🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Açıortay Soruları Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Açıortay Soruları Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde \( \angle ABC = 60^\circ \) ve \( \angle BAC = 80^\circ \) olarak verilmiştir. BD, \( \angle ABC \) açısının açıortayı olduğuna göre, \( \angle ABD \) kaç derecedir? 💡
Çözüm:
- Açıortay, bir açıyı iki eş parçaya bölen ışındır.
- Verilen \( \angle ABC = 60^\circ \) açısının açıortayı BD'dir.
- Bu durumda \( \angle ABD = \angle DBC \) olur.
- \( \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC \)
- \( 60^\circ = \angle ABD + \angle ABD \)
- \( 60^\circ = 2 \times \angle ABD \)
- \( \angle ABD = \frac{60^\circ}{2} \)
- \( \angle ABD = 30^\circ \) ✅
Örnek 2:
Bir \( \triangle ABC \) üçgeninde AC kenarına ait açıortay, bu kenarı D noktasında kesmektedir. Eğer \( \angle BAC = 50^\circ \) ve \( \angle ABC = 70^\circ \) ise, \( \angle ADC \) kaç derecedir? 🤔
Çözüm:
- Öncelikle \( \triangle ABC \) üçgeninin \( \angle ACB \) açısını bulalım.
- Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan:
- \( \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ \)
- \( 50^\circ + 70^\circ + \angle ACB = 180^\circ \)
- \( 120^\circ + \angle ACB = 180^\circ \)
- \( \angle ACB = 180^\circ - 120^\circ \)
- \( \angle ACB = 60^\circ \)
- AD, \( \angle BAC \) açısının açıortayıdır.
- \( \angle BAD = \angle CAD = \frac{50^\circ}{2} = 25^\circ \)
- Şimdi \( \triangle ADC \) üçgenine bakalım.
- \( \angle ADC \) açısını bulmak için \( \triangle ADC \) iç açıları toplamını kullanabiliriz.
- \( \angle CAD + \angle ACD + \angle ADC = 180^\circ \)
- \( 25^\circ + 60^\circ + \angle ADC = 180^\circ \)
- \( 85^\circ + \angle ADC = 180^\circ \)
- \( \angle ADC = 180^\circ - 85^\circ \)
- \( \angle ADC = 95^\circ \) ✅
Örnek 3:
Bir \( \triangle ABC \) üçgeninde, A köşesinden çizilen açıortay BC kenarını D noktasında kesiyor. \( AB = 6 \) cm, \( AC = 9 \) cm ve \( BC = 10 \) cm olarak verilmiştir. BD uzunluğu kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
- Açıortay teoremi gereğince, bir üçgende bir köşeden çizilen açıortay, karşı kenarı, o kenarın komşu iki kenarıyla orantılı olarak böler.
- \( \triangle ABC \) üçgeninde AD açıortay olduğundan, açıortay teoremi şöyledir:
- \( \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} \)
- Verilen değerleri yerine koyalım:
- \( \frac{6}{9} = \frac{BD}{DC} \)
- Bu oranı sadeleştirelim: \( \frac{2}{3} = \frac{BD}{DC} \)
- Yani, \( BD = 2k \) ve \( DC = 3k \) diyebiliriz.
- BC kenarının uzunluğu \( BD + DC \) olduğundan:
- \( BC = BD + DC = 2k + 3k = 5k \)
- Bize \( BC = 10 \) cm olarak verilmişti.
- \( 5k = 10 \) cm
- \( k = \frac{10}{5} = 2 \) cm
- Şimdi BD uzunluğunu bulabiliriz:
- \( BD = 2k = 2 \times 2 = 4 \) cm ✅
Örnek 4:
Bir \( \triangle ABC \) üçgeninde, B köşesinden çizilen açıortay AC kenarını D noktasında kesiyor. \( AD = 5 \) cm, \( DC = 7 \) cm ve \( AB = 10 \) cm olarak verilmiştir. BC kenarının uzunluğu kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
- Yine açıortay teoremini kullanacağız.
- \( \triangle ABC \) üçgeninde BD, \( \angle ABC \) açısının açıortayıdır.
- Açıortay teoremi: \( \frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DC} \)
- Verilen değerleri yerine koyalım:
- \( \frac{10}{BC} = \frac{5}{7} \)
- Bu denklemde BC'yi bulmak için içler dışlar çarpımı yapabiliriz:
- \( 10 \times 7 = BC \times 5 \)
- \( 70 = 5 \times BC \)
- \( BC = \frac{70}{5} \)
- \( BC = 14 \) cm ✅
Örnek 5:
Bir parkta, O noktasında kesişen iki yol bulunmaktadır. Bu yollar arasında kalan \( \angle AOB \) açısının tam ortasından geçen bir yürüyüş yolu yapılması planlanmaktadır. Eğer \( \angle AOC = 130^\circ \) ve \( \angle BOC = 110^\circ \) ise, yeni yapılacak yürüyüş yolu ile OA yolu arasındaki açının ölçüsü kaç derecedir? (Not: A, O, C noktaları bir doğru üzerindedir.) 🌳
Çözüm:
- Soruda A, O, C noktalarının bir doğru üzerinde olduğu belirtilmiş. Bu, \( \angle AOC \) 'nin bir doğru açı olduğunu gösterir.
- Doğru açı \( 180^\circ \) dir. Ancak soruda \( \angle AOC = 130^\circ \) verilmiş. Bu durumda A, O, C noktaları bir doğru üzerinde değil, O noktasında birleşen ve aralarında \( 130^\circ \) açı olan iki ışın olarak düşünülmelidir. Sorunun ifade biçiminde bir tutarsızlık olabilir, ancak verilen açı değerlerini esas alarak devam edelim.
- Eğer A, O, C bir doğru üzerinde ise, \( \angle AOC = 180^\circ \) olmalıydı. Sorudaki \( \angle AOC = 130^\circ \) ifadesi, O noktasından çıkan OC ve OA ışınları arasındaki açıyı temsil ediyor olabilir.
- Soruyu şu şekilde yorumlayalım: O noktasında birleşen OA, OB ve OC ışınları var.
- \( \angle AOC = 130^\circ \) ve \( \angle BOC = 110^\circ \) olarak verilmiş.
- Eğer C noktası A ve B arasında ise, \( \angle AOB = \angle AOC + \angle COB \) olurdu.
- Eğer B noktası A ve C arasında ise, \( \angle AOC = \angle AOB + \angle BOC \) olurdu.
- Verilen açılar \( 130^\circ \) ve \( 110^\circ \) olduğundan, \( \angle AOB \) 'nin bu iki açıdan biriyle ilişkili olduğunu düşünebiliriz.
- Sorunun "A, O, C noktaları bir doğru üzerindedir" ifadesi kafa karıştırıcı. Eğer bu doğru ise, \( \angle AOC = 180^\circ \) olmalı.
- Soruyu, O noktasında kesişen üç farklı yol (OA, OB, OC) olarak ele alalım ve A, O, C'nin bir doğru üzerinde olma durumu yerine, O noktasının etrafındaki açıları değerlendirelim.
- Eğer A, O, C bir doğru üzerinde olsaydı, \( \angle AOC = 180^\circ \) olurdu. Ancak \( \angle AOC = 130^\circ \) verilmiş. Bu durumda A, O, C bir doğru üzerinde değil.
- Sorunun asıl amacı, O noktasındaki tam açıyı ( \( 360^\circ \) ) kullanarak \( \angle AOB \) 'yi bulmak ve sonra açıortayını hesaplamak olabilir.
- Eğer A, O, C bir doğru üzerinde ise ve \( \angle AOC = 130^\circ \) ise, bu bir çelişkidir.
- Soruyu şu şekilde revize edelim: O noktasında birleşen OA ve OC ışınları arasında \( 130^\circ \) açı vardır. OB ışını bu iki ışının arasında yer almaktadır.
- Eğer OB ışını, OA ve OC ışınlarının arasında ise, \( \angle AOC = \angle AOB + \angle BOC \) olmalıdır.
- \( 130^\circ = \angle AOB + 110^\circ \)
- \( \angle AOB = 130^\circ - 110^\circ = 20^\circ \)
- Bu durumda \( \angle AOB = 20^\circ \) olur.
- Yürüyüş yolu, \( \angle AOB \) açısının açıortayı ise, bu açıyı ikiye böler.
- Açıortayın OA yolu ile yaptığı açı \( \frac{\angle AOB}{2} \) olur.
- \( \frac{20^\circ}{2} = 10^\circ \) ✅
- Not: Sorunun orijinal metnindeki "A, O, C noktaları bir doğru üzerindedir" ifadesi, verilen \( \angle AOC = 130^\circ \) ile çelişmektedir. Yukarıdaki çözüm, bu çelişkiyi göz ardı ederek verilen açı değerlerini kullanarak mantıksal bir çıkarım yapmaya çalışmıştır. Eğer A, O, C bir doğru üzerinde olsaydı, \( \angle AOC = 180^\circ \) olmalıydı ve \( \angle AOB + \angle BOC = 180^\circ \) ilişkisi kurulurdu.
Örnek 6:
Bir el fenerinden çıkan ışık huzmesi, bir duvar üzerinde \( \angle ABC \) açısı oluşturmaktadır. Bu ışık huzmesinin tam ortasına bir ayna yerleştirilerek ışığın yansıması sağlanacaktır. Eğer \( \angle ABC = 70^\circ \) ise, yansıyan ışık huzmesi ile AB yolu arasındaki açı kaç derece olur? 🔦
Çözüm:
- El fenerinden çıkan ışık huzmesi AB yolunu, yansıyan ışık huzmesi ise BC yolunu temsil etsin.
- Oluşan \( \angle ABC = 70^\circ \) açısı, el fenerinden çıkan ışığın duvar üzerindeki yayılımını gösterir.
- Aynanın, bu açının tam ortasına yerleştirilmesi, aynanın \( \angle ABC \) açısının açıortayı üzerinde olduğunu gösterir.
- Açıortay, açıyı iki eşit parçaya böler.
- Bu durumda, \( \angle ABC \) açısı ikiye bölünecektir.
- Yansıyan ışık huzmesi ile AB yolu arasındaki açı, \( \angle ABC \) açısının yarısına eşit olacaktır.
- Açıortayın oluşturduğu açılardan biri \( \frac{\angle ABC}{2} \) olur.
- \( \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ \)
- Yani yansıyan ışık huzmesi ile AB yolu arasındaki açı \( 35^\circ \) olur. ✅
Örnek 7:
Bir robot, bir kare şeklindeki pistte hareket etmektedir. Robotun başlangıç noktası P'dir. Robot, pistin kenarları boyunca ilerleyerek önce A noktasına, sonra B noktasına ve son olarak C noktasına ulaşmaktadır. \( \angle APB = 45^\circ \) ve \( \angle BPC = 45^\circ \) olarak verilmiştir. Robotun P noktasından başlayıp A noktasına doğru ilerlediği yol ile P noktasından başlayıp C noktasına doğru ilerlediği yol arasındaki açı kaç derecedir? 🤖
Çözüm:
- Bu soruda bir kare pist ve robotun hareket yolları söz konusu.
- Kare pistin köşeleri A, B, C, D olsun.
- Robotun başlangıç noktası P, pistin içinde bir noktadır.
- Robot P'den A'ya, sonra A'dan B'ye, sonra B'den C'ye hareket ediyor.
- Soruda verilen \( \angle APB = 45^\circ \) ve \( \angle BPC = 45^\circ \) bilgileri, P noktasının A ve B köşeleriyle, B ve C köşeleriyle oluşturduğu açılardır.
- Bu iki açı yan yana olduğundan, \( \angle APC = \angle APB + \angle BPC \) olur.
- \( \angle APC = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ \)
- Soruda, robotun P noktasından başlayıp A noktasına doğru ilerlediği yol (PA doğrusu) ile P noktasından başlayıp C noktasına doğru ilerlediği yol (PC doğrusu) arasındaki açı soruluyor.
- Bu, bulduğumuz \( \angle APC \) açısının ölçüsüne eşittir.
- Yani, PA yolu ile PC yolu arasındaki açı \( 90^\circ \) dir. ✅
- Ek Bilgi: Eğer P noktası karenin merkezi olsaydı ve A, B, C ardışık köşeler olsaydı, \( \angle APB \) ve \( \angle BPC \) açıları \( 90^\circ \) olurdu. Soruda \( 45^\circ \) verilmesi, P'nin pistin içinde özel bir noktada olduğunu gösterir.
Örnek 8:
Bir \( \triangle XYZ \) üçgeninde \( \angle X = 70^\circ \) ve \( \angle Y = 50^\circ \) olarak verilmiştir. Y köşesinden çizilen açıortay, XZ kenarını K noktasında kesmektedir. \( \angle XYK \) kaç derecedir? 📐
Çözüm:
- Bir \( \triangle XYZ \) üçgeninde, Y köşesinden çizilen açıortay, \( \angle XYZ \) açısını iki eşit parçaya böler.
- Bu açıortay, \( \angle XYK \) ve \( \angle KYZ \) açılarını oluşturur.
- \( \angle XYK = \angle KYZ \)
- Öncelikle \( \angle XYZ \) açısını bulalım.
- Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan:
- \( \angle X + \angle Y + \angle Z = 180^\circ \)
- \( 70^\circ + 50^\circ + \angle Z = 180^\circ \)
- \( 120^\circ + \angle Z = 180^\circ \)
- \( \angle Z = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \)
- Şimdi \( \angle XYZ \) açısını bulalım:
- \( \angle Y = \angle XYZ = 50^\circ \)
- YK, \( \angle XYZ \) açısının açıortayı olduğundan:
- \( \angle XYK = \frac{\angle XYZ}{2} \)
- \( \angle XYK = \frac{50^\circ}{2} \)
- \( \angle XYK = 25^\circ \) ✅
Örnek 9:
Bir \( \triangle KLM \) üçgeninde, K köşesinden çizilen açıortay LM kenarını N noktasında kesiyor. \( KN \) uzunluğu \( 8 \) cm, \( LN \) uzunluğu \( 6 \) cm ve \( KL \) uzunluğu \( 10 \) cm olarak verilmiştir. \( KM \) uzunluğu kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
- Bu soruda da açıortay teoremini kullanacağız.
- \( \triangle KLM \) üçgeninde KN, \( \angle LKM \) açısının açıortayıdır.
- Açıortay teoremi gereğince:
- \( \frac{KL}{KM} = \frac{LN}{NM} \)
- Soruda \( KN = 8 \) cm, \( LN = 6 \) cm ve \( KL = 10 \) cm olarak verilmiş.
- Bizim bulmamız gereken \( KM \) uzunluğu.
- Teoremde \( NM \) uzunluğu eksik. Ancak burada bir hata yapılmış olabilir. Genellikle açıortay teoremi kenar uzunlukları ile ilgili bir oran verir, çizilen açıortayın kendi uzunluğu ile doğrudan bir ilişki kurmaz.
- Soruyu şu şekilde revize edelim: Bir \( \triangle KLM \) üçgeninde, K köşesinden çizilen açıortay LM kenarını N noktasında kesiyor. \( LN = 6 \) cm, \( NM = 4 \) cm ve \( KL = 10 \) cm olarak verilmiştir. \( KM \) uzunluğu kaç cm'dir?
- Yeni verilen değerlerle açıortay teoremini uygulayalım:
- \( \frac{KL}{KM} = \frac{LN}{NM} \)
- \( \frac{10}{KM} = \frac{6}{4} \)
- Oranı sadeleştirelim: \( \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \)
- \( \frac{10}{KM} = \frac{3}{2} \)
- İçler dışlar çarpımı yapalım:
- \( 10 \times 2 = KM \times 3 \)
- \( 20 = 3 \times KM \)
- \( KM = \frac{20}{3} \) cm ✅
- Not: Sorunun orijinal halinde verilen \( KN = 8 \) cm bilgisi, standart açıortay teoremi ile doğrudan kullanılmaz. Eğer açıortayın uzunluğunu veren özel bir teorem sorulmuyorsa, bu bilgi eksik veya yanıltıcı olabilir. Yukarıdaki çözüm, standart açıortay teoremini kullanmak için \( NM \) uzunluğunu varsayarak revize edilmiştir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-aciortay-sorulari/sorular