Dönüşümler Ders Notu

Dönüşümler

Geometrik dönüşümler, bir şeklin konumunu, yönünü veya boyutunu değiştirmeden, şeklin kendisini veya bir noktanın koordinatlarını başka bir konuma taşıma işlemidir. 9. sınıfta temel dönüşüm türlerini öğreneceğiz: Öteleme, Yansıma (Aynalama) ve Dönme.

1. Öteleme (Kayma)

Öteleme, bir şekli veya noktayı belirli bir doğrultuda ve belirli bir uzaklıkta kaydırma işlemidir. Öteleme vektörü, şeklin her noktasının ne kadar ve hangi yönde hareket edeceğini belirler.

Öteleme Vektörü

Bir \( (x, y) \) noktasının \( \vec{v} = (a, b) \) öteleme vektörü ile ötelenmesi sonucunda oluşan yeni noktanın koordinatları \( (x+a, y+b) \) olur.

Örnek 1:

\( A = (3, 5) \) noktasının \( \vec{v} = (-2, 1) \) vektörü ile ötelenmiş halini bulalım.

Yeni nokta \( A' \) olsun.

\( x' = x + a = 3 + (-2) = 1 \)

\( y' = y + b = 5 + 1 = 6 \)

Buna göre, \( A' \) noktasının koordinatları \( (1, 6) \) olur.

Örnek 2:

Koordinat düzleminde \( K = (-1, 4) \) noktasının \( x \) eksenine göre 3 birim sağa ve \( y \) eksenine göre 2 birim aşağı ötelenmesi ile oluşan yeni noktanın koordinatlarını bulunuz.

Bu öteleme için öteleme vektörü \( \vec{v} = (3, -2) \) olur.

Yeni nokta \( K' \) olsun.

\( x' = -1 + 3 = 2 \)

\( y' = 4 + (-2) = 2 \)

O halde, \( K' \) noktasının koordinatları \( (2, 2) \) olur.

2. Yansıma (Aynalama)

Yansıma, bir şekli veya noktayı belirli bir doğruya (ayna doğrusu) göre simetriğini alarak dönüştürme işlemidir. En sık kullanılan yansıma doğruları \( x \) ekseni, \( y \) ekseni ve \( y=x \) doğrusudur.

a) \( x \) Ekseni'ne Göre Yansıma

Bir \( (x, y) \) noktasının \( x \) eksenine göre yansıması \( (x, -y) \) noktasıdır.

b) \( y \) Ekseni'ne Göre Yansıma

Bir \( (x, y) \) noktasının \( y \) eksenine göre yansıması \( (-x, y) \) noktasıdır.

c) Orijine Göre Yansıma

Bir \( (x, y) \) noktasının orijine göre yansıması \( (-x, -y) \) noktasıdır.

d) \( y=x \) Doğrusuna Göre Yansıma

Bir \( (x, y) \) noktasının \( y=x \) doğrusuna göre yansıması \( (y, x) \) noktasıdır.

Örnek 3:

\( P = (4, -2) \) noktasının;

• \( x \) eksenine göre yansıması: \( (4, -(-2)) = (4, 2) \)
• \( y \) eksenine göre yansıması: \( (-4, -2) \)
• Orijine göre yansıması: \( (-4, -(-2)) = (-4, 2) \)
• \( y=x \) doğrusuna göre yansıması: \( (-2, 4) \)

bulunur.

3. Dönme

Dönme, bir şekli veya noktayı belirli bir merkez etrafında belirli bir açıda döndürme işlemidir. 9. sınıfta genellikle orijin etrafında yapılan dönmeleri inceleyeceğiz.

a) Orijin Etrafında \( 90^\circ \) Saat Yönünün Tersi Yönde Dönme

Bir \( (x, y) \) noktasının orijin etrafında \( 90^\circ \) saat yönünün tersi yönde dönmesiyle oluşan yeni noktanın koordinatları \( (-y, x) \) olur.

b) Orijin Etrafında \( 180^\circ \) Dönme

Bir \( (x, y) \) noktasının orijin etrafında \( 180^\circ \) dönmesiyle oluşan yeni noktanın koordinatları \( (-x, -y) \) olur. Bu, orijine göre yansıma ile aynıdır.

c) Orijin Etrafında \( 270^\circ \) Saat Yönünün Tersi Yönde Dönme (veya \( 90^\circ \) Saat Yönünde Dönme)

Bir \( (x, y) \) noktasının orijin etrafında \( 270^\circ \) saat yönünün tersi yönde dönmesiyle oluşan yeni noktanın koordinatları \( (y, -x) \) olur.

Örnek 4:

\( Q = (1, 3) \) noktasının;

• Orijin etrafında \( 90^\circ \) saat yönünün tersi yönde dönmesi: \( (-3, 1) \)
• Orijin etrafında \( 180^\circ \) dönmesi: \( (-1, -3) \)
• Orijin etrafında \( 270^\circ \) saat yönünün tersi yönde dönmesi: \( (3, -1) \)

bulunur.

Günlük Yaşamdan Örnekler

• Öteleme: Bir trenin raylar üzerinde dümdüz ilerlemesi bir öteleme örneğidir.
• Yansıma: Aynada kendimize bakmak bir yansıma işlemidir.
• Dönme: Bir vantilatör pervanesinin dönmesi, bir saatin akrep ve yelkovanının hareketi dönme örnekleridir.