Doğrusal fonksiyon Ders Notu

Doğrusal Fonksiyonlar 📈

9. Sınıf Matematik müfredatının önemli konularından biri olan doğrusal fonksiyonlar, iki nicelik arasındaki doğrusal ilişkiyi ifade eder. Bir fonksiyonun doğrusal olabilmesi için, bağımsız değişkendeki (genellikle \(x\)) sabit bir değişime karşılık, bağımlı değişkende (genellikle \(y\)) daima sabit bir değişim olması gerekir. Bu durum, fonksiyonun grafiğinin düz bir çizgi olmasını sağlar.

Doğrusal Fonksiyonun Genel Gösterimi

Bir \(f\) fonksiyonunun doğrusal olması için genel gösterimi aşağıdaki gibidir:

\[ f(x) = ax + b \]

Burada:

• \(x\): Bağımsız değişkendir.
• \(f(x)\) veya \(y\): Bağımlı değişkendir.
• \(a\): Fonksiyonun eğimidir. Bağımsız değişkendeki bir birimlik artışın, bağımlı değişkende ne kadar bir değişime yol açtığını gösterir.
• \(b\): Fonksiyonun y-eksenini kestiği noktadır (sabit terim). Yani, \(x=0\) iken \(f(x)\) değeridir.

Doğrusal Fonksiyonları Tanıma

Bir fonksiyonun doğrusal olup olmadığını anlamak için şu adımlar izlenebilir:

1. Grafik Yöntemi: Fonksiyonun grafiği çizildiğinde düz bir çizgi elde ediliyorsa, fonksiyon doğrusaldır.
2. Tablo Yöntemi: Bağımsız değişkene eşit aralıklarla değerler verildiğinde, bağımlı değişkendeki artışlar veya azalışlar daima sabitse, fonksiyon doğrusaldır.
3. Cebirsel Yöntem: Fonksiyonun \(f(x) = ax + b\) şeklinde yazılıp yazılamadığına bakılır.

Çözümlü Örnekler

Örnek 1:

Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi veya hangileri doğrusaldır?

1. \(f(x) = 3x + 5\)
2. \(g(x) = x^2 - 1\)
3. \(h(x) = \frac{1}{2}x\)
4. \(k(x) = 7\)

Çözüm:

• \(f(x) = 3x + 5\): Bu fonksiyon \(ax + b\) formundadır (\(a=3\), \(b=5\)). Dolayısıyla doğrusaldır.
• \(g(x) = x^2 - 1\): Bu fonksiyonun içinde \(x^2\) terimi olduğu için doğrusal değildir.
• \(h(x) = \frac{1}{2}x\): Bu fonksiyon \(ax + b\) formundadır (\(a=\frac{1}{2}\), \(b=0\)). Dolayısıyla doğrusaldır.
• \(k(x) = 7\): Bu fonksiyon \(ax + b\) formundadır (\(a=0\), \(b=7\)). Sabit fonksiyonlar da doğrusal fonksiyonlardır.

Sonuç olarak, \(f(x)\), \(h(x)\) ve \(k(x)\) doğrusal fonksiyonlardır.

Örnek 2:

Bir taksinin açılış ücreti 10 TL'dir ve kilometre başına 4 TL ek ücret alınmaktadır. Bu durumu ifade eden doğrusal fonksiyonu yazınız ve 5 km yolculuğun ücretini hesaplayınız.

Çözüm:

Kilometre sayısını \(x\) ile gösterirsek, toplam ücret \(f(x)\) olsun.

Açılış ücreti (\(b\)) = 10 TL

Kilometre başına ücret (\(a\)) = 4 TL

Doğrusal fonksiyonumuz:

\[ f(x) = 4x + 10 \]

5 km yolculuğun ücretini bulmak için \(x=5\) değerini fonksiyonda yerine koyalım:

\[ f(5) = 4 \times 5 + 10 \] \[ f(5) = 20 + 10 \] \[ f(5) = 30 \]

Bu durumda 5 km yolculuğun ücreti 30 TL'dir.

Eğim ve Y-Ekseni Kesişim Noktası

Doğrusal bir fonksiyonun grafiği olan doğru üzerinde eğim (\(a\)) ve y-eksenini kestiği nokta (\(b\)) en temel iki bilgidir. Eğim, doğrunun dikliğini gösterirken, y-eksenini kestiği nokta ise fonksiyonun \(x=0\) iken aldığı değeri belirtir.

Eğim (\(a\)) Hesaplanması

İki noktası bilinen bir doğrunun eğimi şu formülle hesaplanır:

\[ a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

Burada \((x_1, y_1)\) ve \((x_2, y_2)\) doğrunun üzerindeki farklı iki noktadır.

Örnek 3:

Eğimi 2 olan ve \((1, 5)\) noktasından geçen doğrusal fonksiyonu bulunuz.

Çözüm:

Fonksiyonumuz \(f(x) = ax + b\) şeklinde olacak. Eğimi (\(a\)) 2 olarak verilmiş.

\[ f(x) = 2x + b \]

Fonksiyon \((1, 5)\) noktasından geçtiğine göre, \(x=1\) iken \(f(x)=5\) olmalıdır.

\[ 5 = 2 \times 1 + b \] \[ 5 = 2 + b \] \[ b = 5 - 2 \] \[ b = 3 \]

O halde doğrusal fonksiyonumuz:

\[ f(x) = 2x + 3 \]

Sabit Fonksiyonlar

Eğimi \(a=0\) olan doğrusal fonksiyonlara sabit fonksiyon denir. Bu fonksiyonların genel gösterimi \(f(x) = b\) şeklindedir. Grafiği x-eksenine paralel bir doğrudur.

Örnek 4:

\(f(x) = -8\) fonksiyonu doğrusal mıdır? Grafiği nasıldır?

Çözüm:

\(f(x) = -8\) fonksiyonu, \(f(x) = ax + b\) formunda \(a=0\) ve \(b=-8\) olarak yazılabilir. Bu nedenle doğrusaldır. Grafiği, y-eksenini -8 noktasında kesen ve x-eksenine paralel olan bir doğrudur.