Doğrusal fonksiyonlarda ifade edilen denklemler Ders Notu

Doğrusal Fonksiyonlarda İfade Edilen Denklemler

9. Sınıf Matematik dersinde doğrusal fonksiyonlar, koordinat sisteminde bir doğruyu temsil eden denklemlerle ifade edilir. Bu denklemlerin genel formu \( y = ax + b \) şeklindedir. Burada \( a \) doğrunun eğimini, \( b \) ise y-eksenini kestiği noktayı gösterir. Bu ders notunda, doğrusal fonksiyonların denklemlerini anlama, yorumlama ve bu denklemleri kullanarak problemler çözme üzerine odaklanacağız.

Doğrusal Fonksiyon Denkleminin Yapısı

Bir doğrusal fonksiyonun denklemi \( f(x) = ax + b \) veya \( y = ax + b \) şeklinde yazılır.

• \( x \): Bağımsız değişkendir.
• \( y \) veya \( f(x) \): Bağımlı değişkendir.
• \( a \): Doğrunun eğimidir. Eğim, \( x \) değerindeki bir birimlik artışa karşılık \( y \) değerindeki değişimi gösterir.
• \( b \): Sabit terimdir. Bu değer, doğrunun y-eksenini kestiği noktanın ordinatıdır (yani \( x=0 \) iken \( y=b \) olur).

Eğimi ve y-Eksenini Kestiği Noktayı Belirleme

Bir doğrusal fonksiyonun denklemi verildiğinde, eğimini ve y-eksenini kestiği noktayı kolayca belirleyebiliriz.

• Denklem \( y = ax + b \) formundaysa, eğim \( a \) ve y-eksenini kestiği nokta \( (0, b) \) olur.
• Denklem \( ax + by + c = 0 \) formundaysa, \( by = -ax - c \) şeklinde düzenlenerek \( y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b} \) elde edilir. Bu durumda eğim \( -\frac{a}{b} \) ve y-eksenini kestiği nokta \( (0, -\frac{c}{b}) \) olur.

Örnek 1: Eğim ve y-Kesişim Noktasını Bulma

Aşağıdaki doğrusal fonksiyonların eğimlerini ve y-eksenini kestikleri noktaları bulunuz.

1. \( f(x) = 3x + 5 \)
2. \( y = -2x + 1 \)
3. \( 4x + 2y - 8 = 0 \)

Çözüm 1:

1. \( f(x) = 3x + 5 \) denkleminde, \( a=3 \) ve \( b=5 \)'tir. Dolayısıyla eğim 3'tür ve y-eksenini kestiği nokta \( (0, 5) \)'tir.
2. \( y = -2x + 1 \) denkleminde, \( a=-2 \) ve \( b=1 \)'dir. Dolayısıyla eğim -2'dir ve y-eksenini kestiği nokta \( (0, 1) \)'dir.
3. \( 4x + 2y - 8 = 0 \) denklemini \( y = ax + b \) formuna getirelim: \( 2y = -4x + 8 \) \( y = -2x + 4 \) Bu durumda eğim -2'dir ve y-eksenini kestiği nokta \( (0, 4) \)'tür.

İki Noktası Bilinen Doğrunun Denklemini Yazma

Eğer bir doğrunun geçtiği iki nokta \( (x_1, y_1) \) ve \( (x_2, y_2) \) biliniyorsa, önce doğrunun eğimi \( a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \) formülü ile bulunur. Ardından, bulunan eğim ve noktalardan biri kullanılarak \( y - y_1 = a(x - x_1) \) denklemi elde edilir. Bu denklem düzenlenerek \( y = ax + b \) formuna getirilebilir.

Örnek 2: İki Noktası Bilinen Doğrunun Denklemini Yazma

Geçtiği noktalar \( (1, 4) \) ve \( (3, 10) \) olan doğrunun denklemini yazınız.

Çözüm 2:

Önce doğrunun eğimini bulalım:

\[ a = \frac{10 - 4}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3 \]

Şimdi eğimi (3) ve \( (1, 4) \) noktasını kullanarak denklemi yazalım:

\[ y - 4 = 3(x - 1) \] \[ y - 4 = 3x - 3 \] \[ y = 3x - 3 + 4 \] \[ y = 3x + 1 \]

Bu doğrunun denklemi \( y = 3x + 1 \)'dir. Eğim 3 ve y-eksenini kestiği nokta \( (0, 1) \)'dir.

Günlük Yaşamdan Örnekler

Doğrusal fonksiyonlar, günlük yaşamda birçok yerde karşımıza çıkar. Örneğin:

• Taksimetre Ücreti: Bir taksinin açılış ücreti (sabit terim \( b \)) ve kilometre başına alınan ücret (eğim \( a \)) ile belirlenen toplam ücret, doğrusal bir fonksiyon olarak ifade edilebilir.
• Su Deposu Doldurma: Bir depoya sabit bir hızla (eğim \( a \)) su doldurulduğunda, depodaki su miktarı (bağımlı değişken \( y \)) geçen zamana (bağımsız değişken \( x \)) bağlı olarak doğrusal bir fonksiyon gösterir. Deponun başlangıçtaki su miktarı (sabit terim \( b \)) da denkleme dahil edilir.

Örnek 3: Günlük Yaşam Problemi

Bir manav, elmaların kilogramını 5 TL'den satmaktadır. Manavın kasasına giren toplam para, satılan elma miktarına göre nasıl bir doğrusal fonksiyonla ifade edilir? Eğer manavın başlangıçta kasasında 50 TL varsa, 10 kg elma sattığında toplam kaç TL'si olur?

Çözüm 3:

Satılan elma miktarı \( x \) (kg) ve toplam para \( y \) (TL) olsun.

Kilogram başına 5 TL alındığı için eğim \( a = 5 \)'tir.

Başlangıçta kasada 50 TL olduğu için sabit terim \( b = 50 \)'dir.

Toplam para denklemi: \( y = 5x + 50 \)

10 kg elma satıldığında \( x = 10 \) olur. Bu durumda:

\[ y = 5(10) + 50 \] \[ y = 50 + 50 \] \[ y = 100 \]

Manavın toplam 100 TL'si olur.

Doğrusal Denklemlerin Grafiği

Doğrusal fonksiyonların grafiği her zaman bir doğrudur. \( y = ax + b \) denkleminde:

• \( a > 0 \) ise doğru sağa yatıktır (artan).
• \( a < 0 \) ise doğru sola yatıktır (azalan).
• \( a = 0 \) ise doğru x-eksenine paraleldir (sabit fonksiyon).
• \( b \) değeri, doğrunun y-eksenini kestiği noktayı verir.

Bir doğrunun grafiğini çizmek için genellikle iki nokta yeterlidir. Bu noktalar, y-eksenini kestiği nokta \( (0, b) \) ve x-eksenini kestiği nokta ( \( y=0 \) iken \( x \) değeri) olabilir.