🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Dik Üçgen, Pisagor, Öklid ve Tales Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Dik Üçgen, Pisagor, Öklid ve Tales Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir dik üçgenin dik kenar uzunlukları 6 cm ve 8 cm'dir. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulunuz. 📐
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Pisagor Teoremi'ni kullanacağız.
- Pisagor Teoremi'ne göre, dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir.
- Formül: \( a^2 + b^2 = c^2 \), burada \( a \) ve \( b \) dik kenarlar, \( c \) ise hipotenüstür.
- Verilen dik kenar uzunlukları: \( a = 6 \) cm ve \( b = 8 \) cm.
- Şimdi değerleri formülde yerine koyalım: \( 6^2 + 8^2 = c^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 36 + 64 = c^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 100 = c^2 \)
- Hipotenüs \( c \) 'yi bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım: \( c = \sqrt{100} \)
- Sonuç: \( c = 10 \) cm.
Örnek 2:
Bir dik üçgende hipotenüs 13 birim ve bir dik kenar 5 birimdir. Diğer dik kenarın uzunluğunu bulunuz. 🤔
Çözüm:
Yine Pisagor Teoremi'ni kullanacağız.
- Teorem: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Bu soruda hipotenüs \( c = 13 \) birim ve bir dik kenar \( a = 5 \) birim olarak verilmiş. Diğer dik kenarı \( b \) bulmamız gerekiyor.
- Formülde verilen değerleri yerine yazalım: \( 5^2 + b^2 = 13^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 25 + b^2 = 169 \)
- \( b^2 \) 'yi yalnız bırakmak için 25'i karşıya atalım: \( b^2 = 169 - 25 \)
- Çıkarma işlemini yapalım: \( b^2 = 144 \)
- \( b \) 'yi bulmak için karekök alalım: \( b = \sqrt{144} \)
- Sonuç: \( b = 12 \) birim.
Örnek 3:
Bir inşaat mühendisi, 15 metre yüksekliğindeki bir binanın tepesinden, binanın tabanından 20 metre uzaktaki bir noktaya gergin bir ip bağlamak istiyor. İpin kaç metre olması gerektiğini Pisagor Teoremi'ni kullanarak hesaplayınız. 🏗️
Çözüm:
Bu durum bir dik üçgen oluşturur.
- Dik kenarlar binanın yüksekliği (15 m) ve tabandan uzaklık (20 m)'dir.
- Hipotenüs ise bağlanacak ipin uzunluğudur.
- Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Değerleri yerine koyalım: \( 15^2 + 20^2 = c^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 225 + 400 = c^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 625 = c^2 \)
- Karekök alalım: \( c = \sqrt{625} \)
- Sonuç: \( c = 25 \) metre.
Örnek 4:
Bir ABC dik üçgeninde, \( \angle C = 90^\circ \), \( AC = 8 \) cm ve \( BC = 15 \) cm'dir. Bu üçgenin AB kenarının uzunluğunu bulunuz. 📏
Çözüm:
Bu soruda da Pisagor Teoremi'ni uygulayacağız.
- Dik kenarlar \( AC \) ve \( BC \) 'dir. Hipotenüs ise \( AB \) kenarıdır.
- Teorem: \( (AC)^2 + (BC)^2 = (AB)^2 \)
- Verilen değerleri yerine yazalım: \( 8^2 + 15^2 = (AB)^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 64 + 225 = (AB)^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 289 = (AB)^2 \)
- \( AB \) kenarını bulmak için karekök alalım: \( AB = \sqrt{289} \)
- Sonuç: \( AB = 17 \) cm.
Örnek 5:
Bir dik üçgenin dik kenarları \( x \) cm ve \( 2x \) cm'dir. Hipotenüs uzunluğu \( 5\sqrt{5} \) cm olduğuna göre, \( x \) kaçtır? 🧮
Çözüm:
Yine Pisagor Teoremi'ni kullanacağız.
- Dik kenarlar: \( a = x \) ve \( b = 2x \)
- Hipotenüs: \( c = 5\sqrt{5} \)
- Teorem: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Değerleri yerine koyalım: \( x^2 + (2x)^2 = (5\sqrt{5})^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( x^2 + 4x^2 = 25 \times 5 \)
- Toplamı bulalım: \( 5x^2 = 125 \)
- \( x^2 \) 'yi yalnız bırakalım: \( x^2 = \frac{125}{5} \)
- \( x^2 = 25 \)
- \( x \) 'i bulmak için karekök alalım: \( x = \sqrt{25} \)
- Sonuç: \( x = 5 \)
Örnek 6:
Bir televizyon ekranının köşegen uzunluğu 50 inçtir. Ekranın genişliği 40 inç olduğuna göre, yüksekliğini yaklaşık olarak bulunuz. (Televizyon ekranları genellikle dik üçgen şeklindedir.) 📺
Çözüm:
Bu problemde de Pisagor Teoremi'ni kullanacağız.
- Köşegen, dik üçgenin hipotenüsüdür.
- Verilenler: Hipotenüs \( c = 50 \) inç, Genişlik (bir dik kenar) \( a = 40 \) inç.
- Bulmamız gereken: Yükseklik (diğer dik kenar) \( b \).
- Teorem: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Değerleri yerine koyalım: \( 40^2 + b^2 = 50^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 1600 + b^2 = 2500 \)
- \( b^2 \) 'yi yalnız bırakalım: \( b^2 = 2500 - 1600 \)
- Çıkarma işlemini yapalım: \( b^2 = 900 \)
- \( b \) 'yi bulmak için karekök alalım: \( b = \sqrt{900} \)
- Sonuç: \( b = 30 \) inç.
Örnek 7:
Bir ABC dik üçgeninde \( \angle C = 90^\circ \). CD, AB kenarına ait yüksekliktir. \( AD = 4 \) cm ve \( DB = 9 \) cm olduğuna göre, CD (yükseklik) kaç cm'dir? (Öklid'in Yükseklik Bağıntısı) 🏔️
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Öklid'in Yükseklik Bağıntısı'nı kullanacağız.
- Öklid'in Yükseklik Bağıntısı'na göre, dik üçgende hipotenüse indirilen yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerindeki iki parçanın çarpımına eşittir.
- Formül: \( h^2 = p \times k \), burada \( h \) yükseklik, \( p \) ve \( k \) ise hipotenüs üzerindeki parçalardır.
- Soruda yükseklik \( CD \) (yani \( h \)) ve hipotenüs üzerindeki parçalar \( AD = p = 4 \) cm ve \( DB = k = 9 \) cm olarak verilmiştir.
- Formülde değerleri yerine koyalım: \( (CD)^2 = 4 \times 9 \)
- Çarpımı bulalım: \( (CD)^2 = 36 \)
- \( CD \) 'yi bulmak için karekök alalım: \( CD = \sqrt{36} \)
- Sonuç: \( CD = 6 \) cm.
Örnek 8:
Bir parkta, bir ağacın tepesinden yere dik olarak uzanan bir ip sarkıtılıyor. İpin ucunun yere değdiği nokta, ağacın tam dibinden 12 metre uzaktadır. Eğer ipin uzunluğu 15 metre ise, ağacın boyunu Pisagor Teoremi'ni kullanarak bulunuz. 🌳
Çözüm:
Bu senaryo da bir dik üçgen oluşturur.
- Dik kenarlardan biri ağacın boyu (yükseklik), diğeri ise ipin ucunun ağacın dibinden uzaklığıdır.
- Hipotenüs ise ipin uzunluğudur.
- Verilenler: İp uzunluğu (hipotenüs) \( c = 15 \) metre, Ağacın dibinden uzaklık (bir dik kenar) \( b = 12 \) metre.
- Bulmamız gereken: Ağacın boyu (diğer dik kenar) \( a \).
- Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Değerleri yerine koyalım: \( a^2 + 12^2 = 15^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( a^2 + 144 = 225 \)
- \( a^2 \) 'yi yalnız bırakalım: \( a^2 = 225 - 144 \)
- Çıkarma işlemini yapalım: \( a^2 = 81 \)
- \( a \) 'yı bulmak için karekök alalım: \( a = \sqrt{81} \)
- Sonuç: \( a = 9 \) metre.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-dik-ucgen-pisagor-oklid-ve-tales/sorular