9. Sınıf Açı-kenar-açı benzerliği Çözümlü Sorular ve Örnekler

Çözümlü Örnek

Kolay Seviye

Bir ABC üçgeninde \( m(\angle A) = 50^\circ \), \( m(\angle B) = 60^\circ \) ve \( |AC| = 8 \) cm'dir. Bir DEF üçgeninde \( m(\angle D) = 50^\circ \), \( m(\angle E) = 60^\circ \) ve \( |DF| = 12 \) cm'dir.
Bu iki üçgen arasında Açı-Kenar-Açı (AKA) benzerliği olup olmadığını ve varsa benzerlik oranını bulunuz.

Çözüm ve Açıklama

Adım 1: Üçgenlerin açılarının ölçülerini karşılaştıralım.

ABC üçgeninde \( m(\angle A) = 50^\circ \) ve \( m(\angle B) = 60^\circ \).
DEF üçgeninde \( m(\angle D) = 50^\circ \) ve \( m(\angle E) = 60^\circ \).

Adım 2: İkişer açıları eşit olan üçgenler arasında benzerlik olup olmadığını kontrol edelim.

\( m(\angle A) = m(\angle D) = 50^\circ \)
\( m(\angle B) = m(\angle E) = 60^\circ \)

Adım 3: Açıları eşit olan kenarları belirleyelim.

A açısının karşısındaki kenar \( |BC| \), D açısının karşısındaki kenar \( |EF| \).
B açısının karşısındaki kenar \( |AC| \), E açısının karşısındaki kenar \( |DF| \).
C açısının karşısındaki kenar \( |AB| \), F açısının karşısındaki kenar \( |DE| \).

Adım 4: Açı-Kenar-Açı (AKA) benzerlik kuralını uygulayalım.

İki üçgende ikişer açıları eşit olduğundan ve bu açılara komşu olan kenarların oranına bakmamız gerekir.
A açısı ile B açısı arasındaki kenar \( |AB| \) ve \( |AC| \).
D açısı ile E açısı arasındaki kenar \( |DE| \) ve \( |DF| \).
Bizim elimizde \( |AC| \) ve \( |DF| \) kenarları var. Bu kenarlar, eşit olan A ve D açıları ile B ve E açıları arasındaki kenarlar değildir.
Ancak, AKA kuralı için iki açı ve bu iki açı arasındaki kenarın eşit olması gerekir. Bizim durumumuzda, \( \angle A \) ve \( \angle B \) ile \( \angle D \) ve \( \angle E \) açıları verilmiş.
Bu durumda, üçüncü açıları da bulabiliriz:

ABC üçgeninde \( m(\angle C) = 180^\circ - (50^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \).
DEF üçgeninde \( m(\angle F) = 180^\circ - (50^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \).

Yani, \( m(\angle A) = m(\angle D) \), \( m(\angle B) = m(\angle E) \) ve \( m(\angle C) = m(\angle F) \). Bu durum Açı-Açı-Açı (AAA) benzerliğidir.
AKA benzerliği için, iki açı ve bu iki açı arasında kalan kenarın orantılı olması gerekir.
Elimizdeki \( |AC| \) kenarı, A ve C açıları arasındadır. \( |DF| \) kenarı ise D ve F açıları arasındadır.
Açıları karşılaştırdığımızda \( m(\angle A) = m(\angle D) \) ve \( m(\angle C) = m(\angle F) \).
Bu iki açı arasındaki kenarlar \( |AC| \) ve \( |DF| \) olarak verilmiş.
Şimdi bu kenarların oranına bakalım: \( \frac{|AC|}{|DF|} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \).
Bu durumda, \( \angle A \) ile \( \angle C \) açıları ve bu iki açı arasındaki \( |AC| \) kenarı ile \( \angle D \) ile \( \angle F \) açıları ve bu iki açı arasındaki \( |DF| \) kenarı orantılıdır.
Dolayısıyla, ABC üçgeni ile DEF üçgeni arasında Açı-Kenar-Açı (AKA) benzerliği vardır.

Adım 5: Benzerlik oranını yazalım.

Benzerlik oranı, karşılıklı kenarların oranıdır.
\( \frac{|AC|}{|DF|} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \)
Bu durumda, ABC ~ DEF benzerlik oranı \( \frac{2}{3} \)'tür.

💡 Önemli Not: AKA benzerliği için, iki açı ve bu iki açı arasındaki kenarın orantılı olması gerekir. Bizim örneğimizde, \( \angle A \) ve \( \angle C \) açıları ile bu açılar arasındaki \( |AC| \) kenarı ve \( \angle D \) ve \( \angle F \) açıları ile bu açılar arasındaki \( |DF| \) kenarı orantılıdır.

Çözümlü Örnek

Orta Seviye

Aşağıdaki şekilde, \( |AB| = |DE| \) ve \( m(\angle BAC) = m(\angle EDF) \) verilmiştir.
ABC üçgeni ile DEF üçgeninin benzer olup olmadığını belirleyiniz. Eğer benzerse, benzerlik türünü ve oranını belirtiniz.

Çözüm ve Açıklama

Adım 1: Verilen bilgileri not edelim.

\( |AB| = |DE| \)
\( m(\angle BAC) = m(\angle EDF) \)

Adım 2: AKA benzerlik kuralını hatırlayalım.

AKA benzerliği için iki açı ve bu iki açı arasındaki kenarın orantılı olması gerekir.

Adım 3: Verilen bilgilerle AKA benzerliğini uygulayabilir miyiz diye düşünelim.

Elimizde birer açı eşitliği var: \( m(\angle BAC) = m(\angle EDF) \).
Elimizde birer kenar eşitliği var: \( |AB| = |DE| \).
Ancak, \( |AB| \) kenarı \( \angle BAC \) açısı ile \( \angle ABC \) açısı arasındadır. \( |DE| \) kenarı ise \( \angle EDF \) açısı ile \( \angle DEF \) açısı arasındadır.
AKA benzerliği için, eşit olan açılara komşu olan kenarların orantılı olması gerekir. Yani, \( \angle BAC \) ve \( \angle ABC \) arasındaki \( |AB| \) kenarı ile \( \angle EDF \) ve \( \angle DEF \) arasındaki \( |DE| \) kenarı gibi.
Bizim durumumuzda, \( |AB| \) kenarı \( \angle BAC \) açısının bir koludur. \( |DE| \) kenarı da \( \angle EDF \) açısının bir koludur.
AKA benzerliği için, \( \angle BAC \) ve \( \angle ABC \) arasındaki \( |AB| \) kenarı ile \( \angle EDF \) ve \( \angle DEF \) arasındaki \( |DE| \) kenarının orantılı olması gerekir.
Bizim durumumuzda \( |AB| = |DE| \) olduğundan, bu kenarlar orantılıdır (oranı 1'dir).
Ancak, AKA kuralı için iki açı ve bu iki açı arasındaki kenarın orantılı olması gerekir.
Yani, \( \angle BAC \) ve \( \angle ABC \) arasındaki \( |AB| \) kenarı ile \( \angle EDF \) ve \( \angle DEF \) arasındaki \( |DE| \) kenarı gibi.
Bizim elimizde \( m(\angle BAC) = m(\angle EDF) \) ve \( |AB| = |DE| \) var.
Bu bilgilerle AKA benzerliği kurabilmek için \( m(\angle ABC) = m(\angle DEF) \) olması gerekir.
Bu bilgi verilmediği için, AKA benzerliğini doğrudan kullanamayız.

Adım 4: Diğer benzerlik kurallarını gözden geçirelim.

Kenar-Kenar-Kenar (KKK) benzerliği için üç kenarın da orantılı olması gerekir. Bilgi yok.
Kenar-Açı-Kenar (KAK) benzerliği için iki kenarın orantılı ve aralarındaki açının eşit olması gerekir.
Bizim durumumuzda \( |AB| \) ve \( |AC| \) kenarları ile \( \angle BAC \) açısı ve \( |DE| \) ve \( |DF| \) kenarları ile \( \angle EDF \) açısı verilmiş olsaydı KAK olabilirdi.
Elimizde \( m(\angle BAC) = m(\angle EDF) \) ve \( |AB| = |DE| \) var.
Eğer \( |AC| \) ile \( |DF| \) kenarlarının oranı \( \frac{|AB|}{|DE|} \) oranına eşit olsaydı (yani \( \frac{|AC|}{|DF|} = 1 \)), KAK benzerliği olurdu.
Ancak bu bilgi de verilmemiş.

Adım 5: Sonuç.

Verilen bilgilerle (birer açı eşitliği ve birer kenar eşitliği) iki üçgen arasında kesinlikle Açı-Kenar-Açı (AKA) benzerliği olduğunu söyleyemeyiz.
AKA benzerliği için, iki açı ve bu iki açı arasındaki kenarın orantılı olması gerekir.
Bizim durumumuzda, \( |AB| \) kenarı \( \angle BAC \) açısının bir kenarıdır, \( \angle BAC \) açısının kendisi değildir.
Dolayısıyla, verilen bilgilerle bu iki üçgenin benzer olduğunu söylemek için yeterli veri yoktur.

🤔 Ek Bilgi: Eğer \( m(\angle ABC) = m(\angle DEF) \) bilgisi de verilseydi, o zaman Açı-Açı (AA) benzerliği olurdu. Eğer \( \frac{|AC|}{|DF|} = \frac{|AB|}{|DE|} \) bilgisi de verilseydi, o zaman Kenar-Açı-Kenar (KAK) benzerliği olurdu.

Çözümlü Örnek

Yeni Nesil Soru

Bir mimar, bir binanın maketini tasarlarken iki pencere modülü kullanacaktır. Birinci pencere modülü \( P_1 \) ve ikinci pencere modülü \( P_2 \) olarak adlandırılıyor.
\( P_1 \) modülünün üst kenarı 120 cm, sol kenarı 80 cm ve bu iki kenar arasındaki açı \( 70^\circ \)'dir.
\( P_2 \) modülünün üst kenarı 180 cm, sol kenarı 120 cm ve bu iki kenar arasındaki açı \( 70^\circ \)'dir.
Bu iki pencere modülünün benzer olup olmadığını ve benzerse, mimarın hangi ölçekte çalıştığını açıklayınız.

Çözüm ve Açıklama

Adım 1: Problemi daha iyi anlamak için pencere modüllerini geometrik şekiller olarak düşünelim.

Her iki pencere modülünü bir dörtgen olarak düşünebiliriz. Ancak benzerlik kurallarını uygulayabilmek için, verilen kenarlar ve aralarındaki açıları kullanarak üçgenler üzerinden ilerlememiz daha uygun olacaktır.
\( P_1 \) modülü için: Üst kenar \( a_1 = 120 \) cm, sol kenar \( b_1 = 80 \) cm ve aralarındaki açı \( \alpha_1 = 70^\circ \).
\( P_2 \) modülü için: Üst kenar \( a_2 = 180 \) cm, sol kenar \( b_2 = 120 \) cm ve aralarındaki açı \( \alpha_2 = 70^\circ \).

Adım 2: Benzerlik kurallarını gözden geçirelim.

Açı-Kenar-Açı (AKA) benzerliği için iki açı ve bu iki açı arasındaki kenarın orantılı olması gerekir.
Kenar-Açı-Kenar (KAK) benzerliği için iki kenarın orantılı ve aralarındaki açının eşit olması gerekir.

Adım 3: Verilen bilgileri KAK benzerlik kuralına göre inceleyelim.

İki pencere modülünde de aralarındaki açı eşittir: \( \alpha_1 = \alpha_2 = 70^\circ \).
Şimdi bu açılara komşu olan kenarların oranına bakalım:

\( P_1 \) için kenarlar \( a_1 = 120 \) cm ve \( b_1 = 80 \) cm.
\( P_2 \) için kenarlar \( a_2 = 180 \) cm ve \( b_2 = 120 \) cm.

Oranları kontrol edelim:

\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{120}{180} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3} \)
\( \frac{b_1}{b_2} = \frac{80}{120} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \)

Her iki kenar çiftinin oranı da \( \frac{2}{3} \) olarak bulundu.

Adım 4: Sonuç çıkarma.

İki pencere modülünde de aralarındaki açı eşit (\( 70^\circ \)) ve bu açının kollarını oluşturan kenarlar orantılıdır (\( \frac{2}{3} \) oranında).
Bu durum, Kenar-Açı-Kenar (KAK) benzerlik kuralını sağlar.
Dolayısıyla, \( P_1 \) ve \( P_2 \) pencere modülleri benzerdir.

Adım 5: Mimarın çalışma ölçeğini belirleme.

Benzerlik oranı, \( P_1 \) modülünün \( P_2 \) modülüne göre oranıdır.
Bu oran \( \frac{2}{3} \) olarak bulundu.
Bu, \( P_1 \) modülünün boyutlarının, \( P_2 \) modülünün boyutlarının \( \frac{2}{3} \) katı olduğu anlamına gelir.
Mimar, \( P_2 \) modülünü \( \frac{2}{3} \) ölçeğinde küçülterek \( P_1 \) modülünü tasarlamıştır. Veya tam tersi, \( P_1 \) modülünü \( \frac{3}{2} \) ölçeğinde büyüterek \( P_2 \) modülünü elde edebilir.

📐 Günlük Hayat Uygulaması: Mimarlar ve mühendisler, projelerinde benzerlik prensiplerini kullanarak ölçekli çizimler yaparlar. Bu, hem maliyetten tasarruf sağlar hem de tasarımların gerçek boyutlara uyumunu garanti eder.

Çözümlü Örnek

Kolay Seviye

Bir ABC üçgeninde \( m(\angle A) = 45^\circ \), \( |AB| = 6 \) cm ve \( m(\angle B) = 55^\circ \).
Bir DEF üçgeninde \( m(\angle D) = 45^\circ \), \( |DE| = 9 \) cm ve \( m(\angle E) = 55^\circ \).
Bu iki üçgen arasında Açı-Kenar-Açı (AKA) benzerliği olup olmadığını ve varsa benzerlik oranını bulunuz.

Çözümlü Örnek

Zor Seviye

Bir parkta bulunan iki bankın konumları aşağıdaki gibidir:
Birinci bankın A ve B noktaları arasındaki uzunluğu 2 metre, A noktasındaki iç açısı \( 80^\circ \) ve B noktasındaki iç açısı \( 40^\circ \)'dir.
İkinci bankın C ve D noktaları arasındaki uzunluğu 3 metre, C noktasındaki iç açısı \( 80^\circ \) ve D noktasındaki iç açısı \( 40^\circ \)'dir.
Bu iki bankın benzer olup olmadığını ve benzerse, benzerlik oranını bulunuz.

Çözüm ve Açıklama

Adım 1: Problemi geometrik olarak modelleyelim.

Her bir bankı bir üçgenin kenarları olarak düşünebiliriz.
Birinci bank: \( |AB| = 2 \) m, \( m(\angle A) = 80^\circ \), \( m(\angle B) = 40^\circ \).
İkinci bank: \( |CD| = 3 \) m, \( m(\angle C) = 80^\circ \), \( m(\angle D) = 40^\circ \).

Adım 2: Açı-Kenar-Açı (AKA) benzerlik kuralını hatırlayalım.

AKA benzerliği için, iki üçgende ikişer açıları eşit olmalı ve bu eşit açılara komşu olan kenarlar orantılı olmalıdır.

Adım 3: Verilen bilgileri AKA kuralına göre inceleyelim.

İki üçgende ikişer açıları eşittir:

\( m(\angle A) = m(\angle C) = 80^\circ \)
\( m(\angle B) = m(\angle D) = 40^\circ \)

Şimdi bu eşit açılara komşu olan kenarlara bakalım.
Birinci bank (ABC üçgeni varsayalım, C noktası D noktasına karşılık gelir): \( \angle A \) ve \( \angle B \) arasındaki kenar \( |AB| \)'dir.
İkinci bank (DEF üçgeni varsayalım, D noktası C noktasına karşılık gelir): \( \angle C \) ve \( \angle D \) arasındaki kenar \( |CD| \)'dir.
Verilen kenarlar \( |AB| = 2 \) m ve \( |CD| = 3 \) m'dir.
Bu iki kenarın oranına bakalım: \( \frac{|AB|}{|CD|} = \frac{2}{3} \).
Eşit açılar (\( \angle A \) ve \( \angle C \), \( \angle B \) ve \( \angle D \)) ve bu açılar arasındaki kenarlar (\( |AB| \) ve \( |CD| \)) hem eşit hem de orantılı olduğundan, bu iki üçgen arasında AKA benzerliği vardır.

Adım 4: Benzerlik oranını yazalım.

Benzerlik oranı, karşılıklı kenarların oranıdır.
\( \frac{|AB|}{|CD|} = \frac{2}{3} \)
Bu durumda, ABC ~ CDE (veya uygun harflendirme ile) benzerlik oranı \( \frac{2}{3} \)'tür.

🌳 Günlük Hayat: Parklarda kullanılan banklar, oyun alanlarındaki yapılar gibi birçok nesne, estetik ve fonksiyonellik açısından benzerlik prensiplerine göre tasarlanabilir. Bu, tekrarlayan tasarımların ölçeklendirilmesini kolaylaştırır.

Çözümlü Örnek

Kolay Seviye

Bir ABC üçgeninde \( m(\angle A) = 60^\circ \), \( |AC| = 10 \) cm ve \( m(\angle C) = 50^\circ \).
Bir DEF üçgeninde \( m(\angle D) = 60^\circ \), \( |DF| = 15 \) cm ve \( m(\angle F) = 50^\circ \).
Bu iki üçgen arasında Açı-Kenar-Açı (AKA) benzerliği olup olmadığını ve varsa benzerlik oranını bulunuz.

Çözümlü Örnek

Günlük Hayattan Örnek

Bir fotoğrafçı, bir manzara fotoğrafının iki farklı boyutunu hazırlayacaktır.
Birinci fotoğraf \( F_1 \) ve ikinci fotoğraf \( F_2 \) olarak adlandırılıyor.
\( F_1 \) fotoğrafının uzun kenarı 20 cm, kısa kenarı 15 cm ve bu iki kenar arasındaki açı \( 90^\circ \) (dikdörtgen olduğu varsayılıyor).
\( F_2 \) fotoğrafının uzun kenarı 30 cm, kısa kenarı 22.5 cm ve bu iki kenar arasındaki açı \( 90^\circ \).
Bu iki fotoğrafın boyutlarının benzer olup olmadığını ve benzerse, fotoğrafçı hangi ölçekte çalışmıştır?

Çözüm ve Açıklama

Adım 1: Problemi geometrik olarak modelleyelim.

Her iki fotoğrafı da birer dikdörtgen olarak düşünebiliriz. Dikdörtgenlerde tüm iç açılar \( 90^\circ \)'dir.
\( F_1 \) fotoğrafı: Uzun kenar \( a_1 = 20 \) cm, kısa kenar \( b_1 = 15 \) cm, aralarındaki açı \( \alpha_1 = 90^\circ \).
\( F_2 \) fotoğrafı: Uzun kenar \( a_2 = 30 \) cm, kısa kenar \( b_2 = 22.5 \) cm, aralarındaki açı \( \alpha_2 = 90^\circ \).

Adım 2: Benzerlik kurallarını gözden geçirelim.

Açı-Kenar-Açı (AKA) benzerliği için iki açı ve bu iki açı arasındaki kenarın orantılı olması gerekir.
Kenar-Açı-Kenar (KAK) benzerliği için iki kenarın orantılı ve aralarındaki açının eşit olması gerekir.

Adım 3: Verilen bilgileri KAK benzerlik kuralına göre inceleyelim.

İki fotoğrafta da aralarındaki açı eşittir: \( \alpha_1 = \alpha_2 = 90^\circ \).
Şimdi bu açılara komşu olan kenarların oranına bakalım:

\( F_1 \) için kenarlar \( a_1 = 20 \) cm ve \( b_1 = 15 \) cm.
\( F_2 \) için kenarlar \( a_2 = 30 \) cm ve \( b_2 = 22.5 \) cm.

Oranları kontrol edelim:

Uzun kenarların oranı: \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3} \)
Kısa kenarların oranı: \( \frac{b_1}{b_2} = \frac{15}{22.5} \). Bu oranı daha kolay hesaplamak için 22.5'i \( \frac{45}{2} \) olarak yazabiliriz.
\( \frac{15}{\frac{45}{2}} = 15 \times \frac{2}{45} = \frac{30}{45} = \frac{2 \times 15}{3 \times 15} = \frac{2}{3} \)

Her iki kenar çiftinin oranı da \( \frac{2}{3} \) olarak bulundu.

Adım 4: Sonuç çıkarma.

İki fotoğrafta da aralarındaki açı eşit (\( 90^\circ \)) ve bu açının kollarını oluşturan kenarlar orantılıdır (\( \frac{2}{3} \) oranında).
Bu durum, Kenar-Açı-Kenar (KAK) benzerlik kuralını sağlar.
Dolayısıyla, \( F_1 \) ve \( F_2 \) fotoğraflarının boyutları benzerdir.

Adım 5: Fotoğrafçının çalışma ölçeğini belirleme.

Benzerlik oranı, \( F_1 \) fotoğrafının \( F_2 \) fotoğrafına göre oranıdır.
Bu oran \( \frac{2}{3} \) olarak bulundu.
Bu, \( F_1 \) fotoğrafının boyutlarının, \( F_2 \) fotoğrafının boyutlarının \( \frac{2}{3} \) katı olduğu anlamına gelir.
Fotoğrafçı, \( F_2 \) fotoğrafını \( \frac{2}{3} \) ölçeğinde küçülterek \( F_1 \) fotoğrafını hazırlamıştır.

🖼️ Uygulama Alanı: Fotoğrafçılık ve baskı sektöründe, görsellerin farklı boyutlarda basılması veya gösterilmesi gerektiğinde benzerlik prensipleri kullanılır. Bu, görselin orantılı kalmasını sağlar ve bozulmasını önler.

Çözümlü Örnek

Orta Seviye

Bir ABC üçgeninde \( m(\angle A) = 70^\circ \), \( |AB| = 5 \) cm ve \( m(\angle B) = 50^\circ \).
Bir DEF üçgeninde \( m(\angle D) = 70^\circ \), \( |DE| = 10 \) cm ve \( m(\angle E) = 60^\circ \).
Bu iki üçgen arasında Açı-Kenar-Açı (AKA) benzerliği olup olmadığını ve varsa benzerlik oranını bulunuz.

Çözüm ve Açıklama

Adım 1: Verilen üçgenlerin açılarını ve kenarlarını karşılaştıralım.

ABC üçgeni: \( m(\angle A) = 70^\circ \), \( m(\angle B) = 50^\circ \), \( |AB| = 5 \) cm.
DEF üçgeni: \( m(\angle D) = 70^\circ \), \( m(\angle E) = 60^\circ \), \( |DE| = 10 \) cm.

Adım 2: Açı-Kenar-Açı (AKA) benzerlik kuralını hatırlayalım.

AKA benzerliği için, iki üçgende ikişer açıları eşit olmalı ve bu eşit açılara komşu olan kenarlar orantılı olmalıdır.

Adım 3: Verilen bilgileri AKA kuralına göre inceleyelim.

İki üçgende birer açıları eşittir: \( m(\angle A) = m(\angle D) = 70^\circ \).
Ancak, diğer açıları karşılaştıralım: \( m(\angle B) = 50^\circ \) ve \( m(\angle E) = 60^\circ \). Bu açılar eşit değildir.
AKA benzerliği için en az iki açının eşit olması gerekir. Bizim durumumuzda sadece bir açı eşitliği var.
Ayrıca, eşit olan \( \angle A \) ve \( \angle D \) açılarına komşu olan kenarlara bakalım:

ABC üçgeninde \( \angle A \)'nın komşu kenarları \( |AB| \) ve \( |AC| \)'dir.
DEF üçgeninde \( \angle D \)'nin komşu kenarları \( |DE| \) ve \( |DF| \)'dir.

Verilen kenar \( |AB| = 5 \) cm ve \( |DE| = 10 \) cm'dir. Bu kenarlar, eşit olan \( \angle A \) ve \( \angle D \) açılarının kollarından birer tanesidir.
Bu kenarların oranı: \( \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \).
Ancak, AKA benzerliği için iki açı ve bu iki açı arasındaki kenarın orantılı olması gerekir.
Bizim durumumuzda, \( \angle A \) ve \( \angle B \) arasındaki kenar \( |AB| \)'dir. \( \angle D \) ve \( \angle E \) arasındaki kenar \( |DE| \)'dir.
Açıları karşılaştırdığımızda \( m(\angle A) = m(\angle D) \) ama \( m(\angle B) \neq m(\angle E) \).
Bu nedenle, AKA benzerliği koşulları sağlanmamaktadır.

Adım 4: Sonuç.

Verilen bilgilerle bu iki üçgen arasında Açı-Kenar-Açı (AKA) benzerliği yoktur.

🤔 Neden Benzerlik Yok? AKA benzerliği için iki açı ve bu iki açı arasındaki kenarın orantılı olması şarttır. Bu örnekte, ikinci açı ölçüleri farklı olduğu için benzerlikten bahsedilemez.

Çözümlü Örnek

Yeni Nesil Soru

Bir mühendis, bir köprü ayaklarının tasarımında iki farklı prototip kullanacaktır.
Birinci prototip \( P_1 \) ve ikinci prototip \( P_2 \) olarak adlandırılıyor.
\( P_1 \) prototipinin bir kenarı 15 metre, bu kenara komşu olan diğer kenarı 10 metre ve aralarındaki açı \( 60^\circ \)'dir.
\( P_2 \) prototipinin bir kenarı 22.5 metre, bu kenara komşu olan diğer kenarı 15 metre ve aralarındaki açı \( 60^\circ \)'dir.
Bu iki prototipin benzer olup olmadığını ve benzerse, mühendisin hangi ölçekte çalıştığını açıklayınız.

Çözüm ve Açıklama

Adım 1: Problemi geometrik olarak modelleyelim.

Her iki prototipi de iki kenarı ve aralarındaki açı ile tanımlanan bir şekil olarak düşünebiliriz. Bu, Kenar-Açı-Kenar (KAK) benzerlik kuralına uygun bir durumdur.
\( P_1 \) prototipi: Kenar \( a_1 = 15 \) m, komşu kenar \( b_1 = 10 \) m, aralarındaki açı \( \alpha_1 = 60^\circ \).
\( P_2 \) prototipi: Kenar \( a_2 = 22.5 \) m, komşu kenar \( b_2 = 15 \) m, aralarındaki açı \( \alpha_2 = 60^\circ \).

Adım 2: Benzerlik kurallarını gözden geçirelim.

Kenar-Açı-Kenar (KAK) benzerliği için iki kenarın orantılı ve aralarındaki açının eşit olması gerekir.

Adım 3: Verilen bilgileri KAK benzerlik kuralına göre inceleyelim.

İki prototipte de aralarındaki açı eşittir: \( \alpha_1 = \alpha_2 = 60^\circ \).
Şimdi bu açılara komşu olan kenarların oranına bakalım:

\( P_1 \) için kenarlar \( a_1 = 15 \) m ve \( b_1 = 10 \) m.
\( P_2 \) için kenarlar \( a_2 = 22.5 \) m ve \( b_2 = 15 \) m.

Oranları kontrol edelim:

\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{15}{22.5} \). Bu oranı daha kolay hesaplamak için 22.5'i \( \frac{45}{2} \) olarak yazabiliriz.
\( \frac{15}{\frac{45}{2}} = 15 \times \frac{2}{45} = \frac{30}{45} = \frac{2 \times 15}{3 \times 15} = \frac{2}{3} \)
\( \frac{b_1}{b_2} = \frac{10}{15} = \frac{2 \times 5}{3 \times 5} = \frac{2}{3} \)

Her iki kenar çiftinin oranı da \( \frac{2}{3} \) olarak bulundu.

Adım 4: Sonuç çıkarma.

İki prototipte de aralarındaki açı eşit (\( 60^\circ \)) ve bu açının kollarını oluşturan kenarlar orantılıdır (\( \frac{2}{3} \) oranında).
Bu durum, Kenar-Açı-Kenar (KAK) benzerlik kuralını sağlar.
Dolayısıyla, \( P_1 \) ve \( P_2 \) prototipleri benzerdir.

Adım 5: Mühendisin çalışma ölçeğini belirleme.

Benzerlik oranı, \( P_1 \) prototipinin \( P_2 \) prototipine göre oranıdır.
Bu oran \( \frac{2}{3} \) olarak bulundu.
Bu, \( P_1 \) prototipinin boyutlarının, \( P_2 \) prototipinin boyutlarının \( \frac{2}{3} \) katı olduğu anlamına gelir.
Mühendis, \( P_2 \) prototipini \( \frac{2}{3} \) ölçeğinde küçülterek \( P_1 \) prototipini tasarlamıştır.

🏗️ Mühendislik Uygulaması: Mühendislikte, büyük yapıların veya makinelerin prototipleri tasarlanırken benzerlikten yararlanılır. Bu, maliyetleri düşürür ve test süreçlerini kolaylaştırır. Ölçeklendirme, tasarımın doğruluğunu korumak için kritiktir.

Çözümlü Örnek

Kolay Seviye

Bir ABC üçgeninde \( m(\angle A) = 30^\circ \), \( |AB| = 7 \) cm ve \( m(\angle B) = 70^\circ \).
Bir DEF üçgeninde \( m(\angle D) = 30^\circ \), \( |DE| = 14 \) cm ve \( m(\angle E) = 70^\circ \).
Bu iki üçgen arasında Açı-Kenar-Açı (AKA) benzerliği olup olmadığını ve varsa benzerlik oranını bulunuz.

9. Sınıf Matematik: Açı-kenar-açı benzerliği Çözümlü Örnekler

Örnek 1:

Çözüm:

Adım 1: Üçgenlerin açılarının ölçülerini karşılaştıralım.

ABC üçgeninde \( m(\angle A) = 50^\circ \) ve \( m(\angle B) = 60^\circ \).
DEF üçgeninde \( m(\angle D) = 50^\circ \) ve \( m(\angle E) = 60^\circ \).

Adım 2: İkişer açıları eşit olan üçgenler arasında benzerlik olup olmadığını kontrol edelim.

\( m(\angle A) = m(\angle D) = 50^\circ \)
\( m(\angle B) = m(\angle E) = 60^\circ \)

Adım 3: Açıları eşit olan kenarları belirleyelim.

A açısının karşısındaki kenar \( |BC| \), D açısının karşısındaki kenar \( |EF| \).
B açısının karşısındaki kenar \( |AC| \), E açısının karşısındaki kenar \( |DF| \).
C açısının karşısındaki kenar \( |AB| \), F açısının karşısındaki kenar \( |DE| \).

Adım 4: Açı-Kenar-Açı (AKA) benzerlik kuralını uygulayalım.

İki üçgende ikişer açıları eşit olduğundan ve bu açılara komşu olan kenarların oranına bakmamız gerekir.
A açısı ile B açısı arasındaki kenar \( |AB| \) ve \( |AC| \).
D açısı ile E açısı arasındaki kenar \( |DE| \) ve \( |DF| \).
Bizim elimizde \( |AC| \) ve \( |DF| \) kenarları var. Bu kenarlar, eşit olan A ve D açıları ile B ve E açıları arasındaki kenarlar değildir.
Ancak, AKA kuralı için iki açı ve bu iki açı arasındaki kenarın eşit olması gerekir. Bizim durumumuzda, \( \angle A \) ve \( \angle B \) ile \( \angle D \) ve \( \angle E \) açıları verilmiş.
Bu durumda, üçüncü açıları da bulabiliriz:

ABC üçgeninde \( m(\angle C) = 180^\circ - (50^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \).
DEF üçgeninde \( m(\angle F) = 180^\circ - (50^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \).

Yani, \( m(\angle A) = m(\angle D) \), \( m(\angle B) = m(\angle E) \) ve \( m(\angle C) = m(\angle F) \). Bu durum Açı-Açı-Açı (AAA) benzerliğidir.
AKA benzerliği için, iki açı ve bu iki açı arasında kalan kenarın orantılı olması gerekir.
Elimizdeki \( |AC| \) kenarı, A ve C açıları arasındadır. \( |DF| \) kenarı ise D ve F açıları arasındadır.
Açıları karşılaştırdığımızda \( m(\angle A) = m(\angle D) \) ve \( m(\angle C) = m(\angle F) \).
Bu iki açı arasındaki kenarlar \( |AC| \) ve \( |DF| \) olarak verilmiş.
Şimdi bu kenarların oranına bakalım: \( \frac{|AC|}{|DF|} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \).
Bu durumda, \( \angle A \) ile \( \angle C \) açıları ve bu iki açı arasındaki \( |AC| \) kenarı ile \( \angle D \) ile \( \angle F \) açıları ve bu iki açı arasındaki \( |DF| \) kenarı orantılıdır.
Dolayısıyla, ABC üçgeni ile DEF üçgeni arasında Açı-Kenar-Açı (AKA) benzerliği vardır.

Adım 5: Benzerlik oranını yazalım.

Benzerlik oranı, karşılıklı kenarların oranıdır.
\( \frac{|AC|}{|DF|} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \)
Bu durumda, ABC ~ DEF benzerlik oranı \( \frac{2}{3} \)'tür.

Örnek 2:

Çözüm:

Adım 1: Verilen bilgileri not edelim.

\( |AB| = |DE| \)
\( m(\angle BAC) = m(\angle EDF) \)

Adım 2: AKA benzerlik kuralını hatırlayalım.

AKA benzerliği için iki açı ve bu iki açı arasındaki kenarın orantılı olması gerekir.

Adım 3: Verilen bilgilerle AKA benzerliğini uygulayabilir miyiz diye düşünelim.

Elimizde birer açı eşitliği var: \( m(\angle BAC) = m(\angle EDF) \).
Elimizde birer kenar eşitliği var: \( |AB| = |DE| \).
Ancak, \( |AB| \) kenarı \( \angle BAC \) açısı ile \( \angle ABC \) açısı arasındadır. \( |DE| \) kenarı ise \( \angle EDF \) açısı ile \( \angle DEF \) açısı arasındadır.
AKA benzerliği için, eşit olan açılara komşu olan kenarların orantılı olması gerekir. Yani, \( \angle BAC \) ve \( \angle ABC \) arasındaki \( |AB| \) kenarı ile \( \angle EDF \) ve \( \angle DEF \) arasındaki \( |DE| \) kenarı gibi.
Bizim durumumuzda, \( |AB| \) kenarı \( \angle BAC \) açısının bir koludur. \( |DE| \) kenarı da \( \angle EDF \) açısının bir koludur.
AKA benzerliği için, \( \angle BAC \) ve \( \angle ABC \) arasındaki \( |AB| \) kenarı ile \( \angle EDF \) ve \( \angle DEF \) arasındaki \( |DE| \) kenarının orantılı olması gerekir.
Bizim durumumuzda \( |AB| = |DE| \) olduğundan, bu kenarlar orantılıdır (oranı 1'dir).
Ancak, AKA kuralı için iki açı ve bu iki açı arasındaki kenarın orantılı olması gerekir.
Yani, \( \angle BAC \) ve \( \angle ABC \) arasındaki \( |AB| \) kenarı ile \( \angle EDF \) ve \( \angle DEF \) arasındaki \( |DE| \) kenarı gibi.
Bizim elimizde \( m(\angle BAC) = m(\angle EDF) \) ve \( |AB| = |DE| \) var.
Bu bilgilerle AKA benzerliği kurabilmek için \( m(\angle ABC) = m(\angle DEF) \) olması gerekir.
Bu bilgi verilmediği için, AKA benzerliğini doğrudan kullanamayız.

Adım 4: Diğer benzerlik kurallarını gözden geçirelim.

Kenar-Kenar-Kenar (KKK) benzerliği için üç kenarın da orantılı olması gerekir. Bilgi yok.
Kenar-Açı-Kenar (KAK) benzerliği için iki kenarın orantılı ve aralarındaki açının eşit olması gerekir.
Bizim durumumuzda \( |AB| \) ve \( |AC| \) kenarları ile \( \angle BAC \) açısı ve \( |DE| \) ve \( |DF| \) kenarları ile \( \angle EDF \) açısı verilmiş olsaydı KAK olabilirdi.
Elimizde \( m(\angle BAC) = m(\angle EDF) \) ve \( |AB| = |DE| \) var.
Eğer \( |AC| \) ile \( |DF| \) kenarlarının oranı \( \frac{|AB|}{|DE|} \) oranına eşit olsaydı (yani \( \frac{|AC|}{|DF|} = 1 \)), KAK benzerliği olurdu.
Ancak bu bilgi de verilmemiş.

Adım 5: Sonuç.

Verilen bilgilerle (birer açı eşitliği ve birer kenar eşitliği) iki üçgen arasında kesinlikle Açı-Kenar-Açı (AKA) benzerliği olduğunu söyleyemeyiz.
AKA benzerliği için, iki açı ve bu iki açı arasındaki kenarın orantılı olması gerekir.
Bizim durumumuzda, \( |AB| \) kenarı \( \angle BAC \) açısının bir kenarıdır, \( \angle BAC \) açısının kendisi değildir.
Dolayısıyla, verilen bilgilerle bu iki üçgenin benzer olduğunu söylemek için yeterli veri yoktur.

Örnek 3:

Çözüm:

Adım 1: Problemi daha iyi anlamak için pencere modüllerini geometrik şekiller olarak düşünelim.

Her iki pencere modülünü bir dörtgen olarak düşünebiliriz. Ancak benzerlik kurallarını uygulayabilmek için, verilen kenarlar ve aralarındaki açıları kullanarak üçgenler üzerinden ilerlememiz daha uygun olacaktır.
\( P_1 \) modülü için: Üst kenar \( a_1 = 120 \) cm, sol kenar \( b_1 = 80 \) cm ve aralarındaki açı \( \alpha_1 = 70^\circ \).
\( P_2 \) modülü için: Üst kenar \( a_2 = 180 \) cm, sol kenar \( b_2 = 120 \) cm ve aralarındaki açı \( \alpha_2 = 70^\circ \).

Adım 2: Benzerlik kurallarını gözden geçirelim.

Açı-Kenar-Açı (AKA) benzerliği için iki açı ve bu iki açı arasındaki kenarın orantılı olması gerekir.
Kenar-Açı-Kenar (KAK) benzerliği için iki kenarın orantılı ve aralarındaki açının eşit olması gerekir.

Adım 3: Verilen bilgileri KAK benzerlik kuralına göre inceleyelim.

İki pencere modülünde de aralarındaki açı eşittir: \( \alpha_1 = \alpha_2 = 70^\circ \).
Şimdi bu açılara komşu olan kenarların oranına bakalım:

\( P_1 \) için kenarlar \( a_1 = 120 \) cm ve \( b_1 = 80 \) cm.
\( P_2 \) için kenarlar \( a_2 = 180 \) cm ve \( b_2 = 120 \) cm.

Oranları kontrol edelim:

\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{120}{180} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3} \)
\( \frac{b_1}{b_2} = \frac{80}{120} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \)

Her iki kenar çiftinin oranı da \( \frac{2}{3} \) olarak bulundu.

Adım 4: Sonuç çıkarma.

İki pencere modülünde de aralarındaki açı eşit (\( 70^\circ \)) ve bu açının kollarını oluşturan kenarlar orantılıdır (\( \frac{2}{3} \) oranında).
Bu durum, Kenar-Açı-Kenar (KAK) benzerlik kuralını sağlar.
Dolayısıyla, \( P_1 \) ve \( P_2 \) pencere modülleri benzerdir.

Adım 5: Mimarın çalışma ölçeğini belirleme.

Benzerlik oranı, \( P_1 \) modülünün \( P_2 \) modülüne göre oranıdır.
Bu oran \( \frac{2}{3} \) olarak bulundu.
Bu, \( P_1 \) modülünün boyutlarının, \( P_2 \) modülünün boyutlarının \( \frac{2}{3} \) katı olduğu anlamına gelir.
Mimar, \( P_2 \) modülünü \( \frac{2}{3} \) ölçeğinde küçülterek \( P_1 \) modülünü tasarlamıştır. Veya tam tersi, \( P_1 \) modülünü \( \frac{3}{2} \) ölçeğinde büyüterek \( P_2 \) modülünü elde edebilir.

Örnek 4:

Çözüm:

Adım 1: Üçgenlerin verilen açılarını ve kenarlarını karşılaştıralım.

ABC üçgeni: \( m(\angle A) = 45^\circ \), \( m(\angle B) = 55^\circ \), \( |AB| = 6 \) cm.
DEF üçgeni: \( m(\angle D) = 45^\circ \), \( m(\angle E) = 55^\circ \), \( |DE| = 9 \) cm.

Adım 2: Açı-Kenar-Açı (AKA) benzerlik kuralını hatırlayalım.

AKA benzerliği için, iki üçgende ikişer açıları eşit olmalı ve bu eşit açılara komşu olan kenarlar orantılı olmalıdır.

Adım 3: Verilen bilgileri AKA kuralına göre inceleyelim.

İki üçgende ikişer açıları eşittir:

\( m(\angle A) = m(\angle D) = 45^\circ \)
\( m(\angle B) = m(\angle E) = 55^\circ \)

Şimdi bu eşit açılara komşu olan kenarlara bakalım.
ABC üçgeninde, \( \angle A \) ve \( \angle B \) arasındaki kenar \( |AB| \)'dir.
DEF üçgeninde, \( \angle D \) ve \( \angle E \) arasındaki kenar \( |DE| \)'dir.
Verilen kenarlar \( |AB| = 6 \) cm ve \( |DE| = 9 \) cm'dir.
Bu iki kenarın oranına bakalım: \( \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \).
Eşit açılar (\( \angle A \) ve \( \angle B \), \( \angle D \) ve \( \angle E \)) ve bu açılar arasındaki kenarlar (\( |AB| \) ve \( |DE| \)) hem eşit hem de orantılı olduğundan, bu iki üçgen arasında AKA benzerliği vardır.

Adım 4: Benzerlik oranını yazalım.

Benzerlik oranı, karşılıklı kenarların oranıdır.
\( \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \)
Bu durumda, ABC ~ DEF benzerlik oranı \( \frac{2}{3} \)'tür.

✅ Sonuç: İki üçgen arasında AKA benzerliği vardır ve benzerlik oranı \( \frac{2}{3} \)'tür.

Örnek 5:

Çözüm:

Adım 1: Problemi geometrik olarak modelleyelim.

Her bir bankı bir üçgenin kenarları olarak düşünebiliriz.
Birinci bank: \( |AB| = 2 \) m, \( m(\angle A) = 80^\circ \), \( m(\angle B) = 40^\circ \).
İkinci bank: \( |CD| = 3 \) m, \( m(\angle C) = 80^\circ \), \( m(\angle D) = 40^\circ \).

Adım 2: Açı-Kenar-Açı (AKA) benzerlik kuralını hatırlayalım.

AKA benzerliği için, iki üçgende ikişer açıları eşit olmalı ve bu eşit açılara komşu olan kenarlar orantılı olmalıdır.

Adım 3: Verilen bilgileri AKA kuralına göre inceleyelim.

İki üçgende ikişer açıları eşittir:

\( m(\angle A) = m(\angle C) = 80^\circ \)
\( m(\angle B) = m(\angle D) = 40^\circ \)

Şimdi bu eşit açılara komşu olan kenarlara bakalım.
Birinci bank (ABC üçgeni varsayalım, C noktası D noktasına karşılık gelir): \( \angle A \) ve \( \angle B \) arasındaki kenar \( |AB| \)'dir.
İkinci bank (DEF üçgeni varsayalım, D noktası C noktasına karşılık gelir): \( \angle C \) ve \( \angle D \) arasındaki kenar \( |CD| \)'dir.
Verilen kenarlar \( |AB| = 2 \) m ve \( |CD| = 3 \) m'dir.
Bu iki kenarın oranına bakalım: \( \frac{|AB|}{|CD|} = \frac{2}{3} \).
Eşit açılar (\( \angle A \) ve \( \angle C \), \( \angle B \) ve \( \angle D \)) ve bu açılar arasındaki kenarlar (\( |AB| \) ve \( |CD| \)) hem eşit hem de orantılı olduğundan, bu iki üçgen arasında AKA benzerliği vardır.

Adım 4: Benzerlik oranını yazalım.

Benzerlik oranı, karşılıklı kenarların oranıdır.
\( \frac{|AB|}{|CD|} = \frac{2}{3} \)
Bu durumda, ABC ~ CDE (veya uygun harflendirme ile) benzerlik oranı \( \frac{2}{3} \)'tür.

Örnek 6:

Çözüm:

Adım 1: Verilen üçgenlerin açılarını ve kenarlarını not edelim.

ABC üçgeni: \( m(\angle A) = 60^\circ \), \( m(\angle C) = 50^\circ \), \( |AC| = 10 \) cm.
DEF üçgeni: \( m(\angle D) = 60^\circ \), \( m(\angle F) = 50^\circ \), \( |DF| = 15 \) cm.

Adım 2: Açı-Kenar-Açı (AKA) benzerlik kuralını hatırlayalım.

AKA benzerliği için, iki üçgende ikişer açıları eşit olmalı ve bu eşit açılara komşu olan kenarlar orantılı olmalıdır.

Adım 3: Verilen bilgileri AKA kuralına göre inceleyelim.

İki üçgende ikişer açıları eşittir:

\( m(\angle A) = m(\angle D) = 60^\circ \)
\( m(\angle C) = m(\angle F) = 50^\circ \)

Şimdi bu eşit açılara komşu olan kenarlara bakalım.
ABC üçgeninde, \( \angle A \) ve \( \angle C \) arasındaki kenar \( |AC| \)'dir.
DEF üçgeninde, \( \angle D \) ve \( \angle F \) arasındaki kenar \( |DF| \)'dir.
Verilen kenarlar \( |AC| = 10 \) cm ve \( |DF| = 15 \) cm'dir.
Bu iki kenarın oranına bakalım: \( \frac{|AC|}{|DF|} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \).
Eşit açılar (\( \angle A \) ve \( \angle C \), \( \angle D \) ve \( \angle F \)) ve bu açılar arasındaki kenarlar (\( |AC| \) ve \( |DF| \)) hem eşit hem de orantılı olduğundan, bu iki üçgen arasında AKA benzerliği vardır.

Adım 4: Benzerlik oranını yazalım.

Benzerlik oranı, karşılıklı kenarların oranıdır.
\( \frac{|AC|}{|DF|} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \)
Bu durumda, ABC ~ DEF benzerlik oranı \( \frac{2}{3} \)'tür.

💡 Kavrama Noktası: AKA benzerliği, iki açının ve bu iki açı arasında kalan kenarın orantılı olmasını gerektirir. Bu örnekte, bu koşullar sağlanmaktadır.

Örnek 7:

Çözüm:

Adım 1: Problemi geometrik olarak modelleyelim.

Her iki fotoğrafı da birer dikdörtgen olarak düşünebiliriz. Dikdörtgenlerde tüm iç açılar \( 90^\circ \)'dir.
\( F_1 \) fotoğrafı: Uzun kenar \( a_1 = 20 \) cm, kısa kenar \( b_1 = 15 \) cm, aralarındaki açı \( \alpha_1 = 90^\circ \).
\( F_2 \) fotoğrafı: Uzun kenar \( a_2 = 30 \) cm, kısa kenar \( b_2 = 22.5 \) cm, aralarındaki açı \( \alpha_2 = 90^\circ \).

Adım 2: Benzerlik kurallarını gözden geçirelim.

Açı-Kenar-Açı (AKA) benzerliği için iki açı ve bu iki açı arasındaki kenarın orantılı olması gerekir.
Kenar-Açı-Kenar (KAK) benzerliği için iki kenarın orantılı ve aralarındaki açının eşit olması gerekir.

Adım 3: Verilen bilgileri KAK benzerlik kuralına göre inceleyelim.

İki fotoğrafta da aralarındaki açı eşittir: \( \alpha_1 = \alpha_2 = 90^\circ \).
Şimdi bu açılara komşu olan kenarların oranına bakalım:

\( F_1 \) için kenarlar \( a_1 = 20 \) cm ve \( b_1 = 15 \) cm.
\( F_2 \) için kenarlar \( a_2 = 30 \) cm ve \( b_2 = 22.5 \) cm.

Oranları kontrol edelim:

Uzun kenarların oranı: \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3} \)
Kısa kenarların oranı: \( \frac{b_1}{b_2} = \frac{15}{22.5} \). Bu oranı daha kolay hesaplamak için 22.5'i \( \frac{45}{2} \) olarak yazabiliriz.
\( \frac{15}{\frac{45}{2}} = 15 \times \frac{2}{45} = \frac{30}{45} = \frac{2 \times 15}{3 \times 15} = \frac{2}{3} \)

Her iki kenar çiftinin oranı da \( \frac{2}{3} \) olarak bulundu.

Adım 4: Sonuç çıkarma.

İki fotoğrafta da aralarındaki açı eşit (\( 90^\circ \)) ve bu açının kollarını oluşturan kenarlar orantılıdır (\( \frac{2}{3} \) oranında).
Bu durum, Kenar-Açı-Kenar (KAK) benzerlik kuralını sağlar.
Dolayısıyla, \( F_1 \) ve \( F_2 \) fotoğraflarının boyutları benzerdir.

Adım 5: Fotoğrafçının çalışma ölçeğini belirleme.

Benzerlik oranı, \( F_1 \) fotoğrafının \( F_2 \) fotoğrafına göre oranıdır.
Bu oran \( \frac{2}{3} \) olarak bulundu.
Bu, \( F_1 \) fotoğrafının boyutlarının, \( F_2 \) fotoğrafının boyutlarının \( \frac{2}{3} \) katı olduğu anlamına gelir.
Fotoğrafçı, \( F_2 \) fotoğrafını \( \frac{2}{3} \) ölçeğinde küçülterek \( F_1 \) fotoğrafını hazırlamıştır.

Örnek 8:

Çözüm:

Adım 1: Verilen üçgenlerin açılarını ve kenarlarını karşılaştıralım.

ABC üçgeni: \( m(\angle A) = 70^\circ \), \( m(\angle B) = 50^\circ \), \( |AB| = 5 \) cm.
DEF üçgeni: \( m(\angle D) = 70^\circ \), \( m(\angle E) = 60^\circ \), \( |DE| = 10 \) cm.

Adım 2: Açı-Kenar-Açı (AKA) benzerlik kuralını hatırlayalım.

AKA benzerliği için, iki üçgende ikişer açıları eşit olmalı ve bu eşit açılara komşu olan kenarlar orantılı olmalıdır.

Adım 3: Verilen bilgileri AKA kuralına göre inceleyelim.

İki üçgende birer açıları eşittir: \( m(\angle A) = m(\angle D) = 70^\circ \).
Ancak, diğer açıları karşılaştıralım: \( m(\angle B) = 50^\circ \) ve \( m(\angle E) = 60^\circ \). Bu açılar eşit değildir.
AKA benzerliği için en az iki açının eşit olması gerekir. Bizim durumumuzda sadece bir açı eşitliği var.
Ayrıca, eşit olan \( \angle A \) ve \( \angle D \) açılarına komşu olan kenarlara bakalım:

ABC üçgeninde \( \angle A \)'nın komşu kenarları \( |AB| \) ve \( |AC| \)'dir.
DEF üçgeninde \( \angle D \)'nin komşu kenarları \( |DE| \) ve \( |DF| \)'dir.

Verilen kenar \( |AB| = 5 \) cm ve \( |DE| = 10 \) cm'dir. Bu kenarlar, eşit olan \( \angle A \) ve \( \angle D \) açılarının kollarından birer tanesidir.
Bu kenarların oranı: \( \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \).
Ancak, AKA benzerliği için iki açı ve bu iki açı arasındaki kenarın orantılı olması gerekir.
Bizim durumumuzda, \( \angle A \) ve \( \angle B \) arasındaki kenar \( |AB| \)'dir. \( \angle D \) ve \( \angle E \) arasındaki kenar \( |DE| \)'dir.
Açıları karşılaştırdığımızda \( m(\angle A) = m(\angle D) \) ama \( m(\angle B) \neq m(\angle E) \).
Bu nedenle, AKA benzerliği koşulları sağlanmamaktadır.

Adım 4: Sonuç.

Verilen bilgilerle bu iki üçgen arasında Açı-Kenar-Açı (AKA) benzerliği yoktur.

Örnek 9:

Çözüm:

Adım 1: Problemi geometrik olarak modelleyelim.

Her iki prototipi de iki kenarı ve aralarındaki açı ile tanımlanan bir şekil olarak düşünebiliriz. Bu, Kenar-Açı-Kenar (KAK) benzerlik kuralına uygun bir durumdur.
\( P_1 \) prototipi: Kenar \( a_1 = 15 \) m, komşu kenar \( b_1 = 10 \) m, aralarındaki açı \( \alpha_1 = 60^\circ \).
\( P_2 \) prototipi: Kenar \( a_2 = 22.5 \) m, komşu kenar \( b_2 = 15 \) m, aralarındaki açı \( \alpha_2 = 60^\circ \).

Adım 2: Benzerlik kurallarını gözden geçirelim.

Kenar-Açı-Kenar (KAK) benzerliği için iki kenarın orantılı ve aralarındaki açının eşit olması gerekir.

Adım 3: Verilen bilgileri KAK benzerlik kuralına göre inceleyelim.

İki prototipte de aralarındaki açı eşittir: \( \alpha_1 = \alpha_2 = 60^\circ \).
Şimdi bu açılara komşu olan kenarların oranına bakalım:

\( P_1 \) için kenarlar \( a_1 = 15 \) m ve \( b_1 = 10 \) m.
\( P_2 \) için kenarlar \( a_2 = 22.5 \) m ve \( b_2 = 15 \) m.

Oranları kontrol edelim:

\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{15}{22.5} \). Bu oranı daha kolay hesaplamak için 22.5'i \( \frac{45}{2} \) olarak yazabiliriz.
\( \frac{15}{\frac{45}{2}} = 15 \times \frac{2}{45} = \frac{30}{45} = \frac{2 \times 15}{3 \times 15} = \frac{2}{3} \)
\( \frac{b_1}{b_2} = \frac{10}{15} = \frac{2 \times 5}{3 \times 5} = \frac{2}{3} \)

Her iki kenar çiftinin oranı da \( \frac{2}{3} \) olarak bulundu.

Adım 4: Sonuç çıkarma.

İki prototipte de aralarındaki açı eşit (\( 60^\circ \)) ve bu açının kollarını oluşturan kenarlar orantılıdır (\( \frac{2}{3} \) oranında).
Bu durum, Kenar-Açı-Kenar (KAK) benzerlik kuralını sağlar.
Dolayısıyla, \( P_1 \) ve \( P_2 \) prototipleri benzerdir.

Adım 5: Mühendisin çalışma ölçeğini belirleme.

Benzerlik oranı, \( P_1 \) prototipinin \( P_2 \) prototipine göre oranıdır.
Bu oran \( \frac{2}{3} \) olarak bulundu.
Bu, \( P_1 \) prototipinin boyutlarının, \( P_2 \) prototipinin boyutlarının \( \frac{2}{3} \) katı olduğu anlamına gelir.
Mühendis, \( P_2 \) prototipini \( \frac{2}{3} \) ölçeğinde küçülterek \( P_1 \) prototipini tasarlamıştır.

Örnek 10:

Çözüm:

Adım 1: Verilen üçgenlerin açılarını ve kenarlarını karşılaştıralım.

ABC üçgeni: \( m(\angle A) = 30^\circ \), \( m(\angle B) = 70^\circ \), \( |AB| = 7 \) cm.
DEF üçgeni: \( m(\angle D) = 30^\circ \), \( m(\angle E) = 70^\circ \), \( |DE| = 14 \) cm.

Adım 2: Açı-Kenar-Açı (AKA) benzerlik kuralını hatırlayalım.

AKA benzerliği için, iki üçgende ikişer açıları eşit olmalı ve bu eşit açılara komşu olan kenarlar orantılı olmalıdır.

Adım 3: Verilen bilgileri AKA kuralına göre inceleyelim.

İki üçgende ikişer açıları eşittir:

\( m(\angle A) = m(\angle D) = 30^\circ \)
\( m(\angle B) = m(\angle E) = 70^\circ \)

Şimdi bu eşit açılara komşu olan kenarlara bakalım.
ABC üçgeninde, \( \angle A \) ve \( \angle B \) arasındaki kenar \( |AB| \)'dir.
DEF üçgeninde, \( \angle D \) ve \( \angle E \) arasındaki kenar \( |DE| \)'dir.
Verilen kenarlar \( |AB| = 7 \) cm ve \( |DE| = 14 \) cm'dir.
Bu iki kenarın oranına bakalım: \( \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} \).
Eşit açılar (\( \angle A \) ve \( \angle B \), \( \angle D \) ve \( \angle E \)) ve bu açılar arasındaki kenarlar (\( |AB| \) ve \( |DE| \)) hem eşit hem de orantılı olduğundan, bu iki üçgen arasında AKA benzerliği vardır.

Adım 4: Benzerlik oranını yazalım.

Benzerlik oranı, karşılıklı kenarların oranıdır.
\( \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} \)
Bu durumda, ABC ~ DEF benzerlik oranı \( \frac{1}{2} \)'tür.

✅ Sonuç: İki üçgen arasında AKA benzerliği vardır ve benzerlik oranı \( \frac{1}{2} \)'tür.

Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun

https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-aci-kenar-aci-benzerligi/sorular

İçerik Hazırlanıyor...

Lütfen sayfayı kapatmayın, bu işlem 30-40 saniye sürebilir.

💡 9. Sınıf Matematik: Açı-kenar-açı benzerliği Çözümlü Örnekler

9. Sınıf Matematik: Açı-kenar-açı benzerliği Çözümlü Örnekler

İçerik Hazırlanıyor...