Doğru ve üçgende açı Ders Notu

9. Sınıf Matematik: Doğru ve Üçgende Açılar 📐

Bu ders notunda, 9. sınıf matematik müfredatında yer alan doğru ve üçgende açılar konusunu detaylı bir şekilde inceleyeceğiz. Açılar, geometrinin temel taşlarından biridir ve doğru kavramı ile birlikte anlaşılması önemlidir. Konuyu öğrenirken günlük hayattan örnekler ve bolca çözümlü örnek üzerinden ilerleyeceğiz.

Doğru ve Işın Kavramları

Geometride temel kavramlardan biri olan doğru, sonsuz uzayabilen, düz bir çizgi parçasıdır. Doğru üzerinde bulunan herhangi iki nokta arasındaki uzaklık sonsuz değildir. Bir doğruyu iki yönde sonsuza giden noktalar kümesi olarak düşünebiliriz. Işın ise bir başlangıç noktası olan ve diğer yönde sonsuza uzanan noktalar kümesidir.

Açı Nedir?

Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşimi bir açı oluşturur. Bu ışınlara açının kenarları, başlangıç noktasına ise açının köşesi denir. Açılar, ölçülerine göre farklı isimler alırlar:

• Dar Açı: Ölçüsü \( 0^\circ \) ile \( 90^\circ \) arasında olan açılardır.
• Dik Açı: Ölçüsü tam olarak \( 90^\circ \) olan açılardır.
• Geniş Açı: Ölçüsü \( 90^\circ \) ile \( 180^\circ \) arasında olan açılardır.
• Doğru Açı: Ölçüsü tam olarak \( 180^\circ \) olan açılardır. Bir doğru üzerindeki açı doğru açıdır.
• Tam Açı: Ölçüsü tam olarak \( 360^\circ \) olan açılardır. Bir noktanın etrafındaki tam dönüşü temsil eder.

Açılarla İlgili Temel Kavramlar

Açılarla ilgili bazı önemli kavramlar şunlardır:

• Tümler Açılar: Ölçüleri toplamı \( 90^\circ \) olan iki açıya tümler açılar denir.
• Bütünler Açılar: Ölçüleri toplamı \( 180^\circ \) olan iki açıya bütünler açılar denir.

Çözümlü Örnek 1 (Tümler Açılar)

Bir açının tümleri, kendisinden 20 derece fazladır. Bu açının ölçüsü kaç derecedir?

Çözüm:

Açının ölçüsüne \( x \) diyelim.

Tümler açısının ölçüsü \( 90^\circ - x \) olur.

Soruda verilen bilgiye göre, tümler açısı kendisinden 20 derece fazladır:

\[ 90^\circ - x = x + 20^\circ \]

Denklemi çözelim:

\[ 90^\circ - 20^\circ = x + x \] \[ 70^\circ = 2x \] \[ x = \frac{70^\circ}{2} \] \[ x = 35^\circ \]

Bu açının ölçüsü \( 35^\circ \) dir. Tümleri ise \( 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ \) olur. \( 55^\circ = 35^\circ + 20^\circ \) olduğu için çözüm doğrudur.

Çözümlü Örnek 2 (Bütünler Açılar)

Bir açının bütünleri, kendisinin 3 katından 10 derece eksiktir. Bu açının ölçüsü kaç derecedir?

Çözüm:

Açının ölçüsüne \( y \) diyelim.

Bütünler açısının ölçüsü \( 180^\circ - y \) olur.

Soruda verilen bilgiye göre:

\[ 180^\circ - y = 3y - 10^\circ \]

Denklemi çözelim:

\[ 180^\circ + 10^\circ = 3y + y \] \[ 190^\circ = 4y \] \[ y = \frac{190^\circ}{4} \] \[ y = 47.5^\circ \]

Bu açının ölçüsü \( 47.5^\circ \) dir. Bütünleri ise \( 180^\circ - 47.5^\circ = 132.5^\circ \) olur. \( 3 \times 47.5^\circ - 10^\circ = 142.5^\circ - 10^\circ = 132.5^\circ \) olduğu için çözüm doğrudur.

Paralel İki Doğrunun Bir Kesenle Yaptığı Açılar

Geometride önemli bir konu da paralel iki doğrunun bir kesenle oluşturduğu açılardır. Bu açılar arasında özel ilişkiler bulunur:

• Yöndeş Açılar: İki paralel doğruyu kesen bir doğrunun aynı yönlü olan açılarıdır. Yöndeş açıların ölçüleri birbirine eşittir.
• İç Ters Açılar: Paralel doğruların arasında kalan ve kesenin zıt yönlerinde bulunan açılardır. İç ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
• Dış Ters Açılar: Paralel doğruların dışında kalan ve kesenin zıt yönlerinde bulunan açılardır. Dış ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
• Karşı Durumlu Açılar: Paralel doğruların arasında kalan ve kesenin aynı yönünde bulunan açılardır. Karşı durumlu açıların ölçüleri toplamı \( 180^\circ \) dir.

Çözümlü Örnek 3 (Paralel Doğrular ve Kesen)

Birbirine paralel olan d1 ve d2 doğruları, d3 doğrusu ile kesiliyor. d1 doğrusu ile d3 doğrusunun kesişim noktasında oluşan açılardan biri \( 70^\circ \) ise, diğer açılardan bazılarının ölçüsünü bulalım.

Çözüm:

Kesim noktasında oluşan \( 70^\circ \) 'lik açı ile yöndeş olan açı \( 70^\circ \) 'dir.

Bu \( 70^\circ \) 'lik açının bütünleri \( 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \) olur.

Bu \( 110^\circ \) 'lik açı ile iç ters olan açı da \( 110^\circ \) 'dir.

Aynı şekilde, \( 70^\circ \) 'lik açının karşı durumlu açısı \( 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \) olur.

Üçgende Açılar

Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı her zaman \( 180^\circ \) 'dir. Bir üçgenin dış açılarının ölçüleri toplamı ise \( 360^\circ \) 'dir.

Çözümlü Örnek 4 (Üçgenin İç Açıları)

Bir ABC üçgeninde A açısı \( 50^\circ \), B açısı \( 70^\circ \) ise C açısı kaç derecedir?

Çözüm:

Üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \) olduğundan:

\[ m(\hat{A}) + m(\hat{B}) + m(\hat{C}) = 180^\circ \] \[ 50^\circ + 70^\circ + m(\hat{C}) = 180^\circ \] \[ 120^\circ + m(\hat{C}) = 180^\circ \] \[ m(\hat{C}) = 180^\circ - 120^\circ \] \[ m(\hat{C}) = 60^\circ \]

C açısı \( 60^\circ \) 'dir.

Çözümlü Örnek 5 (Üçgenin Dış Açıları)

Bir üçgenin iki dış açısı \( 110^\circ \) ve \( 130^\circ \) ise, üçüncü dış açısı kaç derecedir?

Çözüm:

Üçgenin dış açılarının toplamı \( 360^\circ \) olduğundan:

\[ 110^\circ + 130^\circ + \text{üçüncü dış açı} = 360^\circ \] \[ 240^\circ + \text{üçüncü dış açı} = 360^\circ \] \[ \text{üçüncü dış açı} = 360^\circ - 240^\circ \] \[ \text{üçüncü dış açı} = 120^\circ \]

Üçüncü dış açı \( 120^\circ \) 'dir.

İkizkenar ve Eşkenar Üçgenlerde Açılar

İkizkenar Üçgen: İki kenarı eşit olan üçgenlerdir. Eşit kenarların karşısındaki açılar da birbirine eşittir (taban açıları).

Eşkenar Üçgen: Tüm kenarları eşit olan üçgenlerdir. Tüm iç açıları birbirine eşittir ve her biri \( 60^\circ \) 'dir.

Çözümlü Örnek 6 (İkizkenar Üçgen)

Bir ikizkenar üçgenin tepe açısı \( 80^\circ \) ise, taban açıları kaçar derecedir?

Çözüm:

İkizkenar üçgenin taban açıları eşittir. Bu açılara \( x \) diyelim.

\[ 80^\circ + x + x = 180^\circ \] \[ 80^\circ + 2x = 180^\circ \] \[ 2x = 180^\circ - 80^\circ \] \[ 2x = 100^\circ \] \[ x = 50^\circ \]

Taban açıları \( 50^\circ \) 'dir.