🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Benzerlik, dik üçgen, öklit bağıntıları, pisagor Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Benzerlik, dik üçgen, öklit bağıntıları, pisagor Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde \( AB \perp BC \) ve \( AC \) kenarı üzerindeki bir D noktası için \( BD \perp AC \) çizilmiştir. Eğer \( AD = 4 \) cm ve \( DC = 9 \) cm ise, \( BD \) uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
Bu soru, dik üçgende Öklit bağıntılarından biri olan yükseklik kuralı ile çözülür.
- Öklit'in yükseklik bağıntısı şöyledir: Bir dik üçgende, dik köşeden hipotenüse indirilen dikme, hipotenüsü iki parçaya ayırır. Bu dikmenin uzunluğunun karesi, hipotenüs üzerindeki ayırdığı parçaların uzunlukları çarpımına eşittir.
- Formül olarak: \( h^2 = p \cdot k \) şeklinde ifade edilir. Burada \( h \) yükseklik, \( p \) ve \( k \) ise hipotenüs üzerindeki parçalardır.
- Soruda verilenlere göre, \( AD = 4 \) cm ve \( DC = 9 \) cm'dir. Bizim bulmamız gereken \( BD \) uzunluğudur.
- Bu durumda, \( BD^2 = AD \cdot DC \) olacaktır.
- Değerleri yerine koyarsak: \( BD^2 = 4 \cdot 9 \)
- \( BD^2 = 36 \)
- Her iki tarafın karekökünü alırsak: \( BD = \sqrt{36} \)
- Sonuç olarak: \( BD = 6 \) cm bulunur. 💡
Örnek 2:
Kenar uzunlukları 5 cm, 12 cm ve 13 cm olan bir dik üçgenin alanı kaç santimetrekaredir?
Çözüm:
Pisagor bağıntısını sağlayan üçgenler dik üçgenlerdir. Bu üçgende en uzun kenar hipotenüstür.
- Dik üçgenin alan formülü: \( \text{Alan} = \frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik} \)
- Dik üçgenlerde dik kenarlar birbirinin tabanı ve yüksekliği olarak kabul edilebilir.
- Verilen kenar uzunlukları 5 cm, 12 cm ve 13 cm'dir. En uzun kenar olan 13 cm hipotenüstür.
- Dik kenarlarımız 5 cm ve 12 cm'dir.
- Alanı hesaplamak için bu iki kenarı kullanırız: \( \text{Alan} = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 \)
- \( \text{Alan} = \frac{1}{2} \times 60 \)
- \( \text{Alan} = 30 \) cm² bulunur. ✅
Örnek 3:
İki benzer üçgenin karşılıklı kenar uzunlukları oranı 3/5'tir. Küçük üçgenin çevresi 24 cm ise, büyük üçgenin çevresi kaç cm'dir?
Çözüm:
Benzer üçgenlerde kenar uzunlukları oranı ile çevre uzunlukları oranı birbirine eşittir.
- Benzerlik oranı \( k = \frac{\text{Küçük Üçgen Kenarı}}{\text{Büyük Üçgen Kenarı}} = \frac{3}{5} \) olarak verilmiştir.
- Benzerlik oranı aynı zamanda çevreler oranıdır: \( k = \frac{\text{Küçük Üçgen Çevresi}}{\text{Büyük Üçgen Çevresi}} \)
- Küçük üçgenin çevresi 24 cm olarak verilmiş. Büyük üçgenin çevresini bulmak istiyoruz.
- Denklemimiz: \( \frac{3}{5} = \frac{24}{\text{Büyük Üçgen Çevresi}} \)
- İçler dışlar çarpımı yaparsak: \( 3 \times \text{Büyük Üçgen Çevresi} = 5 \times 24 \)
- \( 3 \times \text{Büyük Üçgen Çevresi} = 120 \)
- Her iki tarafı 3'e bölersek: \( \text{Büyük Üçgen Çevresi} = \frac{120}{3} \)
- Sonuç olarak: \( \text{Büyük Üçgen Çevresi} = 40 \) cm bulunur. 📏
Örnek 4:
Bir dik üçgende dik kenarlar 6 cm ve 8 cm'dir. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Pisagor teoremini kullanacağız. Pisagor teoremi, dik üçgenlerde dik kenarların karelerinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu belirtir.
- Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Burada \( a \) ve \( b \) dik kenar uzunlukları, \( c \) ise hipotenüs uzunluğudur.
- Verilen dik kenar uzunlukları: \( a = 6 \) cm ve \( b = 8 \) cm.
- Değerleri formülde yerine koyalım: \( 6^2 + 8^2 = c^2 \)
- \( 36 + 64 = c^2 \)
- \( 100 = c^2 \)
- Hipotenüs uzunluğunu bulmak için her iki tarafın karekökünü alırız: \( c = \sqrt{100} \)
- Sonuç olarak: \( c = 10 \) cm bulunur. 📐
Örnek 5:
Bir inşaat mühendisi, bir binanın yüksekliğini ölçmek için gölgesini kullanıyor. Mühendisin boyu 1.8 metre ve gölgesi 2.4 metredir. Aynı anda, binanın gölgesi 36 metre olarak ölçülüyor. Buna göre, binanın yüksekliği kaç metredir?
Çözüm:
Bu problem, benzer üçgenler prensibi kullanılarak çözülebilir. Güneş ışınlarının aynı açıyla geldiği varsayılarak, mühendis ve binanın oluşturduğu dik üçgenler benzerdir.
- Benzer üçgenlerde, karşılıklı kenarların oranları eşittir.
- Mühendisin boyu (yükseklik) ve gölgesi bir dik üçgen oluşturur. Bina ve gölgesi de benzer bir dik üçgen oluşturur.
- Benzerlik oranı: \( \frac{\text{Mühendisin Boyu}}{\text{Mühendisin Gölgesi}} = \frac{\text{Binanın Yüksekliği}}{\text{Binanın Gölgesi}} \)
- Verilen değerler: Mühendisin boyu = 1.8 m, Mühendisin gölgesi = 2.4 m, Binanın gölgesi = 36 m. Binanın yüksekliğini \( h \) ile gösterelim.
- Orantıyı kuralım: \( \frac{1.8}{2.4} = \frac{h}{36} \)
- İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 2.4 \times h = 1.8 \times 36 \)
- \( 2.4 \times h = 64.8 \)
- Binanın yüksekliğini bulmak için her iki tarafı 2.4'e bölelim: \( h = \frac{64.8}{2.4} \)
- \( h = 27 \) metre bulunur. 🏢
Örnek 6:
Bir çiftçi, tarlasının köşesine yerleştirdiği 3 metrelik bir direğin gölgesinin 4 metre olduğunu ölçüyor. Aynı anda, tarlasının en uzun kenarının gölgesi 16 metre olarak ölçülüyor. Tarlasının en uzun kenarının gerçek uzunluğu kaç metredir?
Çözüm:
Bu durum, benzerlik prensibi ile açıklanabilir. Güneşin konumu aynı olduğu için, direğin ve tarlanın oluşturduğu dik üçgenler benzerdir.
- Benzerlik oranını kullanarak tarlanın gerçek uzunluğunu bulabiliriz.
- Oran: \( \frac{\text{Direğin Yüksekliği}}{\text{Direğin Gölgesi}} = \frac{\text{Tarlanın Uzunluğu}}{\text{Tarlanın Gölgesi}} \)
- Verilenler: Direğin yüksekliği = 3 m, Direğin gölgesi = 4 m, Tarlanın gölgesi = 16 m. Tarlanın uzunluğunu \( L \) ile gösterelim.
- Denklemi kuralım: \( \frac{3}{4} = \frac{L}{16} \)
- İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 4 \times L = 3 \times 16 \)
- \( 4 \times L = 48 \)
- Tarlanın uzunluğunu bulmak için her iki tarafı 4'e bölelim: \( L = \frac{48}{4} \)
- Sonuç olarak: \( L = 12 \) metre bulunur. 🌾
Örnek 7:
Bir ABC dik üçgeninde, \( \angle B = 90^\circ \). \( AC \) kenarına ait yükseklik \( BD \) dir. Eğer \( AB = 6 \) cm ve \( BC = 8 \) cm ise, \( AD \) uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için hem Pisagor teoremini hem de Öklit bağıntılarını kullanabiliriz.
- Önce Pisagor teoremi ile hipotenüs \( AC \) uzunluğunu bulalım: \( AC^2 = AB^2 + BC^2 \)
- \( AC^2 = 6^2 + 8^2 \)
- \( AC^2 = 36 + 64 \)
- \( AC^2 = 100 \)
- \( AC = \sqrt{100} = 10 \) cm.
- Şimdi Öklit'in \( AB^2 = AD \cdot AC \) bağıntısını kullanalım.
- Verilenler: \( AB = 6 \) cm ve \( AC = 10 \) cm. \( AD \) uzunluğunu bulmak istiyoruz.
- \( 6^2 = AD \cdot 10 \)
- \( 36 = AD \cdot 10 \)
- \( AD = \frac{36}{10} \)
- \( AD = 3.6 \) cm bulunur. 👉
Örnek 8:
Birbirine benzer iki dik üçgen verilmiştir. Küçük üçgenin dik kenarları 3 cm ve 4 cm'dir. Büyük üçgenin hipotenüsü 20 cm ise, küçük üçgenin hipotenüsü kaç cm'dir?
Çözüm:
Bu problemde benzerlik oranını kullanarak çözüme ulaşacağız.
- Öncelikle küçük üçgenin hipotenüsünü Pisagor teoremi ile bulalım: \( c^2 = 3^2 + 4^2 \)
- \( c^2 = 9 + 16 \)
- \( c^2 = 25 \)
- \( c = \sqrt{25} = 5 \) cm.
- Şimdi benzerlik oranını kurabiliriz. Benzerlik oranı, karşılıklı kenarların oranıdır.
- Oran \( k = \frac{\text{Küçük Üçgen Hipotenüsü}}{\text{Büyük Üçgen Hipotenüsü}} \)
- \( k = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \)
- Bu oran, küçük üçgenin tüm kenarlarının büyük üçgenin karşılık gelen kenarlarına oranını verir.
- Soruda küçük üçgenin hipotenüsü soruluyor, bu zaten hesapladığımız 5 cm'dir. Eğer büyük üçgenin dik kenarları sorulsaydı, bu oranı kullanırdık.
- Küçük üçgenin hipotenüsü 5 cm'dir. 💡
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-benzerlik-dik-ucgen-oklit-bagintilari-pisagor/sorular