🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Algoritmik yapılar içerisinde mantık bağlaçları Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Algoritmik yapılar içerisinde mantık bağlaçları Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir bilgisayar programında tanımlanan p ve q önermeleri şu şekildedir:
p: "Sisteme girilen \( x \) sayısı çifttir."
q: "Sisteme girilen \( x \) sayısı 10'dan küçüktür."
Buna göre, programın "Geçerli Sayı" uyarısı vermesi için \( p \wedge q \) bileşik önermesinin doğru olması gerekmektedir. Sisteme \( x = 8 \) değeri girildiğinde programın çıktısı ne olur? 💻
p: "Sisteme girilen \( x \) sayısı çifttir."
q: "Sisteme girilen \( x \) sayısı 10'dan küçüktür."
Buna göre, programın "Geçerli Sayı" uyarısı vermesi için \( p \wedge q \) bileşik önermesinin doğru olması gerekmektedir. Sisteme \( x = 8 \) değeri girildiğinde programın çıktısı ne olur? 💻
Çözüm:
Adım adım çözümleyelim:
- Öncelikle verilen \( x = 8 \) değeri için önermelerin doğruluk değerlerini bulalım.
- p önermesi: "8 sayısı çifttir." Bu ifade doğru olduğu için \( p \equiv 1 \) olur.
- q önermesi: "8 sayısı 10'dan küçüktür." Bu ifade de doğru olduğu için \( q \equiv 1 \) olur.
- Algoritma \( p \wedge q \) bağlacını kontrol etmektedir.
- Değerleri yerine koyduğumuzda: \( 1 \wedge 1 \equiv 1 \) sonucuna ulaşırız.
- ✅ Sonuç 1 (Doğru) olduğu için program "Geçerli Sayı" uyarısı verir.
Örnek 2:
Bir akıllı ev sisteminde lambaların yanması için hazırlanan algoritma şu mantıksal kurala bağlanmıştır:
\( (p \vee q) \wedge r' \)
Burada:
p: "Hava karanlıktır."
q: "Evde hareket vardır."
r: "Gece modu kapalıdır."
Havanın karanlık olduğu (\( p \equiv 1 \)), evde hareketin olmadığı (\( q \equiv 0 \)) ve gece modunun kapalı olduğu (\( r \equiv 0 \)) bir durumda lambalar yanar mı? 💡
\( (p \vee q) \wedge r' \)
Burada:
p: "Hava karanlıktır."
q: "Evde hareket vardır."
r: "Gece modu kapalıdır."
Havanın karanlık olduğu (\( p \equiv 1 \)), evde hareketin olmadığı (\( q \equiv 0 \)) ve gece modunun kapalı olduğu (\( r \equiv 0 \)) bir durumda lambalar yanar mı? 💡
Çözüm:
Verilen doğruluk değerlerini algoritmik yapıda yerine koyalım:
- Verilenler: \( p \equiv 1 \), \( q \equiv 0 \), \( r \equiv 0 \).
- Öncelikle \( r' \) (r'nin değili) değerini bulalım: \( r \equiv 0 \) ise \( r' \equiv 1 \) olur.
- Algoritma: \( (p \vee q) \wedge r' \)
- Değerleri yerleştirelim: \( (1 \vee 0) \wedge 1 \)
- Parantez içindeki "veya" (\( \vee \)) işlemini yapalım: \( 1 \vee 0 \equiv 1 \).
- Şimdi "ve" (\( \wedge \)) işlemini yapalım: \( 1 \wedge 1 \equiv 1 \).
- ✅ Sonuç 1 çıktığı için lambalar yanar.
Örnek 3:
Bir bankamatik (ATM) cihazı, para çekme işlemi için şu mantıksal şartı kontrol etmektedir:
"Kart şifresi doğrudur (\( p \)) VE (Hesap bakiyesi yeterlidir (\( q \)) VEYA Ek hesap limiti uygundur (\( r \)))"
Bir kullanıcı şifresini doğru girmiş, ancak ana hesap bakiyesi yetersizdir. Kullanıcının ek hesap limiti ise uygundur. Bu durumda ATM para verir mi? Mantıksal sembollerle ifade ederek çözünüz. 💳
"Kart şifresi doğrudur (\( p \)) VE (Hesap bakiyesi yeterlidir (\( q \)) VEYA Ek hesap limiti uygundur (\( r \)))"
Bir kullanıcı şifresini doğru girmiş, ancak ana hesap bakiyesi yetersizdir. Kullanıcının ek hesap limiti ise uygundur. Bu durumda ATM para verir mi? Mantıksal sembollerle ifade ederek çözünüz. 💳
Çözüm:
Algoritmayı mantıksal sembollerle ifade edelim ve değerleri atayalım:
- Mantıksal Yapı: \( p \wedge (q \vee r) \)
- Kullanıcının durumu:
- \( p \equiv 1 \) (Şifre doğru)
- \( q \equiv 0 \) (Bakiye yetersiz)
- \( r \equiv 1 \) (Ek hesap uygun)
- Şimdi bu değerleri formülde yerine yazalım:
- \( 1 \wedge (0 \vee 1) \)
- Parantez içi: \( 0 \vee 1 \equiv 1 \)
- İşlemin sonucu: \( 1 \wedge 1 \equiv 1 \)
- ✅ Sonuç 1 olduğu için ATM para verir.
Örnek 4:
Bir robotun labirentte ilerlemesi için tasarlanan bir kod bloğunda şu koşul yer almaktadır:
EĞER \( (a > 5) \Rightarrow (b = 2) \) İSE "Sağa Dön", DEĞİLSE "Sola Dön".
Sisteme \( a = 6 \) ve \( b = 3 \) değerleri girildiğinde robot hangi yöne döner? 🤖
EĞER \( (a > 5) \Rightarrow (b = 2) \) İSE "Sağa Dön", DEĞİLSE "Sola Dön".
Sisteme \( a = 6 \) ve \( b = 3 \) değerleri girildiğinde robot hangi yöne döner? 🤖
Çözüm:
İse (\( \Rightarrow \)) bağlacının kuralını hatırlayalım ve değerleri inceleyelim:
- \( a = 6 \) için \( a > 5 \) önermesi doğrudur (\( 1 \)).
- \( b = 3 \) için \( b = 2 \) önermesi yanlıştır (\( 0 \)).
- Koşul yapısı: \( 1 \Rightarrow 0 \) şekline dönüşür.
- İse bağlacında \( 1 \Rightarrow 0 \equiv 0 \) olduğunu biliyoruz.
- Koşul 0 (yanlış) çıktığı için "EĞER" kısmı değil, "DEĞİLSE" kısmı çalışır.
- 👉 Bu durumda robot Sola Dön komutunu uygular.
Örnek 5:
Bir e-ticaret sitesi, kargo bedava kampanyası için şu şartı belirlemiştir:
\( p \underline{\vee} q \)
p: "Alışveriş tutarı 500 TL üzerindedir."
q: "Kullanıcı premium üyedir."
Sitede "Ya da" (\( \underline{\vee} \)) bağlacı kullanıldığına göre, kargonun bedava olması için hangi durumlar gerçekleşmelidir? 📦
\( p \underline{\vee} q \)
p: "Alışveriş tutarı 500 TL üzerindedir."
q: "Kullanıcı premium üyedir."
Sitede "Ya da" (\( \underline{\vee} \)) bağlacı kullanıldığına göre, kargonun bedava olması için hangi durumlar gerçekleşmelidir? 📦
Çözüm:
"Ya da" (\( \underline{\vee} \)) bağlacının doğruluk tablosu özelliklerini kullanarak durumu analiz edelim:
- \( p \underline{\vee} q \) bileşik önermesinin doğru (\( 1 \)) olması için bileşenlerden sadece birinin doğru olması gerekir.
- Durum 1: Alışveriş 500 TL üzerindedir (\( p \equiv 1 \)) VE kullanıcı premium üye değildir (\( q \equiv 0 \)). Bu durumda kargo bedava olur.
- Durum 2: Alışveriş 500 TL altında veya eşittir (\( p \equiv 0 \)) VE kullanıcı premium üyedir (\( q \equiv 1 \)). Bu durumda kargo bedava olur.
- ⚠️ Eğer her iki durum da doğruysa (\( 1 \underline{\vee} 1 \equiv 0 \)) veya her iki durum da yanlışsa (\( 0 \underline{\vee} 0 \equiv 0 \)) kargo bedava olmaz.
Örnek 6:
Bir yazılımda kullanılan \( f(x, y) \) fonksiyonu şu mantıksal kurala göre çıktı vermektedir:
\( f(x, y) = (x \Leftrightarrow y) \wedge x' \)
Buna göre, \( x = 0 \) ve \( y = 0 \) değerleri için fonksiyonun üreteceği doğruluk değeri nedir? 🔍
\( f(x, y) = (x \Leftrightarrow y) \wedge x' \)
Buna göre, \( x = 0 \) ve \( y = 0 \) değerleri için fonksiyonun üreteceği doğruluk değeri nedir? 🔍
Çözüm:
Verilen değerleri adım adım algoritmik yapıda yerine koyalım:
- Verilenler: \( x \equiv 0 \), \( y \equiv 0 \).
- Öncelikle \( x' \) değerini bulalım: \( x \equiv 0 \) ise \( x' \equiv 1 \).
- Fonksiyon yapısı: \( (0 \Leftrightarrow 0) \wedge 1 \)
- Ancak ve ancak (\( \Leftrightarrow \)) bağlacında her iki taraf aynı ise sonuç 1 olur: \( 0 \Leftrightarrow 0 \equiv 1 \).
- Şimdi kalan işlemi yapalım: \( 1 \wedge 1 \).
- Ve (\( \wedge \)) bağlacı kuralına göre: \( 1 \wedge 1 \equiv 1 \).
- ✅ Fonksiyonun üreteceği sonuç 1 olur.
Örnek 7:
Bir okulun giriş kapısındaki turnike sistemi şu mantıkla çalışmaktadır:
"Öğrenci kartı okutulmuş (\( p \)) ANCAK VE ANCAK okul saatleri içerisindeyiz (\( q \))"
Bir öğrenci sabah saat 10:00'da (okul saatleri içinde) kartını okutursa turnike açılır mı? Eğer kartını okutmazsa ne olur? 🏫
"Öğrenci kartı okutulmuş (\( p \)) ANCAK VE ANCAK okul saatleri içerisindeyiz (\( q \))"
Bir öğrenci sabah saat 10:00'da (okul saatleri içinde) kartını okutursa turnike açılır mı? Eğer kartını okutmazsa ne olur? 🏫
Çözüm:
Mantıksal yapıyı \( p \Leftrightarrow q \) olarak kuralım:
- Durum 1: Kart okutuldu (\( p \equiv 1 \)) ve saat uygun (\( q \equiv 1 \)).
- \( 1 \Leftrightarrow 1 \equiv 1 \). Turnike açılır.
- Durum 2: Kart okutulmadı (\( p \equiv 0 \)) ve saat uygun (\( q \equiv 1 \)).
- \( 0 \Leftrightarrow 1 \equiv 0 \). Turnike açılmaz.
- Durum 3: Kart okutulmadı (\( p \equiv 0 \)) ve saat uygun değil (\( q \equiv 0 \)).
- \( 0 \Leftrightarrow 0 \equiv 1 \). Bu mantıksal bir sonuçtur ancak turnike mekanizması fiziksel olarak sadece \( p=1 \) durumunda tetiklenecek şekilde tasarlanır. Matematiksel mantıkta ise iki yanlış bir doğru eder.
Örnek 8:
Bir veri sıralama algoritmasında iki sayı (\( a \) ve \( b \)) karşılaştırılıyor.
Koşul: \( (a < b) \vee (a = b) \)
Bu koşul sağlandığında algoritma "Küçük veya Eşit" sonucunu döndürüyor. Bu mantıksal yapının tek bir sembolle gösterimi nedir ve \( a = 10 \), \( b = 10 \) için sonuç ne olur? 📊
Koşul: \( (a < b) \vee (a = b) \)
Bu koşul sağlandığında algoritma "Küçük veya Eşit" sonucunu döndürüyor. Bu mantıksal yapının tek bir sembolle gösterimi nedir ve \( a = 10 \), \( b = 10 \) için sonuç ne olur? 📊
Çözüm:
Mantıksal ve matematiksel analizi yapalım:
- \( (a < b) \vee (a = b) \) ifadesi matematiksel olarak \( a \leq b \) sembolü ile gösterilir.
- Değerleri yerine koyalım: \( a = 10 \) ve \( b = 10 \).
- \( 10 < 10 \) ifadesi yanlıştır (\( 0 \)).
- \( 10 = 10 \) ifadesi doğrudur (\( 1 \)).
- Bağlacı uygulayalım: \( 0 \vee 1 \equiv 1 \).
- ✅ Sonuç 1 olduğu için algoritma "Küçük veya Eşit" sonucunu döndürür.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-algoritmik-yapilar-icerisinde-mantik-baglaclari/sorular