Doğrusal fonksiyonlarla ifade edilebilen denklem ve eşitsizlik içeren problemler Ders Notu

Doğrusal Fonksiyonlarla İfade Edilebilen Denklem ve Eşitsizlik İçeren Problemler

Bu ders notunda, 9. sınıf matematik müfredatı kapsamında yer alan doğrusal fonksiyonlarla ifade edilebilen denklem ve eşitsizlik içeren problemleri inceleyeceğiz. Doğrusal fonksiyonlar, grafiği bir doğru olan fonksiyonlardır ve genellikle \( f(x) = ax + b \) şeklinde gösterilirler. Bu tür fonksiyonlar, günlük hayatta birçok durumu modellemek için kullanılır.

Denklem İçeren Problemler

Doğrusal fonksiyonlarla ifade edilebilen denklemler, iki niceliğin eşit olduğu durumları temsil eder. Bu tür problemler genellikle bir bilinmeyeni içeren birinci dereceden denklemlerin çözümüne dayanır.

Örnek 1:

Bir manav, kilogramı 5 TL'den elma satmaktadır. Manavın sattığı elma miktarı \( x \) kg ve elde ettiği toplam gelir \( y \) TL olduğuna göre, \( x \) ile \( y \) arasındaki ilişkiyi gösteren doğrusal fonksiyonu yazınız. Eğer manav 120 TL gelir elde etmek isterse kaç kg elma satmalıdır?

Çözüm:

Elma miktarı \( x \) kg ve kilogram fiyatı 5 TL olduğundan, toplam gelir \( y \) şu şekilde ifade edilir:

\[ y = 5x \]

Bu, \( y \)'nin \( x \)'e bağlı doğrusal bir fonksiyonudur.

Manavın 120 TL gelir elde etmesi için:

\[ 120 = 5x \]

Denklemi çözersek:

\[ x = \frac{120}{5} \] \[ x = 24 \]

Manavın 24 kg elma satması gerekmektedir.

Örnek 2:

Bir taksi, açılış ücreti olarak 10 TL almaktadır. Kilometre başına ise 4 TL ücretlendirme yapmaktadır. Bir yolcu, taksiyle \( x \) km yol gittiğinde ödeyeceği toplam ücret \( y \) TL olduğuna göre, bu durumu ifade eden doğrusal fonksiyonu yazınız. Eğer bir yolcu 50 TL ödediyse, kaç km yol gitmiştir?

Çözüm:

Açılış ücreti sabit 10 TL'dir. \( x \) km yol için ödenecek ücret \( 4x \) TL'dir. Toplam ücret \( y \) şu şekilde ifade edilir:

\[ y = 4x + 10 \]

Yolcu 50 TL ödediyse:

\[ 50 = 4x + 10 \]

Denklemi çözersek:

\[ 50 - 10 = 4x \] \[ 40 = 4x \] \[ x = \frac{40}{4} \] \[ x = 10 \]

Yolcu 10 km yol gitmiştir.

Eşitsizlik İçeren Problemler

Doğrusal fonksiyonlarla ifade edilebilen eşitsizlikler, bir niceliğin başka bir nicelikten büyük, küçük, büyük veya eşit ya da küçük veya eşit olduğu durumları ifade eder. Bu tür problemler, doğrusal eşitsizliklerin çözümüne dayanır.

Örnek 3:

Bir firma, ürettiği her bir ürün için 15 TL maliyet harcamaktadır. Sabit giderleri ise aylık 2000 TL'dir. Firmanın aylık toplam gideri \( y \) TL ve üretilen ürün sayısı \( x \) olduğuna göre, firmanın aylık giderinin 5000 TL'den az olması için en fazla kaç ürün üretebileceğini gösteren eşitsizliği yazınız ve çözünüz.

Çözüm:

Üretilen \( x \) ürün için maliyet \( 15x \) TL'dir. Sabit giderler 2000 TL'dir. Aylık toplam gider \( y \) şu şekilde ifade edilir:

\[ y = 15x + 2000 \]

Firmanın giderinin 5000 TL'den az olması isteniyorsa:

\[ 15x + 2000 < 5000 \]

Eşitsizliği çözersek:

\[ 15x < 5000 - 2000 \] \[ 15x < 3000 \] \[ x < \frac{3000}{15} \] \[ x < 200 \]

Firma en fazla 199 ürün üretebilir (çünkü ürün sayısı tam sayı olmalıdır ve 200'den küçük en büyük tam sayı 199'dur).

Örnek 4:

Bir öğrenci, proje ödevi için en az 70 puan almak zorundadır. Proje ödevinin %40'ı ara sınavdan, %60'ı ise final sınavından alınacaktır. Öğrencinin ara sınavdan aldığı not 80'dir. Final sınavından alması gereken minimum notu bulmak için bir eşitsizlik kurunuz.

Çözüm:

Ara sınav notu: 80. Ağırlığı: %40.

Final sınavı notu: \( x \). Ağırlığı: %60.

Toplam proje notu, ara sınavın %40'ı ile final sınavının %60'ının toplamıdır. Bu toplamın en az 70 olması gerekmektedir.

\[ (80 \times 0.40) + (x \times 0.60) \ge 70 \]

Eşitsizliği çözersek:

\[ 32 + 0.60x \ge 70 \] \[ 0.60x \ge 70 - 32 \] \[ 0.60x \ge 38 \] \[ x \ge \frac{38}{0.60} \] \[ x \ge \frac{380}{6} \] \[ x \ge \frac{190}{3} \] \[ x \ge 63.33... \]

Öğrencinin final sınavından en az yaklaşık 63.33 puan alması gerekmektedir. Genellikle notlar tam sayı veya belirli ondalıklarla ifade edildiğinden, bu duruma göre en az 64 puan alması gerekebilir.

Doğrusal fonksiyonlarla ifade edilebilen denklem ve eşitsizlik problemleri, matematiksel düşünme becerisini geliştirmenin yanı sıra gerçek hayat senaryolarını modelleme yeteneğini de kazandırır. Bu tür problemleri çözerken, verilen bilgileri doğru anlayıp uygun doğrusal fonksiyon veya eşitsizlikleri kurmak önemlidir.