluğu ile CD doğru parçasının uzunluğu eşit ise, \( |AB| = |CD| \) ise, bu doğru parçaları eştir ve \( AB \cong CD \) şeklinde gösterilir.

Açıların Eşliği

Ölçüleri eşit olan açılar eştir. Örneğin, ölçüsü \( 45^\circ \) olan iki açı birbirine eştir.

• Eğer \( m(\widehat{A}) = m(\widehat{B}) \) ise, bu açılar eştir ve \( \widehat{A} \cong \widehat{B} \) şeklinde gösterilir.

Çokgenlerin Eşliği

İki çokgenin eş olabilmesi için karşılıklı kenar uzunlukları ve karşılıklı açı ölçüleri eşit olmalıdır. Özellikle üçgenlerin eşliği geometride sıkça kullanılır.

Üçgenlerin Eşlik Kuralları

İki üçgenin eş olduğunu anlamak için tüm kenarlarının ve açılarının eşit olduğunu göstermeye gerek yoktur. Belirli kurallar yeterlidir:

• 1. Kenar-Açı-Kenar (K.A.K.) Eşlik Kuralı:

  İki üçgenin karşılıklı iki kenarı ve bu kenarlar arasında kalan açısı eşit ise, bu üçgenler eştir.

  Örnek: Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeninde;

  • \( |AB| = |DE| \)
  • \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) \)
  • \( |BC| = |EF| \)

  ise, \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) olur.

• 2. Açı-Kenar-Açı (A.K.A.) Eşlik Kuralı:

  İki üçgenin karşılıklı iki açısı ve bu açılar arasında kalan kenarı eşit ise, bu üçgenler eştir.

  Örnek: Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeninde;

  • \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) \)
  • \( |BC| = |EF| \)
  • \( m(\widehat{C}) = m(\widehat{F}) \)

  ise, \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) olur.

• 3. Kenar-Kenar-Kenar (K.K.K.) Eşlik Kuralı:

  İki üçgenin karşılıklı tüm kenar uzunlukları eşit ise, bu üçgenler eştir.

  Örnek: Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeninde;

  • \( |AB| = |DE| \)
  • \( |BC| = |EF| \)
  • \( |AC| = |DF| \)

  ise, \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) olur.

Benzerlik Nedir? 🤔

İki geometrik şeklin aynı biçime sahip olup, boyutlarının farklı olması durumuna benzerlik denir. Benzer şekillerin karşılıklı açılarının ölçüleri eşit, karşılıklı kenar uzunlukları ise orantılıdır. Benzerlik sembolü \( \sim \) ile gösterilir.

Doğru Parçalarının Benzerliği

Doğru parçaları için benzerlik kavramı genellikle oranlama bağlamında kullanılır. Ancak tek başına iki doğru parçasının "benzerliği" yerine, çokgenlerin benzerliğindeki kenar oranları daha anlamlıdır.

Açıların Benzerliği

Açıların benzerliği, aslında onların eş olması durumudur. Yani, iki açı benzer ise ölçüleri aynıdır.

• Eğer \( m(\widehat{A}) = m(\widehat{B}) \) ise, \( \widehat{A} \sim \widehat{B} \) denilebilir.

Çokgenlerin Benzerliği

İki çokgenin benzer olabilmesi için aşağıdaki şartları sağlaması gerekir:

1. Karşılıklı açılarının ölçüleri eşit olmalıdır.
2. Karşılıklı kenar uzunlukları orantılı olmalıdır.

Bu orana benzerlik oranı (k) denir.

Benzerlik Oranı (k)

İki benzer çokgenin karşılıklı kenarlarının uzunlukları oranı sabittir ve bu orana benzerlik oranı denir. Örneğin, ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzer ise (\( \triangle ABC \sim \triangle DEF \)),

\[ \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{|AC|}{|DF|} = k \]

Burada \( k \) benzerlik oranıdır. Eğer \( k=1 \) ise, bu üçgenler eştir.

Üçgenlerin Benzerlik Kuralları

İki üçgenin benzer olduğunu anlamak için tüm kenarlarının orantılı ve tüm açılarının eşit olduğunu göstermeye gerek yoktur. Belirli kurallar yeterlidir:

• 1. Açı-Açı (A.A.) Benzerlik Kuralı:

  İki üçgenin karşılıklı iki açısının ölçüsü eşit ise, bu üçgenler benzerdir. Üçüncü açılar da otomatik olarak eşit olacağından sadece iki açı yeterlidir.

  Örnek: Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeninde;

  • \( m(\widehat{A}) = m(\widehat{D}) \)
  • \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) \)

  ise, \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) olur.

• 2. Kenar-Açı-Kenar (K.A.K.) Benzerlik Kuralı:

  İki üçgenin karşılıklı iki kenarı orantılı ve bu kenarlar arasında kalan açıları eşit ise, bu üçgenler benzerdir.

  Örnek: Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeninde;

  • \( \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|BC|}{|EF|} = k \)
  • \( m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) \)

  ise, \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) olur.

• 3. Kenar-Kenar-Kenar (K.K.K.) Benzerlik Kuralı:

  İki üçgenin karşılıklı tüm kenar uzunlukları orantılı ise, bu üçgenler benzerdir.

  Örtek: Bir ABC üçgeni ile bir DEF üçgeninde;

  • \( \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{|AC|}{|DF|} = k \)

  ise, \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) olur.

Temel Benzerlik Teoremi (Thales Teoremi) 📐

Bir üçgenin bir kenarına paralel olarak çizilen bir doğru, diğer iki kenarı kestiğinde, küçük üçgen ile büyük üçgen benzer olur. Bu teorem, oran orantı ilişkilerini kurmada çok önemlidir.

Bir ABC üçgeninde, BC kenarına paralel olan ve AB ile AC kenarlarını sırasıyla D ve E noktalarında kesen bir DE doğrusu çizildiğinde:

• \( DE \parallel BC \) ise,
• \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \) olur.

Bu durumda kenarlar arasında aşağıdaki oranlar geçerlidir:

\[ \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} = \frac{|DE|}{|BC|} \]

Bu oran aynı zamanda benzerlik oranıdır.

Thales Teoremi'nin bir diğer formu da, üç veya daha fazla paralel doğru tarafından kesilen doğruların oluşturduğu doğru parçalarının orantılı olmasıdır. Ancak 9. sınıf müfredatında genellikle üçgen içindeki hali öne çıkarılır.