Doğrusal Fonksiyon Denklem Ve Eşitsizlik Ders Notu

Doğrusal Fonksiyon Denklemi ve Eşitsizlikleri

9. Sınıf Matematik müfredatında yer alan doğrusal fonksiyonlar, temel matematiksel ilişkileri anlamak için önemli bir adımdır. Doğrusal fonksiyonlar, grafiği düz bir çizgi olan fonksiyonlardır. Bu fonksiyonların denklemleri genellikle \( y = ax + b \) veya \( f(x) = ax + b \) biçimindedir. Burada \( a \) eğimi, \( b \) ise y-eksenini kestiği noktayı ifade eder.

Doğrusal Fonksiyon Denklemi

Bir doğrusal fonksiyonun denklemini bulmak için genellikle iki nokta veya bir nokta ve eğim bilgisi verilir.

Örnek 1: İki Noktası Verilen Doğrusal Fonksiyon Denklemi

Aşağıdaki noktalarından geçen doğrusal fonksiyonun denklemini bulunuz: \( A(2, 5) \) ve \( B(4, 9) \).

Öncelikle eğimi (a) bulalım. Eğim, iki nokta arasındaki y değerlerinin farkının x değerlerinin farkına oranıdır:

\[ a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

Burada \( (x_1, y_1) = (2, 5) \) ve \( (x_2, y_2) = (4, 9) \) alalım.

\[ a = \frac{9 - 5}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2 \]

Eğimi \( a = 2 \) bulduk. Şimdi denklem \( y = 2x + b \) şeklindedir. Bu denklemde \( A(2, 5) \) noktasını yerine koyarak \( b \) değerini bulabiliriz:

\[ 5 = 2(2) + b \] \[ 5 = 4 + b \] \[ b = 5 - 4 = 1 \]

Dolayısıyla, doğrusal fonksiyonun denklemi \( y = 2x + 1 \) veya \( f(x) = 2x + 1 \) olur.

Örnek 2: Bir Noktası ve Eğimi Verilen Doğrusal Fonksiyon Denklemi

Geçtiği nokta \( (3, 7) \) ve eğimi \( -1 \) olan doğrusal fonksiyonun denklemini bulunuz.

Doğrusal fonksiyonun genel denklemi \( y = ax + b \) idi. Burada \( a = -1 \) verilmiş. Denklem \( y = -1x + b \) yani \( y = -x + b \) olur.

Verilen noktayı \( (3, 7) \) denklemde yerine koyalım:

\[ 7 = -(3) + b \] \[ 7 = -3 + b \] \[ b = 7 + 3 = 10 \]

Bu durumda fonksiyonun denklemi \( y = -x + 10 \) veya \( f(x) = -x + 10 \) olur.

Doğrusal Fonksiyon Eşitsizlikleri

Doğrusal fonksiyon eşitsizlikleri, \( y > ax + b \), \( y < ax + b \), \( y \ge ax + b \) veya \( y \le ax + b \) biçimindeki ifadelerdir. Bu eşitsizliklerin grafiği, bir doğru ve bu doğrunun üstünde veya altında kalan bölgedir. Doğrunun kendisi dahilse kesik olmayan çizgi, dahil değilse kesik çizgi kullanılır.

Örnek 3: Doğrusal Fonksiyon Eşitsizliğinin Grafiği

\( y \le 2x + 4 \) eşitsizliğinin grafiğini çiziniz.

Öncelikle \( y = 2x + 4 \) doğrusunu çizeriz. Bu doğruyu çizmek için iki nokta bulabiliriz:

• Eğer \( x = 0 \) ise, \( y = 2(0) + 4 = 4 \). Nokta: \( (0, 4) \) (y-eksenini kestiği nokta)
• Eğer \( y = 0 \) ise, \( 0 = 2x + 4 \Rightarrow 2x = -4 \Rightarrow x = -2 \). Nokta: \( (-2, 0) \) (x-eksenini kestiği nokta)

Bu iki noktayı birleştiren bir doğru çizeriz. Eşitsizlik \( y \le 2x + 4 \) olduğu için, doğrunun kendisi de çözüm kümesine dahildir. Bu nedenle doğruyu kesik çizgi yerine tam çizgi ile çizeriz.

Şimdi doğrunun hangi tarafının taranacağını belirlemek için bir test noktası seçeriz. Genellikle \( (0, 0) \) noktası kolaylık sağlar. Eğer \( (0, 0) \) noktası eşitsizliği sağlıyorsa, doğrunun altındaki bölgeyi tararız. Eğer sağlamıyorsa, üstündeki bölgeyi tararız.

\( (0, 0) \) noktasını eşitsizlikte yerine koyalım:

\[ 0 \le 2(0) + 4 \] \[ 0 \le 4 \]

Bu ifade doğrudur. Dolayısıyla, \( y \le 2x + 4 \) eşitsizliğinin grafiği, \( y = 2x + 4 \) doğrusunu ve bu doğrunun altındaki bölgeyi tarayarak gösterilir.

Örnek 4: Doğrusal Fonksiyon Eşitsizlik Sistemleri

Aşağıdaki eşitsizlik sistemini sağlayan bölgeyi bulunuz:

• \( y > x - 1 \)
• \( y \le -2x + 5 \)

İlk eşitsizlik \( y > x - 1 \) için \( y = x - 1 \) doğrusunu çizeriz. Bu doğrunun eğimi 1 ve y-eksenini -1'de keser. Eşitsizlik \( > \) olduğu için doğru kesik çizgi ile çizilir. \( (0, 0) \) noktasını test edelim: \( 0 > 0 - 1 \Rightarrow 0 > -1 \), bu doğrudur. Bu nedenle doğrunun üstündeki bölge taranır.

İkinci eşitsizlik \( y \le -2x + 5 \) için \( y = -2x + 5 \) doğrusunu çizeriz. Bu doğrunun eğimi -2 ve y-eksenini 5'te keser. Eşitsizlik \( \le \) olduğu için doğru tam çizgi ile çizilir. \( (0, 0) \) noktasını test edelim: \( 0 \le -2(0) + 5 \Rightarrow 0 \le 5 \), bu doğrudur. Bu nedenle doğrunun altındaki bölge taranır.

İki doğrunun kesiştiği ve her iki bölgenin de tarandığı ortak bölge, eşitsizlik sisteminin çözüm kümesidir.