💡 9. Sınıf Matematik: Doğrusal Denklemler Ve Fonksiyonları Çözümlü Örnekler

• 👉 İlk olarak, -7 sayısını denklemin sağ tarafına, işaretini değiştirerek atalım.
\[ 3x = 11 + 7 \]
• 👉 Sağ taraftaki sayıları toplayalım.
\[ 3x = 18 \]
• 👉 Şimdi x'i yalnız bırakmak için her iki tarafı 3'e bölelim.
\[ \frac{3x}{3} = \frac{18}{3} \]
• ✅ Böylece x değerini buluruz.
\[ x = 6 \]

Denklemin çözümü 6'dır.

• 👉 A\( (1, 5) \) noktası için:
  x yerine 1, y yerine 5 yazalım.
\[ 2(1) + 5 = 2 + 5 = 7 \]

Sonuç 8 olmadığı için A noktası denklemi sağlamaz. \( 7 \neq 8 \)

• 👉 B\( (3, 2) \) noktası için:
  x yerine 3, y yerine 2 yazalım.
\[ 2(3) + 2 = 6 + 2 = 8 \]

Sonuç 8 olduğu için B noktası denklemi sağlar. \( 8 = 8 \)

• 👉 C\( (2, 6) \) noktası için:
  x yerine 2, y yerine 6 yazalım.
\[ 2(2) + 6 = 4 + 6 = 10 \]

Sonuç 8 olmadığı için C noktası denklemi sağlamaz. \( 10 \neq 8 \)

✅ Sadece B\( (3, 2) \) noktası \( 2x + y = 8 \) denklemini sağlar.

• y eksenini kestiği nokta (x = 0):
• 👉 Denkleme x yerine 0 yazalım.
\[ y = 3(0) - 6 \] \[ y = 0 - 6 \] \[ y = -6 \]

Bu nokta \( (0, -6) \)'dır.

• x eksenini kestiği nokta (y = 0):
• 👉 Denkleme y yerine 0 yazalım.
\[ 0 = 3x - 6 \]
• 👉 -6'yı karşıya atalım.
\[ 6 = 3x \]
• 👉 Her iki tarafı 3'e bölelim.
\[ \frac{6}{3} = \frac{3x}{3} \] \[ x = 2 \]

Bu nokta \( (2, 0) \)'dır.

✅ Doğrusal denklemin grafiği y eksenini \( (0, -6) \) noktasında, x eksenini \( (2, 0) \) noktasında keser.

• 👉 Verilen noktalar: A\( (x_1, y_1) = (1, 4) \) ve B\( (x_2, y_2) = (3, 10) \).
• 👉 Bu değerleri eğim formülünde yerine koyalım.
\[ m = \frac{10 - 4}{3 - 1} \]
• 👉 Pay ve paydayı hesaplayalım.
\[ m = \frac{6}{2} \]
• ✅ Sonucu sadeleştirelim.
\[ m = 3 \]

Doğrunun eğimi 3'tür.

• 👉 Verilenler: Eğimi \( m = 2 \) ve nokta \( P(x_1, y_1) = (3, 5) \).
• 👉 Bu değerleri formülde yerine koyalım.
\[ y - 5 = 2(x - 3) \]
• 👉 Denklemin sağ tarafını dağıtarak açalım.
\[ y - 5 = 2x - 6 \]
• 👉 -5'i denklemin sağ tarafına atarak y'yi yalnız bırakalım.
\[ y = 2x - 6 + 5 \]
• ✅ Denklemi düzenleyelim.
\[ y = 2x - 1 \]

Doğrunun denklemi \( y = 2x - 1 \)'dir.

1. \( x + 2y = 10 \)
2. \( 3x - 2y = 6 \)

• 👉 Denklemleri alt alta topladığımızda, \( +2y \) ve \( -2y \) birbirini götürecektir (yok edecektir).
\[ (x + 2y) + (3x - 2y) = 10 + 6 \] \[ x + 3x + 2y - 2y = 16 \] \[ 4x = 16 \]
• 👉 Şimdi x'i bulmak için her iki tarafı 4'e bölelim.
\[ \frac{4x}{4} = \frac{16}{4} \] \[ x = 4 \]
• 👉 Bulduğumuz x = 4 değerini ilk denklemde yerine yazarak y'yi bulalım.
\[ 4 + 2y = 10 \]
• 👉 4'ü sağ tarafa atalım.
\[ 2y = 10 - 4 \] \[ 2y = 6 \]
• 👉 Her iki tarafı 2'ye bölelim.
\[ \frac{2y}{2} = \frac{6}{2} \] \[ y = 3 \]

✅ Denklem sisteminin çözüm kümesi \( (4, 3) \)'tür.

• 👉 Verilen noktaları belirleyelim:
  Fidan dikildiğinde (zaman \( x=0 \)) boyu 20 cm'dir. Bu bize birinci noktayı verir: \( (x_1, y_1) = (0, 20) \).
  4 ay sonra (zaman \( x=4 \)) boyu 48 cm'dir. Bu da ikinci noktayı verir: \( (x_2, y_2) = (4, 48) \).
• 👉 Fidanın aylık uzama miktarını (eğimi) bulalım:
  Eğim \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \) formülünü kullanalım.
\[ m = \frac{48 - 20}{4 - 0} \] \[ m = \frac{28}{4} \] \[ m = 7 \]

Bu, fidanın her ay 7 cm uzadığı anlamına gelir.

• 👉 Doğrusal denklemi yazalım:
  Genel doğrusal denklem \( y = mx + n \) şeklindedir. Burada \( m \) eğim, \( n \) ise y eksenini kestiği noktadır (yani x=0 anındaki başlangıç boyu).
  \( m = 7 \) ve başlangıç boyu (y eksenini kestiği nokta) \( n = 20 \) olduğuna göre denklemi yazabiliriz.
\[ y = 7x + 20 \]

✅ Fidanın boyunun zamana göre değişimini gösteren doğrusal denklem \( y = 7x + 20 \)'dir.

• 👉 Değişkenleri tanımlayalım:
  Doldurulan benzin miktarı x (litre).
  Ödenecek toplam tutar y (TL).
• 👉 Denklemi kuralım:
  Her litre benzin için 40 TL ödendiğine göre, ödenecek toplam tutar, benzin miktarı ile litre fiyatının çarpımı olacaktır. Bu durumda doğrusal denklem:
\[ y = 40x \]
• 👉 35 litre benzin için ödenecek tutarı hesaplayalım:
  Denklemde x yerine 35 yazalım.
\[ y = 40 \times 35 \] \[ y = 1400 \]

✅ Bu benzin istasyonunda deposuna 35 litre benzin dolduran bir kişi 1400 TL öder.