🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Doğrusal fonksiyonlarla ifade edilebilen denklem ve eşitsizlik içeren problemler Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Doğrusal fonksiyonlarla ifade edilebilen denklem ve eşitsizlik içeren problemler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin çözüm kümesini bulma alıştırması yapalım.
Denklemimiz: \( 3x + 5 = 14 \)
Denklemimiz: \( 3x + 5 = 14 \)
Çözüm:
Bu tür denklemleri çözerken amacımız bilinmeyeni (x) yalnız bırakmaktır.
- İlk adımda, sabit terimi eşitsizliğin diğer tarafına geçirelim. Eşitsizliğin diğer tarafına geçerken işareti değişir.
- Şimdi çıkarma işlemini yapalım.
- Son olarak, x'in katsayısı olan 3'e her iki tarafı bölelim.
\[ 3x = 14 - 5 \]
\[ 3x = 9 \]
\[ x = \frac{9}{3} \]
\[ x = 3 \]
Örnek 2:
Şimdi de birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin çözüm kümesini bulalım.
Eşitsizliğimiz: \( 2x - 3 < 7 \)
Eşitsizliğimiz: \( 2x - 3 < 7 \)
Çözüm:
Denklemlerde olduğu gibi, eşitsizliklerde de amacımız bilinmeyeni (x) yalnız bırakmaktır. Eşitsizlik çözerken dikkat etmemiz gereken en önemli nokta, eşitsizliğin her iki tarafını negatif bir sayıyla çarptığımızda veya böldüğümüzde eşitsizlik yön değiştirir. Bu örneğimizde böyle bir durum olmayacak.💡
- Sabit terimi eşitsizliğin diğer tarafına geçirelim.
- Toplama işlemini yapalım.
- x'in katsayısı olan 2'ye her iki tarafı bölelim.
\[ 2x < 7 + 3 \]
\[ 2x < 10 \]
\[ x < \frac{10}{2} \]
\[ x < 5 \]
Örnek 3:
Bir manav, kilogramı 4 TL'den elma satmaktadır. Manavın bir günde kazandığı para \( P \), satılan elma miktarı \( x \) kilogram olmak üzere, bu durumu ifade eden doğrusal denklemi yazınız ve 15 kilogram elma satıldığında ne kadar para kazanacağını hesaplayınız. 🍎
Çözüm:
Bu problemde, kazanılan para (P) ile satılan elma miktarı (x) arasında doğrusal bir ilişki vardır.
- Kazanılan para, satılan elma miktarının kilogram fiyatıyla çarpımına eşittir.
- Şimdi, 15 kilogram elma satıldığında ne kadar para kazanılacağını bulmak için denklemde \( x = 15 \) değerini yerine koyalım.
\[ P = 4 \times x \]
\[ P = 4x \]
\[ P = 4 \times 15 \]
\[ P = 60 \]
Örnek 4:
Bir taksi, açılış ücreti olarak 5 TL almaktadır. Gidilen her kilometre için ise 3 TL ücretlendirme yapmaktadır. Bir yolcunun ödediği toplam ücret \( Ü \), gidilen mesafe \( m \) kilometre olmak üzere, bu durumu ifade eden doğrusal denklemi yazınız ve 10 kilometre yol giden bir yolcunun ne kadar ödeyeceğini hesaplayınız. 🚕
Çözüm:
Bu durumda, toplam ücret (Ü), sabit bir açılış ücreti ile gidilen mesafeye göre değişen bir ücretten oluşmaktadır.
- Toplam ücret, açılış ücreti artı (gidilen mesafe çarpı kilometre başına ücret) şeklinde ifade edilir.
- Şimdi, 10 kilometre yol giden bir yolcunun ne kadar ödeyeceğini bulmak için denklemde \( m = 10 \) değerini yerine koyalım.
\[ Ü = 5 + (3 \times m) \]
\[ Ü = 3m + 5 \]
\[ Ü = 3 \times 10 + 5 \]
\[ Ü = 30 + 5 \]
\[ Ü = 35 \]
Örnek 5:
Bir internet servis sağlayıcısı, aylık 50 GB internet paketi için 80 TL ücret almaktadır. Eğer kullanıcı bu paketin kotasını aşarsa, aşan her GB için ek olarak 5 TL ücretlendirme yapılmaktadır. Bir kullanıcının aylık toplam internet faturası \( F \), kullanılan toplam internet miktarı \( k \) GB olmak üzere, bu durumu ifade eden bir doğrusal eşitsizlik ve denklem kurunuz. Eğer bir kullanıcı 60 TL fatura ödediyse, bu kullanıcının kaç GB internet kullandığını bulunuz. 🌐
Çözüm:
Bu problemde iki farklı durum söz konusudur: kota aşılmadığında ve aşıldığında.
- Durum 1: Kota Aşılmadığında ( \( k \le 50 \) )
- Durum 2: Kota Aşıldığında ( \( k > 50 \) )
- Şimdi, kullanıcının 60 TL fatura ödediği durumu inceleyelim.
Bu durumda sabit bir ücret ödenir: \[ F = 80 \]
Bu durumda açılış ücretine (80 TL) ek olarak, aşılan GB başına ücret eklenir. Aşılan GB miktarı \( (k - 50) \) GB'dır. \[ F = 80 + 5 \times (k - 50) \] \[ F = 80 + 5k - 250 \] \[ F = 5k - 170 \]
Eğer kullanıcı 60 TL ödediyse, bu durum 80 TL'den az olduğu için kota aşılmamış olmalıdır. Ancak soruda verilen 60 TL, 80 TL'den azdır. Bu, sorunun kurgusunda bir tutarsızlık olduğunu gösteriyor. Varsayımsal olarak, eğer kullanıcı 90 TL ödediyse, bu durumda kotanın aşıldığını anlarız ve Durum 2'deki denklemi kullanırız.
Varsayımsal Durum: Kullanıcı 90 TL ödedi.
\[ 90 = 5k - 170 \] \[ 90 + 170 = 5k \] \[ 260 = 5k \] \[ k = \frac{260}{5} \] \[ k = 52 \]
Örnek 6:
Bir depoda başlangıçta 100 litre su bulunmaktadır. Her dakika depoya 5 litre su eklenmektedir. Depodaki su miktarı \( S \), geçen süre \( t \) dakika olmak üzere, depodaki su miktarını gösteren doğrusal denklemi yazınız ve 10 dakika sonra depoda kaç litre su olacağını hesaplayınız. 💧
Çözüm:
Bu problemde, depodaki su miktarı zamanla doğrusal olarak artmaktadır.
- Depodaki su miktarı, başlangıçtaki su miktarı artı (dakika başına eklenen su miktarı çarpı geçen süre) şeklinde ifade edilir.
- Şimdi, 10 dakika sonra depoda kaç litre su olacağını bulmak için denklemde \( t = 10 \) değerini yerine koyalım.
\[ S = 100 + (5 \times t) \]
\[ S = 5t + 100 \]
\[ S = 5 \times 10 + 100 \]
\[ S = 50 + 100 \]
\[ S = 150 \]
Örnek 7:
İki hareketli aynı anda aynı noktadan zıt yönlerde hareket etmeye başlıyorlar. Birinci hareketli saatte 60 km hızla, ikinci hareketli ise saatte 40 km hızla hareket etmektedir. İki hareketli arasındaki mesafe \( M \), geçen süre \( t \) saat olmak üzere, aralarındaki mesafeyi gösteren doğrusal denklemi yazınız ve 3 saat sonra aralarındaki mesafenin ne kadar olacağını hesaplayınız. ↔️
Çözüm:
Zıt yönlerde hareket eden iki cisim arasındaki mesafe, hızlarının toplamı ile zamanın çarpımına eşittir.
- Birinci hareketlinin 3 saatte aldığı yol: \( 60 \times 3 = 180 \) km
- İkinci hareketlinin 3 saatte aldığı yol: \( 40 \times 3 = 120 \) km
- İki hareketli arasındaki toplam mesafe, bu iki mesafenin toplamıdır.
- Alternatif olarak, genel denklemi kurabiliriz:
- Şimdi, 3 saat sonraki mesafeyi hesaplayalım:
\[ M = 180 + 120 \]
\[ M = 300 \]
Toplam hız = Hız 1 + Hız 2 = \( 60 + 40 = 100 \) km/saat
Mesafe = Toplam Hız \( \times \) Zaman
\[ M = 100t \]
\[ M = 100 \times 3 \]
\[ M = 300 \]
Örnek 8:
Bir fabrikada üretilen A marka ürünlerin maliyeti, üretilen ürün sayısı \( x \) adet olmak üzere, sabit bir 1000 TL'lik yatırım maliyeti ve her ürün başına 5 TL'lik üretim maliyeti ile hesaplanmaktadır. B marka ürünlerin maliyeti ise sabit bir 1500 TL'lik yatırım maliyeti ve her ürün başına 4 TL'lik üretim maliyeti ile hesaplanmaktadır. Hangi marka ürünün maliyetinin daha az olduğunu ve hangi sayıda ürün üretildiğinde maliyetlerin eşit olacağını gösteren eşitsizlik ve denklem kurunuz. 🏭
Çözüm:
Bu problemde, iki farklı ürünün üretim maliyetlerini karşılaştıracağız.
- A Marka Ürün Maliyeti ( \( M_A \) )
- B Marka Ürün Maliyeti ( \( M_B \) )
- Maliyetlerin Eşit Olduğu Durum ( \( M_A = M_B \) )
- Hangi Markanın Maliyeti Daha Az?
Sabit maliyet + (Ürün sayısı \( \times \) Birim üretim maliyeti) \[ M_A = 1000 + 5x \]
Sabit maliyet + (Ürün sayısı \( \times \) Birim üretim maliyeti) \[ M_B = 1500 + 4x \]
\[ 1000 + 5x = 1500 + 4x \]
Şimdi x'i yalnız bırakalım:
\[ 5x - 4x = 1500 - 1000 \]
\[ x = 500 \]
Eğer 500'den az ürün üretilirse (örneğin \( x = 400 \)):
\( M_A = 1000 + 5 \times 400 = 1000 + 2000 = 3000 \) TL
\( M_B = 1500 + 4 \times 400 = 1500 + 1600 = 3100 \) TL
Bu durumda A marka ürünün maliyeti daha azdır. Yani, \( x < 500 \) iken \( M_A < M_B \) olur.
Eğer 500'den fazla ürün üretilirse (örneğin \( x = 600 \)):
\( M_A = 1000 + 5 \times 600 = 1000 + 3000 = 4000 \) TL
\( M_B = 1500 + 4 \times 600 = 1500 + 2400 = 3900 \) TL
Bu durumda B marka ürünün maliyeti daha azdır. Yani, \( x > 500 \) iken \( M_B < M_A \) olur.
Örnek 9:
Bir bisikletli, saatte 15 km hızla A noktasından B noktasına doğru hareket etmektedir. B noktasından A noktasına doğru hareket eden başka bir bisikletli ise saatte 10 km hızla hareket etmektedir. İki nokta arasındaki mesafe 75 km'dir. İki bisikletli birbirine doğru hareket ettiklerinde, aralarında kaç saat sonra karşılaşacaklarını gösteren doğrusal denklemi kurunuz ve hesaplayınız. 🚴♀️🚴♂️
Çözüm:
Bu problemde, birbirine doğru hareket eden iki cismin karşılaşma süresini bulacağız.
- İki bisikletli birbirine doğru hareket ettiği için hızları toplanır.
- Karşılaşma süresi, toplam mesafenin toplam hıza bölünmesiyle bulunur.
- Şimdi \( t \) değerini bulalım:
Toplam Hız = Hız 1 + Hız 2 = \( 15 + 10 = 25 \) km/saat
Süre \( t \) olsun.
Mesafe = Toplam Hız \( \times \) Süre
\[ 75 = 25 \times t \]
\[ t = \frac{75}{25} \]
\[ t = 3 \]
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-dogrusal-fonksiyonlarla-ifade-edilebilen-denklem-ve-esitsizlik-iceren-problemler/sorular