Açıortay Soruları Ders Notu

Açıortay

Bir açıyı oluşturan ışınların başlangıç noktası olan köşeden çıkan ve açıyı iki eş parçaya ayıran ışına açıortay denir. Açıortay, açının ölçüsünü ikiye böler. Örneğin, 60 derecelik bir açının açıortayı, bu açıyı 30 derecelik iki açıya ayırır.

Üçgende Açıortay

Bir üçgenin bir köşesinden çıkan ve o köşedeki açıyı iki eş parçaya ayıran doğru parçasına üçgenin açıortayı denir. Her üçgenin üç tane açıortayı vardır ve bu üç açıortay tek bir noktada kesişir. Bu kesişim noktasına iç teğet çemberin merkezi denir.

Açıortay Özellikleri

• Bir açıortay üzerindeki herhangi bir noktanın, açının kenarlarına olan uzaklıkları eşittir.
• Bir üçgende iki açıortayın kesişim noktası, üçüncü açıortayın da üzerindedir.

Çözümlü Örnek 1

Bir ABC üçgeninde \( \angle A = 80^\circ \) ve AD, A köşesinin açıortayıdır. Buna göre \( \angle BAD \) kaç derecedir?

Çözüm:
AD, A açısının açıortayı olduğu için \( \angle A \) yı iki eş parçaya böler.
\( \angle BAD = \angle CAD = \frac{\angle A}{2} \)
\( \angle BAD = \frac{80^\circ}{2} \)
\( \angle BAD = 40^\circ \)

Çözümlü Örnek 2

Bir PQR üçgeninde \( \angle P = 50^\circ \), \( \angle Q = 60^\circ \) ve PS, P köşesinin açıortayıdır. Buna göre \( \angle PSQ \) kaç derecedir?

Çözüm:
Öncelikle R açısını bulalım. Bir üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \) dir.
\( \angle R = 180^\circ - (\angle P + \angle Q) \)
\( \angle R = 180^\circ - (50^\circ + 60^\circ) \)
\( \angle R = 180^\circ - 110^\circ \)
\( \angle R = 70^\circ \)
PS, P açısının açıortayı olduğu için \( \angle P \) yi iki eş parçaya böler.
\( \angle RPS = \frac{\angle P}{2} = \frac{50^\circ}{2} = 25^\circ \)
Şimdi PRS üçgenine bakalım. Bu üçgende iki açıyı biliyoruz: \( \angle RPS = 25^\circ \) ve \( \angle R = 70^\circ \). Üçgenin iç açılarının toplamından \( \angle PSR \) açısını bulabiliriz.
\( \angle PSR = 180^\circ - (\angle RPS + \angle R) \)
\( \angle PSR = 180^\circ - (25^\circ + 70^\circ) \)
\( \angle PSR = 180^\circ - 95^\circ \)
\( \angle PSR = 85^\circ \)
Soruda \( \angle PSQ \) sorulmuş. PS doğrusu P'den çıktığı için R, S, Q noktaları aynı doğru üzerinde değildir. Ancak, genellikle bu tür sorularda S noktası QR kenarı üzerindedir ve PS açıortaydır. Eğer S noktası QR üzerindeyse, \( \angle PSR \) ile \( \angle PSQ \) bütünlerdir ve toplamları \( 180^\circ \) olur.
\( \angle PSQ = 180^\circ - \angle PSR \)
\( \angle PSQ = 180^\circ - 85^\circ \)
\( \angle PSQ = 95^\circ \)

Açıortay Teoremi (Kenarortay ve Yükseklik ile İlişkisi - 9. Sınıf Müfredatına Uygun Kısım)

Bir üçgende, bir köşeden çizilen açıortayın, karşı kenarı kestiği noktada oluşan iki parçanın uzunlukları oranı, bu iki parçaya bitişik olan kenarların uzunlukları oranına eşittir. Bu, 9. sınıf müfredatında genellikle ispatı ile birlikte verilir.

Bir ABC üçgeninde, A köşesinden çizilen açıortay BC kenarını D noktasında kessin. Bu durumda:

\[ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \]

Çözümlü Örnek 3

Bir ABC üçgeninde AB = 10 birim, AC = 15 birim ve BC kenarı üzerindeki D noktası için AD, A açısının açıortayıdır. BD = 4 birim olduğuna göre DC kaç birimdir?

Çözüm:
Açıortay Teoremi'ne göre:
\( \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \)
Bilinen değerleri yerine koyalım:
\( \frac{4}{DC} = \frac{10}{15} \)
İçler dışlar çarpımı yapalım:
\( 4 \times 15 = 10 \times DC \)
\( 60 = 10 \times DC \)
Her iki tarafı 10'a bölelim:
\( DC = \frac{60}{10} \)
\( DC = 6 \) birim

Açıortaylar, geometrinin temel kavramlarından biridir ve üçgenlerin özelliklerini anlamada önemli bir rol oynar. Bu kavram, hem teorik hem de pratik problem çözmede karşımıza çıkar.