Doğrusal Denklemler Ve Fonksiyonları Ders Notu

Doğrusal denklemler ve fonksiyonlar, matematikte temel konulardan biridir ve birçok farklı alanda karşımıza çıkar. Bu konuda, bir bilinmeyenli ve iki bilinmeyenli doğrusal denklemleri, bu denklemlerin çözüm yöntemlerini ve doğrusal fonksiyonların özelliklerini, grafiklerini ve denklemlerini öğreneceğiz.

1. Doğrusal Denklemler 🔢

İçinde en az bir değişken (bilinmeyen) bulunan ve eşitlik içeren ifadelere denklem denir. Doğrusal denklemler, en yüksek derecesi birinci olan denklemlerdir.

1.1. Bir Bilinmeyenli Doğrusal Denklemler

Sadece bir tane bilinmeyeni olan ve bilinmeyenin kuvveti 1 olan denklemlerdir. Genel gösterimi \( ax + b = 0 \) şeklindedir (burada \( a \neq 0 \) olmalıdır).

Örnek: \( 3x - 6 = 0 \), \( 5(x+2) = 15 \)

Bu tür denklemlerin çözümü, bilinmeyeni eşitliğin bir tarafında yalnız bırakarak yapılır.

Örnek Çözüm: \( 3x - 6 = 0 \) denklemini çözelim.
\( 3x = 6 \)
\( x = \frac{6}{3} \)
\( x = 2 \)

1.2. İki Bilinmeyenli Doğrusal Denklemler

İki tane bilinmeyeni olan ve bu bilinmeyenlerin kuvvetleri 1 olan denklemlerdir. Genel gösterimi \( ax + by + c = 0 \) şeklindedir (burada \( a \neq 0 \) veya \( b \neq 0 \) olmalıdır).

Örnek: \( 2x + 3y = 12 \), \( x - y = 5 \)

İki bilinmeyenli doğrusal denklemlerin çözüm kümesi genellikle sonsuz elemanlıdır ve koordinat sisteminde bir doğruyu temsil eder. Bu denklemlerin belirli bir çözümü için en az iki denkleme ihtiyaç duyarız.

1.3. Doğrusal Denklem Sistemleri 🤝

Birden fazla iki bilinmeyenli doğrusal denklemden oluşan kümelere doğrusal denklem sistemi denir. Bu sistemlerin çözümü, her iki denklemi de aynı anda sağlayan \( (x, y) \) sıralı ikilisini bulmaktır.

Doğrusal denklem sistemlerini çözmek için başlıca iki yöntem kullanılır:

1.3.1. Yerine Koyma Metodu

Bu yöntemde, denklemlerden birinden bir değişken diğer değişken cinsinden ifade edilir ve bu ifade diğer denklemde yerine yazılır.

Örnek: Aşağıdaki denklem sistemini yerine koyma metoduyla çözelim:
1) \( x + y = 5 \)
2) \( 2x - y = 1 \)

1. denklemden \( y \)'yi çekelim: \( y = 5 - x \)
Bu ifadeyi 2. denklemde yerine yazalım:
\( 2x - (5 - x) = 1 \)
\( 2x - 5 + x = 1 \)
\( 3x - 5 = 1 \)
\( 3x = 6 \)
\( x = 2 \)

Şimdi \( x = 2 \) değerini \( y = 5 - x \) denkleminde yerine yazalım:
\( y = 5 - 2 \)
\( y = 3 \)

Çözüm kümesi: \( (2, 3) \)

1.3.2. Yok Etme Metodu

Bu yöntemde, denklemlerden birini veya her ikisini uygun sayılarla çarparak, toplayıp veya çıkararak değişkenlerden birini yok ederiz.

Örnek: Aşağıdaki denklem sistemini yok etme metoduyla çözelim:
1) \( x + y = 5 \)
2) \( 2x - y = 1 \)

Denklemleri taraf tarafa toplarsak, \( y \) değişkeni yok olur:
\( (x + y) + (2x - y) = 5 + 1 \)
\( 3x = 6 \)
\( x = 2 \)

Şimdi \( x = 2 \) değerini 1. denklemde yerine yazalım:
\( 2 + y = 5 \)
\( y = 3 \)

Çözüm kümesi: \( (2, 3) \)

1.3.3. Grafiksel Çözüm 📈

Doğrusal denklem sistemlerinin her bir denklemi, koordinat sisteminde bir doğruyu temsil eder. Bu doğruların kesişim noktası, denklem sisteminin çözümüdür.

Tek Çözüm: Doğrular tek bir noktada kesişir. (Eğimleri farklıdır).
Sonsuz Çözüm: Doğrular çakışıktır, yani aynı doğrudur. (Eğimleri ve y-kesenleri aynıdır).
Çözüm Yok: Doğrular paraleldir ve kesişmezler. (Eğimleri aynı, y-kesenleri farklıdır).

2. Fonksiyon Kavramı 💡

Günlük hayatta birçok şey birbiriyle ilişkilidir. Örneğin, bir kişinin yaşı ile boyu arasında, ya da bir ürünün fiyatı ile satılan miktarı arasında bir ilişki vardır. Fonksiyonlar, bu tür ilişkileri matematiksel olarak ifade etmemizi sağlar.

2.1. Fonksiyon Nedir?

A ve B boş olmayan iki küme olmak üzere, A kümesinin her bir elemanını B kümesinin yalnız bir elemanına eşleyen ilişkiye A'dan B'ye bir fonksiyon denir. Fonksiyonlar genellikle \( f, g, h \) gibi küçük harflerle gösterilir.

Bir \( f \) fonksiyonu A kümesinden B kümesine tanımlanıyorsa, bu durum \( f: A \to B \) şeklinde gösterilir.

A kümesine tanım kümesi denir.
B kümesine değer kümesi denir.
Tanım kümesindeki elemanların fonksiyon altındaki görüntülerinden oluşan kümeye görüntü kümesi denir ve \( f(A) \) ile gösterilir. Görüntü kümesi, değer kümesinin bir alt kümesidir (\( f(A) \subseteq B \)).

Önemli Not: Bir ilişkinin fonksiyon olabilmesi için iki temel şart vardır:

Tanım kümesindeki her eleman eşleşmelidir. (A'da açıkta eleman kalmamalıdır.)

Tanım kümesindeki her eleman, değer kümesinden yalnız bir elemanla eşleşmelidir. (Bir elemanın birden fazla görüntüsü olamaz.)

3. Doğrusal Fonksiyonlar 🚀

Doğrusal fonksiyonlar, grafiği koordinat sisteminde bir doğru belirten fonksiyonlardır.

3.1. Doğrusal Fonksiyon Tanımı ve Gösterimi

\( a, b \in \mathbb{R} \) ve \( a \neq 0 \) olmak üzere, \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) şeklinde tanımlanan \( f(x) = ax + b \) biçimindeki fonksiyonlara doğrusal fonksiyon denir.

Eğer \( b = 0 \) ise, fonksiyon \( f(x) = ax \) şeklini alır ve grafiği orijinden geçer.
Eğer \( a = 0 \) ise, fonksiyon \( f(x) = b \) şeklini alır ve sabit fonksiyon adını alır. Sabit fonksiyonun grafiği x eksenine paralel bir doğrudur.

Örnekler:

\( f(x) = 2x + 3 \)

\( g(x) = -x + 5 \)

\( h(x) = 4x \)

3.2. Doğrusal Fonksiyonların Grafikleri 📊

Doğrusal fonksiyonların grafikleri, koordinat sisteminde bir doğru oluşturur. Bir doğrunun grafiğini çizmek için en az iki noktasına ihtiyacımız vardır. Genellikle eksenleri kestiği noktalar bulunur.

3.2.1. Koordinat Sistemi Hatırlatma

İki sayı doğrusunun (yatay x ekseni ve dikey y ekseni) dik kesişmesiyle oluşan düzleme koordinat sistemi veya Kartezyen koordinat sistemi denir. Noktalar \( (x, y) \) sıralı ikilileriyle gösterilir.

3.2.2. Eksenleri Kesen Noktalar

Bir doğrusal fonksiyonun grafiğini çizerken, x ve y eksenlerini kestiği noktaları bulmak işimizi kolaylaştırır:

x eksenini kestiği nokta: \( y = 0 \) yazılarak \( x \) değeri bulunur. Bu nokta \( (x, 0) \) şeklindedir.
y eksenini kestiği nokta: \( x = 0 \) yazılarak \( y \) değeri bulunur. Bu nokta \( (0, y) \) şeklindedir.

Örnek: \( y = 2x - 4 \) fonksiyonunun grafiğini çizmek için eksenleri kestiği noktaları bulalım.

\( y = 0 \) için: \( 0 = 2x - 4 \implies 2x = 4 \implies x = 2 \). x eksenini \( (2, 0) \) noktasında keser.

\( x = 0 \) için: \( y = 2(0) - 4 \implies y = -4 \). y eksenini \( (0, -4) \) noktasında keser.

Bu iki noktayı koordinat sisteminde işaretleyip birleştirdiğimizde doğrunun grafiğini elde ederiz.

3.2.3. Orijinden Geçen Doğrular

Eğer bir doğrusal fonksiyon \( f(x) = ax \) (yani \( b = 0 \)) şeklinde ise, grafiği orijinden \( (0, 0) \) geçer. Çünkü \( x = 0 \) için \( y = a(0) = 0 \) olur.

3.2.4. Eksenlere Paralel Doğrular

x eksenine paralel doğrular: Denklemleri \( y = k \) şeklindedir (burada \( k \) bir sabittir). Bu doğrular y eksenini \( (0, k) \) noktasında keser.
y eksenine paralel doğrular: Denklemleri \( x = k \) şeklindedir (burada \( k \) bir sabittir). Bu doğrular x eksenini \( (k, 0) \) noktasında keser. Bu tür denklemler bir fonksiyon belirtmez ancak bir doğru denklemini ifade eder.

3.3. Eğim Nedir? 🤔

Bir doğrunun x ekseni ile pozitif yönde yaptığı açının tanjantına eğim denir ve genellikle \( m \) ile gösterilir. Eğim, doğrunun ne kadar "dik" olduğunu veya hangi yöne doğru eğimli olduğunu gösterir.

Eğim, bir doğru üzerindeki herhangi iki nokta arasındaki dikey değişimin (y'deki değişim) yatay değişime (x'teki değişim) oranıdır.

3.3.1. Eğim Hesaplama Formülü

Koordinatları \( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) olan iki noktadan geçen doğrunun eğimi \( m \) şu formülle bulunur: \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \] (Burada \( x_1 \neq x_2 \) olmalıdır. Eğer \( x_1 = x_2 \) ise doğru y eksenine paraleldir ve eğimi tanımsızdır.)

Ayrıca, \( y = ax + b \) şeklindeki bir doğrusal fonksiyonun eğimi, \( x \)'in katsayısı olan \( a \) değeridir.
\( Ax + By + C = 0 \) şeklindeki bir doğru denkleminde ise eğim \( m = -\frac{A}{B} \) olarak bulunur (burada \( B \neq 0 \) olmalıdır).

Örnek: \( A(1, 2) \) ve \( B(3, 8) \) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulalım.
\( m = \frac{8 - 2}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3 \)

3.3.2. Doğrunun Eğiminin Yorumlanması

Eğer \( m > 0 \) ise doğru sağa yatıktır (x değeri arttıkça y değeri artar).
Eğer \( m < 0 \) ise doğru sola yatıktır (x değeri arttıkça y değeri azalır).
Eğer \( m = 0 \) ise doğru x eksenine paraleldir (yatay doğru).
Eğer doğru y eksenine paralel ise eğimi tanımsızdır (dikey doğru).

3.4. Doğru Denklemleri Yazma ✍️

Farklı bilgiler verildiğinde bir doğrunun denklemini yazabiliriz.

3.4.1. Eğimi ve Bir Noktası Bilinen Doğru Denklemi

Eğimi \( m \) olan ve \( A(x_1, y_1) \) noktasından geçen doğrunun denklemi şu şekildedir: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \]

Örnek: Eğimi \( 2 \) olan ve \( (1, 3) \) noktasından geçen doğrunun denklemini yazalım.
\( y - 3 = 2(x - 1) \)
\( y - 3 = 2x - 2 \)
\( y = 2x + 1 \)

3.4.2. İki Noktası Bilinen Doğru Denklemi

\( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) noktalarından geçen doğrunun denklemini yazmak için önce bu iki nokta yardımıyla eğimi \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \) buluruz. Ardından, bulunan eğimi ve noktalardan herhangi birini kullanarak "Eğimi ve Bir Noktası Bilinen Doğru Denklemi" formülünü kullanırız.

Örnek: \( A(1, 2) \) ve \( B(3, 8) \) noktalarından geçen doğrunun denklemini yazalım.
Önce eğimi bulalım: \( m = \frac{8 - 2}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3 \)
Şimdi eğim \( m=3 \) ve \( A(1, 2) \) noktasını kullanarak denklemi yazalım:
\( y - 2 = 3(x - 1) \)
\( y - 2 = 3x - 3 \)
\( y = 3x - 1 \)

3.4.3. Eksenleri Kesen Doğru Denklemi

x eksenini \( (a, 0) \) noktasında ve y eksenini \( (0, b) \) noktasında kesen doğrunun denklemi şu şekildedir: \[ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \] (Burada \( a \neq 0 \) ve \( b \neq 0 \) olmalıdır.)

Örnek: x eksenini \( (3, 0) \) noktasında, y eksenini \( (0, -2) \) noktasında kesen doğrunun denklemini yazalım.
\( \frac{x}{3} + \frac{y}{-2} = 1 \)
Paydaları eşitleyelim (6'da):
\( \frac{2x}{6} - \frac{3y}{6} = 1 \)
\( 2x - 3y = 6 \)

3.5. Paralel ve Dik Doğruların Eğimleri 📏

Koordinat sistemindeki doğrular arasındaki ilişki, eğimleri aracılığıyla belirlenir.

Paralel Doğrular: İki doğru birbirine paralelse, eğimleri eşittir.
\( d_1 // d_2 \iff m_1 = m_2 \)
(Dikey doğrular hariç, çünkü eğimleri tanımsızdır ama birbirlerine paralel olabilirler.)
Dik Doğrular: İki doğru birbirine dik ise (eğimleri tanımsız olmayan doğrular için), eğimlerinin çarpımı \( -1 \) dir.
\( d_1 \perp d_2 \iff m_1 \times m_2 = -1 \)
(Bir doğru x eksenine paralel (eğimi 0), diğeri y eksenine paralel (eğimi tanımsız) ise bu iki doğru da birbirine diktir.)

Örnek: \( y = 2x + 5 \) doğrusuna paralel olan bir doğrunun eğimi \( 2 \)'dir.
\( y = 2x + 5 \) doğrusuna dik olan bir doğrunun eğimi \( m \)'dir: \( 2 \times m = -1 \implies m = -\frac{1}{2} \).

1. Doğrusal Denklemler 🔢

İçinde en az bir değişken (bilinmeyen) bulunan ve eşitlik içeren ifadelere denklem denir. Doğrusal denklemler, en yüksek derecesi birinci olan denklemlerdir.

1.1. Bir Bilinmeyenli Doğrusal Denklemler

Sadece bir tane bilinmeyeni olan ve bilinmeyenin kuvveti 1 olan denklemlerdir. Genel gösterimi \( ax + b = 0 \) şeklindedir (burada \( a \neq 0 \) olmalıdır).

Örnek: \( 3x - 6 = 0 \), \( 5(x+2) = 15 \)

Bu tür denklemlerin çözümü, bilinmeyeni eşitliğin bir tarafında yalnız bırakarak yapılır.

Örnek Çözüm: \( 3x - 6 = 0 \) denklemini çözelim.
\( 3x = 6 \)
\( x = \frac{6}{3} \)
\( x = 2 \)

1.2. İki Bilinmeyenli Doğrusal Denklemler

İki tane bilinmeyeni olan ve bu bilinmeyenlerin kuvvetleri 1 olan denklemlerdir. Genel gösterimi \( ax + by + c = 0 \) şeklindedir (burada \( a \neq 0 \) veya \( b \neq 0 \) olmalıdır).

Örnek: \( 2x + 3y = 12 \), \( x - y = 5 \)

1.3. Doğrusal Denklem Sistemleri 🤝

Doğrusal denklem sistemlerini çözmek için başlıca iki yöntem kullanılır:

1.3.1. Yerine Koyma Metodu

Bu yöntemde, denklemlerden birinden bir değişken diğer değişken cinsinden ifade edilir ve bu ifade diğer denklemde yerine yazılır.

Örnek: Aşağıdaki denklem sistemini yerine koyma metoduyla çözelim:
1) \( x + y = 5 \)
2) \( 2x - y = 1 \)

1. denklemden \( y \)'yi çekelim: \( y = 5 - x \)
Bu ifadeyi 2. denklemde yerine yazalım:
\( 2x - (5 - x) = 1 \)
\( 2x - 5 + x = 1 \)
\( 3x - 5 = 1 \)
\( 3x = 6 \)
\( x = 2 \)

Şimdi \( x = 2 \) değerini \( y = 5 - x \) denkleminde yerine yazalım:
\( y = 5 - 2 \)
\( y = 3 \)

Çözüm kümesi: \( (2, 3) \)

1.3.2. Yok Etme Metodu

Bu yöntemde, denklemlerden birini veya her ikisini uygun sayılarla çarparak, toplayıp veya çıkararak değişkenlerden birini yok ederiz.

Örnek: Aşağıdaki denklem sistemini yok etme metoduyla çözelim:
1) \( x + y = 5 \)
2) \( 2x - y = 1 \)

Denklemleri taraf tarafa toplarsak, \( y \) değişkeni yok olur:
\( (x + y) + (2x - y) = 5 + 1 \)
\( 3x = 6 \)
\( x = 2 \)

Şimdi \( x = 2 \) değerini 1. denklemde yerine yazalım:
\( 2 + y = 5 \)
\( y = 3 \)

Çözüm kümesi: \( (2, 3) \)

1.3.3. Grafiksel Çözüm 📈

Doğrusal denklem sistemlerinin her bir denklemi, koordinat sisteminde bir doğruyu temsil eder. Bu doğruların kesişim noktası, denklem sisteminin çözümüdür.

Tek Çözüm: Doğrular tek bir noktada kesişir. (Eğimleri farklıdır).
Sonsuz Çözüm: Doğrular çakışıktır, yani aynı doğrudur. (Eğimleri ve y-kesenleri aynıdır).
Çözüm Yok: Doğrular paraleldir ve kesişmezler. (Eğimleri aynı, y-kesenleri farklıdır).

2. Fonksiyon Kavramı 💡

2.1. Fonksiyon Nedir?

Bir \( f \) fonksiyonu A kümesinden B kümesine tanımlanıyorsa, bu durum \( f: A \to B \) şeklinde gösterilir.

A kümesine tanım kümesi denir.
B kümesine değer kümesi denir.
Tanım kümesindeki elemanların fonksiyon altındaki görüntülerinden oluşan kümeye görüntü kümesi denir ve \( f(A) \) ile gösterilir. Görüntü kümesi, değer kümesinin bir alt kümesidir (\( f(A) \subseteq B \)).

Önemli Not: Bir ilişkinin fonksiyon olabilmesi için iki temel şart vardır:

Tanım kümesindeki her eleman eşleşmelidir. (A'da açıkta eleman kalmamalıdır.)

Tanım kümesindeki her eleman, değer kümesinden yalnız bir elemanla eşleşmelidir. (Bir elemanın birden fazla görüntüsü olamaz.)

3. Doğrusal Fonksiyonlar 🚀

Doğrusal fonksiyonlar, grafiği koordinat sisteminde bir doğru belirten fonksiyonlardır.

3.1. Doğrusal Fonksiyon Tanımı ve Gösterimi

\( a, b \in \mathbb{R} \) ve \( a \neq 0 \) olmak üzere, \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) şeklinde tanımlanan \( f(x) = ax + b \) biçimindeki fonksiyonlara doğrusal fonksiyon denir.

Eğer \( b = 0 \) ise, fonksiyon \( f(x) = ax \) şeklini alır ve grafiği orijinden geçer.
Eğer \( a = 0 \) ise, fonksiyon \( f(x) = b \) şeklini alır ve sabit fonksiyon adını alır. Sabit fonksiyonun grafiği x eksenine paralel bir doğrudur.

Örnekler:

\( f(x) = 2x + 3 \)

\( g(x) = -x + 5 \)

\( h(x) = 4x \)

3.2. Doğrusal Fonksiyonların Grafikleri 📊

3.2.1. Koordinat Sistemi Hatırlatma

3.2.2. Eksenleri Kesen Noktalar

Bir doğrusal fonksiyonun grafiğini çizerken, x ve y eksenlerini kestiği noktaları bulmak işimizi kolaylaştırır:

x eksenini kestiği nokta: \( y = 0 \) yazılarak \( x \) değeri bulunur. Bu nokta \( (x, 0) \) şeklindedir.
y eksenini kestiği nokta: \( x = 0 \) yazılarak \( y \) değeri bulunur. Bu nokta \( (0, y) \) şeklindedir.

Örnek: \( y = 2x - 4 \) fonksiyonunun grafiğini çizmek için eksenleri kestiği noktaları bulalım.

\( y = 0 \) için: \( 0 = 2x - 4 \implies 2x = 4 \implies x = 2 \). x eksenini \( (2, 0) \) noktasında keser.

\( x = 0 \) için: \( y = 2(0) - 4 \implies y = -4 \). y eksenini \( (0, -4) \) noktasında keser.

Bu iki noktayı koordinat sisteminde işaretleyip birleştirdiğimizde doğrunun grafiğini elde ederiz.

3.2.3. Orijinden Geçen Doğrular

Eğer bir doğrusal fonksiyon \( f(x) = ax \) (yani \( b = 0 \)) şeklinde ise, grafiği orijinden \( (0, 0) \) geçer. Çünkü \( x = 0 \) için \( y = a(0) = 0 \) olur.

3.2.4. Eksenlere Paralel Doğrular

x eksenine paralel doğrular: Denklemleri \( y = k \) şeklindedir (burada \( k \) bir sabittir). Bu doğrular y eksenini \( (0, k) \) noktasında keser.
y eksenine paralel doğrular: Denklemleri \( x = k \) şeklindedir (burada \( k \) bir sabittir). Bu doğrular x eksenini \( (k, 0) \) noktasında keser. Bu tür denklemler bir fonksiyon belirtmez ancak bir doğru denklemini ifade eder.

3.3. Eğim Nedir? 🤔

Eğim, bir doğru üzerindeki herhangi iki nokta arasındaki dikey değişimin (y'deki değişim) yatay değişime (x'teki değişim) oranıdır.

3.3.1. Eğim Hesaplama Formülü

Örnek: \( A(1, 2) \) ve \( B(3, 8) \) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulalım.
\( m = \frac{8 - 2}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3 \)

3.3.2. Doğrunun Eğiminin Yorumlanması

Eğer \( m > 0 \) ise doğru sağa yatıktır (x değeri arttıkça y değeri artar).
Eğer \( m < 0 \) ise doğru sola yatıktır (x değeri arttıkça y değeri azalır).
Eğer \( m = 0 \) ise doğru x eksenine paraleldir (yatay doğru).
Eğer doğru y eksenine paralel ise eğimi tanımsızdır (dikey doğru).

3.4. Doğru Denklemleri Yazma ✍️

Farklı bilgiler verildiğinde bir doğrunun denklemini yazabiliriz.

3.4.1. Eğimi ve Bir Noktası Bilinen Doğru Denklemi

Eğimi \( m \) olan ve \( A(x_1, y_1) \) noktasından geçen doğrunun denklemi şu şekildedir: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \]

Örnek: Eğimi \( 2 \) olan ve \( (1, 3) \) noktasından geçen doğrunun denklemini yazalım.
\( y - 3 = 2(x - 1) \)
\( y - 3 = 2x - 2 \)
\( y = 2x + 1 \)

3.4.2. İki Noktası Bilinen Doğru Denklemi

Örnek: \( A(1, 2) \) ve \( B(3, 8) \) noktalarından geçen doğrunun denklemini yazalım.
Önce eğimi bulalım: \( m = \frac{8 - 2}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3 \)
Şimdi eğim \( m=3 \) ve \( A(1, 2) \) noktasını kullanarak denklemi yazalım:
\( y - 2 = 3(x - 1) \)
\( y - 2 = 3x - 3 \)
\( y = 3x - 1 \)

3.4.3. Eksenleri Kesen Doğru Denklemi

Örnek: x eksenini \( (3, 0) \) noktasında, y eksenini \( (0, -2) \) noktasında kesen doğrunun denklemini yazalım.
\( \frac{x}{3} + \frac{y}{-2} = 1 \)
Paydaları eşitleyelim (6'da):
\( \frac{2x}{6} - \frac{3y}{6} = 1 \)
\( 2x - 3y = 6 \)

3.5. Paralel ve Dik Doğruların Eğimleri 📏

Koordinat sistemindeki doğrular arasındaki ilişki, eğimleri aracılığıyla belirlenir.

Paralel Doğrular: İki doğru birbirine paralelse, eğimleri eşittir.
\( d_1 // d_2 \iff m_1 = m_2 \)
(Dikey doğrular hariç, çünkü eğimleri tanımsızdır ama birbirlerine paralel olabilirler.)
Dik Doğrular: İki doğru birbirine dik ise (eğimleri tanımsız olmayan doğrular için), eğimlerinin çarpımı \( -1 \) dir.
\( d_1 \perp d_2 \iff m_1 \times m_2 = -1 \)
(Bir doğru x eksenine paralel (eğimi 0), diğeri y eksenine paralel (eğimi tanımsız) ise bu iki doğru da birbirine diktir.)

Örnek: \( y = 2x + 5 \) doğrusuna paralel olan bir doğrunun eğimi \( 2 \)'dir.
\( y = 2x + 5 \) doğrusuna dik olan bir doğrunun eğimi \( m \)'dir: \( 2 \times m = -1 \implies m = -\frac{1}{2} \).

📝 9. Sınıf Matematik: Doğrusal Denklemler Ve Fonksiyonları Ders Notu

Doğrusal Denklemler Ve Fonksiyonları Ders Notu

1. Doğrusal Denklemler 🔢

1.1. Bir Bilinmeyenli Doğrusal Denklemler

1.2. İki Bilinmeyenli Doğrusal Denklemler

1.3. Doğrusal Denklem Sistemleri 🤝

1.3.1. Yerine Koyma Metodu

1.3.2. Yok Etme Metodu

1.3.3. Grafiksel Çözüm 📈

2. Fonksiyon Kavramı 💡

2.1. Fonksiyon Nedir?

3. Doğrusal Fonksiyonlar 🚀

3.1. Doğrusal Fonksiyon Tanımı ve Gösterimi

3.2. Doğrusal Fonksiyonların Grafikleri 📊

3.2.1. Koordinat Sistemi Hatırlatma

3.2.2. Eksenleri Kesen Noktalar

3.2.3. Orijinden Geçen Doğrular

3.2.4. Eksenlere Paralel Doğrular

3.3. Eğim Nedir? 🤔

3.3.1. Eğim Hesaplama Formülü

3.3.2. Doğrunun Eğiminin Yorumlanması

3.4. Doğru Denklemleri Yazma ✍️

3.4.1. Eğimi ve Bir Noktası Bilinen Doğru Denklemi

3.4.2. İki Noktası Bilinen Doğru Denklemi

3.4.3. Eksenleri Kesen Doğru Denklemi

3.5. Paralel ve Dik Doğruların Eğimleri 📏

1. Doğrusal Denklemler 🔢

1.1. Bir Bilinmeyenli Doğrusal Denklemler

1.2. İki Bilinmeyenli Doğrusal Denklemler

1.3. Doğrusal Denklem Sistemleri 🤝

1.3.1. Yerine Koyma Metodu

1.3.2. Yok Etme Metodu

1.3.3. Grafiksel Çözüm 📈

2. Fonksiyon Kavramı 💡

2.1. Fonksiyon Nedir?

3. Doğrusal Fonksiyonlar 🚀

3.1. Doğrusal Fonksiyon Tanımı ve Gösterimi

3.2. Doğrusal Fonksiyonların Grafikleri 📊

3.2.1. Koordinat Sistemi Hatırlatma

3.2.2. Eksenleri Kesen Noktalar

3.2.3. Orijinden Geçen Doğrular

3.2.4. Eksenlere Paralel Doğrular

3.3. Eğim Nedir? 🤔

3.3.1. Eğim Hesaplama Formülü

3.3.2. Doğrunun Eğiminin Yorumlanması

3.4. Doğru Denklemleri Yazma ✍️

3.4.1. Eğimi ve Bir Noktası Bilinen Doğru Denklemi

3.4.2. İki Noktası Bilinen Doğru Denklemi

3.4.3. Eksenleri Kesen Doğru Denklemi

3.5. Paralel ve Dik Doğruların Eğimleri 📏

İçerik Hazırlanıyor...