Açıortay Kenarortay Ders Notu

Üçgenlerde özel doğru parçaları olan açıortay ve kenarortay, geometri konularının temel taşlarından biridir. Bu doğru parçaları, üçgenlerin iç yapısını anlamak ve çeşitli uzunluk ilişkilerini kurmak için kullanılır.

Açıortay Nedir? 🤔

Bir açıyı iki eş parçaya ayıran ışına açıortay denir. Üçgenlerde ise bir köşeden çıkan ve o köşedeki açıyı iki eş parçaya bölen doğru parçasına iç açıortay denir. Dış açıortay kavramı 9. sınıf müfredatında yer almamaktadır.

İç Açıortayın Özellikleri

• Bir açıortay üzerindeki herhangi bir noktanın, açının kollarına olan dik uzaklıkları birbirine eşittir.
• Eğer bir noktanın açının kollarına olan dik uzaklıkları eşitse, bu nokta açının açıortayı üzerindedir.

İç Açıortay Teoremi 📐

Bir ABC üçgeninde, A köşesinden çizilen iç açıortay BC kenarını D noktasında kessin. AB kenarının uzunluğu \(c\), AC kenarının uzunluğu \(b\), BD kenarının uzunluğu \(x\) ve DC kenarının uzunluğu \(y\) olsun. Bu durumda, İç Açıortay Teoremi'ne göre aşağıdaki oran geçerlidir:

\[ \frac{x}{y} = \frac{c}{b} \]

Bu teorem, bir üçgende iç açıortayın karşı kenarı böldüğü parçaların oranının, açıortayın çıktığı köşenin yan kenarlarının oranına eşit olduğunu ifade eder.

Örnek Problem: Bir ABC üçgeninde A açısının iç açıortayı BC kenarını D noktasında kesmektedir. \(|AB| = 6\) birim, \(|AC| = 9\) birim ve \(|BD| = 4\) birim ise \(|DC|\) kaç birimdir?

Çözüm: İç Açıortay Teoremi'ne göre \( \frac{|BD|}{|DC|} = \frac{|AB|}{|AC|} \) bağıntısını kullanırız. \[ \frac{4}{|DC|} = \frac{6}{9} \] \[ \frac{4}{|DC|} = \frac{2}{3} \] İçler dışlar çarpımı yaparak \( 2 \times |DC| = 4 \times 3 \) elde ederiz. \[ 2 \times |DC| = 12 \] Her iki tarafı 2'ye bölerek \( |DC| = 6 \) birim bulunur.

Kenarortay Nedir? 📏

Bir üçgende, bir köşeyi karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasına kenarortay denir. Bir üçgenin her kenarına ait bir kenarortayı bulunur ve bu kenarortaylar genellikle \(m_a, m_b, m_c\) sembolleriyle gösterilir (örneğin, \(m_a\) A köşesinden çizilen kenarortaydır).

Kenarortayın Özellikleri

• Bir üçgende üç kenarortay daima tek bir noktada kesişir. Bu noktaya ağırlık merkezi denir ve genellikle G harfi ile gösterilir.
• Ağırlık merkezi, her bir kenarortayı köşeden itibaren 2 birim, kenardan itibaren 1 birim olmak üzere 2:1 oranında böler.

Örnek Problem: Bir ABC üçgeninde A köşesinden çizilen kenarortay BC kenarını D noktasında kesmektedir. G noktası üçgenin ağırlık merkezi ve \(|AG| = 8\) birim ise \(|GD|\) kaç birimdir?

Çözüm: Ağırlık merkezi, kenarortayı köşeden 2 birim, kenardan 1 birim oranında böler. Yani \(|AG|\) uzunluğu, \(|GD|\) uzunluğunun 2 katıdır. \[ |AG| = 2 \times |GD| \] Verilen \(|AG| = 8\) birim değerini yerine yazarsak: \[ 8 = 2 \times |GD| \] Her iki tarafı 2'ye bölerek \( |GD| = 4 \) birim bulunur.