🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Açıortay Kenarortay Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Açıortay Kenarortay Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Örnek 1: Açıortay Kavramı 📐
Bir ABC üçgeninde, A köşesinden çıkan ve BC kenarını D noktasında kesen bir doğru parçası, A açısını iki eşit parçaya ayırmaktadır. Eğer \( m(\widehat{BAD}) = 35^\circ \) ise, \( m(\widehat{BAC}) \) kaç derecedir?
Bu doğru parçasına ne ad verilir?
Bir ABC üçgeninde, A köşesinden çıkan ve BC kenarını D noktasında kesen bir doğru parçası, A açısını iki eşit parçaya ayırmaktadır. Eğer \( m(\widehat{BAD}) = 35^\circ \) ise, \( m(\widehat{BAC}) \) kaç derecedir?
Bu doğru parçasına ne ad verilir?
Çözüm:
Bu bir açıortay sorusudur! 😊
- 💡 Açıortay Tanımı: Bir açıyı iki eş parçaya bölen doğru parçasına açıortay denir.
- 👉 Soruda verilen bilgiye göre, AD doğru parçası A açısının açıortayıdır. Bu, \( m(\widehat{BAD}) \) açısı ile \( m(\widehat{DAC}) \) açısının birbirine eşit olduğu anlamına gelir.
- ✅ Yani, \( m(\widehat{DAC}) = m(\widehat{BAD}) = 35^\circ \) olur.
- 📏 Üçgendeki A açısının tamamı \( m(\widehat{BAC}) \) ise, bu iki küçük açının toplamına eşittir: \[ m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{BAD}) + m(\widehat{DAC}) \] \[ m(\widehat{BAC}) = 35^\circ + 35^\circ \] \[ m(\widehat{BAC}) = 70^\circ \]
Örnek 2:
Örnek 2: Kenarortay Kavramı 📏
Bir KLM üçgeninde, K köşesinden çıkan ve LM kenarını N noktasında kesen KN doğru parçası, LM kenarını iki eşit parçaya ayırmaktadır. Eğer \( LN = 7 \) cm ise, \( LM \) kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
Bu doğru parçasına ne ad verilir?
Bir KLM üçgeninde, K köşesinden çıkan ve LM kenarını N noktasında kesen KN doğru parçası, LM kenarını iki eşit parçaya ayırmaktadır. Eğer \( LN = 7 \) cm ise, \( LM \) kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
Bu doğru parçasına ne ad verilir?
Çözüm:
Bu bir kenarortay sorusudur! ✨
- 💡 Kenarortay Tanımı: Bir üçgende bir köşeyi, karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasına kenarortay denir.
- 👉 Soruda KN doğru parçası, LM kenarını N noktasında iki eşit parçaya ayırmaktadır. Bu, N noktasının LM kenarının orta noktası olduğu anlamına gelir.
- ✅ Yani, \( LN \) uzunluğu ile \( NM \) uzunluğu birbirine eşittir: \( NM = LN = 7 \) cm.
- 📏 LM kenarının toplam uzunluğu, \( LN \) ve \( NM \) uzunluklarının toplamıdır: \[ LM = LN + NM \] \[ LM = 7 + 7 \] \[ LM = 14 \text{ cm} \]
Örnek 3:
Örnek 3: İç Açıortay Teoremi Uygulaması 📐
Bir ABC üçgeninde, AD doğru parçası A açısının iç açıortayıdır. D noktası BC kenarı üzerindedir. Eğer \( AB = 6 \) cm, \( AC = 9 \) cm ve \( BD = 4 \) cm ise, \( DC \) uzunluğu kaç cm'dir?
Bir ABC üçgeninde, AD doğru parçası A açısının iç açıortayıdır. D noktası BC kenarı üzerindedir. Eğer \( AB = 6 \) cm, \( AC = 9 \) cm ve \( BD = 4 \) cm ise, \( DC \) uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
Harika bir iç açıortay teoremi uygulaması! 🤓
- 💡 İç Açıortay Teoremi: Bir üçgende bir açının iç açıortayı karşı kenarı, diğer iki kenarın uzunlukları oranında böler.
- 📌 ABC üçgeninde AD iç açıortay olduğuna göre, teorem gereği şu eşitlik geçerlidir: \[ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} \]
- 👉 Şimdi verilen değerleri yerine yazalım:
\( AB = 6 \) cm
\( AC = 9 \) cm
\( BD = 4 \) cm
\( DC = x \) (bilinmeyen) - ✅ Eşitliği kuralım ve \( x \) değerini bulalım: \[ \frac{6}{9} = \frac{4}{x} \]
- Çapraz çarpım yaparak denklemi çözelim: \[ 6 \cdot x = 9 \cdot 4 \] \[ 6x = 36 \] \[ x = \frac{36}{6} \] \[ x = 6 \]
Örnek 4:
Örnek 4: Kenarortay ve Ağırlık Merkezi ⚖️
Bir PRS üçgeninde, PK ve RL kenarortayları G noktasında kesişmektedir. Bu G noktası üçgenin ağırlık merkezidir. Eğer \( PG = 8 \) cm ise, \( GK \) uzunluğu kaç cm'dir?
Bir PRS üçgeninde, PK ve RL kenarortayları G noktasında kesişmektedir. Bu G noktası üçgenin ağırlık merkezidir. Eğer \( PG = 8 \) cm ise, \( GK \) uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
Bu bir ağırlık merkezi sorusu! 🚀
- 💡 Ağırlık Merkezi Tanımı: Bir üçgende kenarortayların kesiştiği noktaya ağırlık merkezi denir. Ağırlık merkezi, kenarortayı köşeden itibaren \( 2:1 \) oranında böler.
- 📌 PRS üçgeninde PK bir kenarortaydır ve G ağırlık merkezidir. Bu durumda kenarortay, köşeden (P) ağırlık merkezine (G) olan uzaklığın, ağırlık merkezinden (G) kenara (K) olan uzaklığın iki katı olacağını söyler.
- 👉 Yani, \( PG = 2 \cdot GK \) eşitliği geçerlidir.
- ✅ Soruda \( PG = 8 \) cm olarak verilmiştir. Bu bilgiyi kullanarak \( GK \) uzunluğunu bulalım: \[ 8 = 2 \cdot GK \]
- Denklemi çözelim: \[ GK = \frac{8}{2} \] \[ GK = 4 \]
Örnek 5:
Örnek 5: Açıortay ve Dik Üçgen İlişkisi 📐
Bir ABC dik üçgeninde, B açısı \( 90^\circ \) dir. AD doğru parçası A açısının iç açıortayıdır. D noktası BC kenarı üzerindedir. Eğer AB kenarının uzunluğu \( 8 \) cm ve BD kenarının uzunluğu \( 5 \) cm ise, AC kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
Bir ABC dik üçgeninde, B açısı \( 90^\circ \) dir. AD doğru parçası A açısının iç açıortayıdır. D noktası BC kenarı üzerindedir. Eğer AB kenarının uzunluğu \( 8 \) cm ve BD kenarının uzunluğu \( 5 \) cm ise, AC kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
Bu soruda hem açıortay teoremini hem de Pisagor Teoremi'ni kullanacağız! 🎯
- 💡 İç Açıortay Teoremi: \( \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} \)
- 💡 Pisagor Teoremi: Bir dik üçgende, dik kenarların karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir (\( a^2 + b^2 = c^2 \)).
- 👉 Öncelikle iç açıortay teoremini kullanarak \( DC \) uzunluğunu, dolayısıyla \( BC \) kenarını \( AC \) cinsinden ifade edelim. \( AB = 8 \) cm, \( BD = 5 \) cm. \( AC = y \) ve \( DC = x \) diyelim. \[ \frac{8}{y} = \frac{5}{x} \implies 8x = 5y \implies x = \frac{5y}{8} \] Yani, \( DC = \frac{5y}{8} \) olur.
- ✅ Şimdi BC kenarının uzunluğunu bulalım: \( BC = BD + DC = 5 + \frac{5y}{8} \)
- Pisagor Teoremi'ni ABC dik üçgeninde uygulayalım: \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \) \( 8^2 + \left(5 + \frac{5y}{8}\right)^2 = y^2 \) \( 64 + \left(\frac{40+5y}{8}\right)^2 = y^2 \) \( 64 + \frac{(40+5y)^2}{64} = y^2 \)
- Her tarafı \( 64 \) ile çarpalım: \( 64 \cdot 64 + (40+5y)^2 = 64y^2 \) \( 4096 + 1600 + 400y + 25y^2 = 64y^2 \) \( 5696 + 400y + 25y^2 = 64y^2 \)
- Tüm terimleri bir tarafa toplayalım ve denklemi düzenleyelim: \( 0 = 64y^2 - 25y^2 - 400y - 5696 \) \( 0 = 39y^2 - 400y - 5696 \)
- Bu denklem 9. sınıf seviyesinde çözümü zor bir denklemdir. Soruyu daha basit bir 9. sınıf seviyesine uygun hale getirelim.
YENİ SORU METNİ VE ÇÖZÜMÜ (9. Sınıf Seviyesine Uygun):
Bir ABC dik üçgeninde, B açısı \( 90^\circ \) dir. AD doğru parçası A açısının iç açıortayıdır. D noktası BC kenarı üzerindedir. Eğer AB kenarının uzunluğu \( 6 \) cm ve \( DC = 5 \) cm ise, \( BD \) uzunluğu kaç cm'dir? (AC uzunluğuna \( x \) diyelim)
- 💡 İç Açıortay Teoremi: \( \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} \)
- 💡 Pisagor Teoremi: \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \)
- 👉 Verilenler: \( AB = 6 \) cm, \( DC = 5 \) cm. \( BD = y \) diyelim. \( AC = x \) diyelim.
- Açıortay teoreminden: \[ \frac{6}{x} = \frac{y}{5} \implies 30 = xy \implies x = \frac{30}{y} \]
- BC kenarının uzunluğu: \( BC = BD + DC = y + 5 \)
- Şimdi Pisagor Teoremi'ni ABC dik üçgeninde uygulayalım: \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \) \( 6^2 + (y+5)^2 = x^2 \) \( 36 + y^2 + 10y + 25 = \left(\frac{30}{y}\right)^2 \) \( y^2 + 10y + 61 = \frac{900}{y^2} \) \( y^4 + 10y^3 + 61y^2 = 900 \) Bu da 9. sınıf için çok karmaşık.
Bir ABC üçgeninde AD, A açısının iç açıortayıdır. D noktası BC üzerindedir. A noktasından BC'ye indirilen dikme AH olsun. Eğer \( AB = 10 \) cm, \( AC = 15 \) cm ve \( BD = 4 \) cm ise, \( DC \) uzunluğu kaç cm'dir?
- 💡 İç Açıortay Teoremi: \( \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} \)
- 👉 Verilenler: \( AB = 10 \) cm, \( AC = 15 \) cm, \( BD = 4 \) cm. \( DC = x \) diyelim.
- Teoremi uygulayalım: \[ \frac{10}{15} = \frac{4}{x} \]
- Denklemi çözelim: \[ 10x = 15 \cdot 4 \] \[ 10x = 60 \] \[ x = \frac{60}{10} \] \[ x = 6 \]
(Not: İlk iki deneme 9. sınıf seviyesini aştığı için, sadece iç açıortay teoreminin doğrudan uygulandığı bir örnekle değiştirilmiştir. Pisagor ile birleştirme 9. sınıf için denklem çözümünü zorlaştırabilir.)
Örnek 6:
Örnek 6: Hem Açıortay Hem Diklik 🧐
Bir ABC üçgeninde, AD doğru parçası A açısının iç açıortayıdır. Aynı zamanda AD, BC kenarına diktir. Eğer \( BD = 5 \) cm ise, \( DC \) uzunluğu kaç cm'dir? Bu üçgenin türü hakkında ne söyleyebilirsiniz?
Bir ABC üçgeninde, AD doğru parçası A açısının iç açıortayıdır. Aynı zamanda AD, BC kenarına diktir. Eğer \( BD = 5 \) cm ise, \( DC \) uzunluğu kaç cm'dir? Bu üçgenin türü hakkında ne söyleyebilirsiniz?
Çözüm:
Bu soruda hem açıortay hem de diklik bilgisini bir arada kullanacağız! 🤔
Bu üçgen ikizkenar üçgendir (AB = AC). 📐
- 💡 Açıortay Özelliği: Bir üçgende bir köşeden çıkan açıortay aynı zamanda karşı kenara dik ise, bu üçgen ikizkenar üçgendir. Ayrıca, bu doğru parçası aynı zamanda kenarortay görevi de görür.
- 👉 Soruda AD, A açısının açıortayıdır ve \( AD \perp BC \) (AD, BC'ye diktir) olarak verilmiştir.
- ✅ Bu durum, ABC üçgeninin AB ve AC kenarlarının eşit olduğu bir ikizkenar üçgen olduğunu gösterir. Yani \( AB = AC \) dir.
- 📌 Açıortay aynı zamanda dik olduğunda, karşı kenarı da iki eşit parçaya böler. Bu da AD'nin aynı zamanda BC kenarının kenarortayı olduğu anlamına gelir.
- Bu durumda: \( BD = DC \) olur.
- Soruda \( BD = 5 \) cm olarak verildiğine göre, \( DC \) uzunluğu da \( 5 \) cm'dir.
Bu üçgen ikizkenar üçgendir (AB = AC). 📐
Örnek 7:
Örnek 7: Park Düzenlemesi 🌳🚶♀️
Bir belediye, üçgen şeklinde bir parkın A köşesine bir çocuk parkı, B ve C köşelerine ise dinlenme bankları kurmayı planlamaktadır. Çocuk parkından (A köşesi) parkın içinden geçerek BC kenarına en kısa ve eşit uzaklıkta olacak şekilde bir yürüyüş yolu yapılacaktır. Bu yürüyüş yolu BC kenarını D noktasında kesmektedir. Parkın AB kenarı \( 12 \) metre, AC kenarı \( 18 \) metre ve BC kenarı \( 15 \) metre uzunluğundadır.
Bu yürüyüş yolu (AD) BC kenarını hangi oranlarda ayırır? Yani \( BD \) ve \( DC \) uzunlukları kaç metredir?
Bir belediye, üçgen şeklinde bir parkın A köşesine bir çocuk parkı, B ve C köşelerine ise dinlenme bankları kurmayı planlamaktadır. Çocuk parkından (A köşesi) parkın içinden geçerek BC kenarına en kısa ve eşit uzaklıkta olacak şekilde bir yürüyüş yolu yapılacaktır. Bu yürüyüş yolu BC kenarını D noktasında kesmektedir. Parkın AB kenarı \( 12 \) metre, AC kenarı \( 18 \) metre ve BC kenarı \( 15 \) metre uzunluğundadır.
Bu yürüyüş yolu (AD) BC kenarını hangi oranlarda ayırır? Yani \( BD \) ve \( DC \) uzunlukları kaç metredir?
Çözüm:
Bu, açıortay teoreminin günlük hayattaki bir uygulamasıdır! 🏞️
Bu yürüyüş yolu (AD), BC kenarını \( BD = 6 \) metre ve \( DC = 9 \) metre uzunluklarında ayırır. ✅
- 💡 Anahtar Bilgi: Çocuk parkından (A köşesi) parkın içinden geçerek BC kenarına "en kısa ve eşit uzaklıkta" olacak şekilde bir yürüyüş yolu yapılması, bu yürüyüş yolunun A açısının açıortayı olması gerektiği anlamına gelir. Çünkü bir açının açıortayı üzerindeki her noktanın açının kollarına olan dik uzaklıkları eşittir. Bu durumda AD, A açısının iç açıortayıdır.
- 📌 İç Açıortay Teoremi'ni hatırlayalım: Bir üçgende bir açının iç açıortayı karşı kenarı, diğer iki kenarın uzunlukları oranında böler. \[ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} \]
- 👉 Verilen değerler:
\( AB = 12 \) metre
\( AC = 18 \) metre
\( BC = 15 \) metre - \( BD = x \) ve \( DC = y \) diyelim. Toplamda \( x + y = 15 \) metredir.
- Teoremi uygulayalım: \[ \frac{12}{18} = \frac{x}{y} \]
- Kesri sadeleştirelim: \[ \frac{2}{3} = \frac{x}{y} \] Buradan \( 2y = 3x \) elde ederiz. Yani \( y = \frac{3x}{2} \).
- Şimdi \( x + y = 15 \) denkleminde \( y \) yerine \( \frac{3x}{2} \) yazalım: \[ x + \frac{3x}{2} = 15 \]
- Denklemi çözelim: \[ \frac{2x}{2} + \frac{3x}{2} = 15 \] \[ \frac{5x}{2} = 15 \] \[ 5x = 15 \cdot 2 \] \[ 5x = 30 \] \[ x = \frac{30}{5} \] \[ x = 6 \]
- \( BD = 6 \) metre olduğuna göre, \( DC \) uzunluğunu bulalım: \( y = 15 - x = 15 - 6 = 9 \) metre.
Bu yürüyüş yolu (AD), BC kenarını \( BD = 6 \) metre ve \( DC = 9 \) metre uzunluklarında ayırır. ✅
Örnek 8:
Örnek 8: Denge Noktası (Ağırlık Merkezi) 🤸♀️
Ahmet, üçgen şeklinde bir kontrplak parçasını (ABC üçgeni) bir parmağının ucunda dengelemek istiyor. Kontrplak parçasının köşelerinin koordinatlarını bilmiyor, ancak kenarortaylarının nerede olduğunu biliyor. A köşesinden BC kenarının orta noktasına çizilen kenarortayın uzunluğu \( 12 \) cm'dir. Ahmet, kontrplak parçasını neresinden tutarsa dengede kalacağını bulmak istiyor.
Ahmet, kenarortay üzerinde A köşesinden kaç cm uzakta bir noktadan tutarsa kontrplak dengede kalır?
Ahmet, üçgen şeklinde bir kontrplak parçasını (ABC üçgeni) bir parmağının ucunda dengelemek istiyor. Kontrplak parçasının köşelerinin koordinatlarını bilmiyor, ancak kenarortaylarının nerede olduğunu biliyor. A köşesinden BC kenarının orta noktasına çizilen kenarortayın uzunluğu \( 12 \) cm'dir. Ahmet, kontrplak parçasını neresinden tutarsa dengede kalacağını bulmak istiyor.
Ahmet, kenarortay üzerinde A köşesinden kaç cm uzakta bir noktadan tutarsa kontrplak dengede kalır?
Çözüm:
Bu, ağırlık merkezi kavramının günlük hayattaki en güzel örneklerinden biridir! 💡
Ahmet, kenarortay üzerinde A köşesinden \( 8 \) cm uzakta bir noktadan tutarsa kontrplak dengede kalır. ✅
- 💡 Anahtar Bilgi: Bir üçgen şeklindeki levhanın (kontrplağın) denge noktası, o üçgenin ağırlık merkezidir. Ağırlık merkezi, üçgenin tüm kenarortaylarının kesiştiği noktadır ve her kenarortayı köşeden itibaren \( 2:1 \) oranında böler.
- 📌 Soruda A köşesinden BC kenarının orta noktasına çizilen kenarortayın uzunluğu \( 12 \) cm olarak verilmiştir. Bu kenarortaya \( V_a \) diyelim.
- 👉 Ağırlık merkezi (G), bu kenarortayı köşeye (A) daha yakın olacak şekilde \( 2:1 \) oranında böler. Yani, köşeden ağırlık merkezine olan uzaklık (AG), ağırlık merkezinden kenarın orta noktasına olan uzaklığın (GD) iki katıdır. \( AG = 2 \cdot GD \)
- Kenarortayın toplam uzunluğu \( AG + GD = V_a \) dir. Yani, \( 2 \cdot GD + GD = V_a \) \( 3 \cdot GD = V_a \)
- Verilen \( V_a = 12 \) cm bilgisini kullanalım: \( 3 \cdot GD = 12 \) \( GD = \frac{12}{3} \) \( GD = 4 \) cm
- Ahmet'in kontrplağı dengede tutabilmesi için Ağırlık Merkezi'nden tutması gerekir. Ağırlık merkezinin A köşesine olan uzaklığı \( AG \) idi: \( AG = 2 \cdot GD = 2 \cdot 4 = 8 \) cm
Ahmet, kenarortay üzerinde A köşesinden \( 8 \) cm uzakta bir noktadan tutarsa kontrplak dengede kalır. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-aciortay-kenarortay/sorular