💡 9. Sınıf Matematik: 1. Dönem 2. Yazılı Maarif Modeli Açık Uçlu Fonksiyon Soruları Çözümlü Örnekler

Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için ✌️ iki temel şartı sağlaması gerekir:

• 1. Şart: Tanım kümesindeki (burada \( A \)) her eleman, değer kümesinden (burada \( B \)) yalnızca bir elemanla eşleşmelidir. Tanım kümesinde açıkta eleman kalmamalıdır.
• 2. Şart: Tanım kümesindeki bir eleman, değer kümesinden birden fazla elemanla eşleşemez.

Şimdi verilen bağıntıları inceleyelim: 👇

• I. Bağıntı \( f \):
  • \( f = \{(1, a), (2, b), (3, c), (1, c)\} \)
  • Bu bağıntıda \( A \) kümesinin elemanı olan \( 1 \), hem \( a \) hem de \( c \) ile eşleşmiştir. ❌ Bu durum, fonksiyonun ikinci şartına aykırıdır. Bu yüzden \( f \) bir fonksiyon değildir.
• II. Bağıntı \( g \):
  • \( g = \{(1, a), (2, b)\} \)
  • Bu bağıntıda \( A \) kümesinin elemanı olan \( 3 \), hiçbir elemanla eşleşmemiştir (açıkta kalmıştır). ❌ Bu durum, fonksiyonun birinci şartına aykırıdır. Bu yüzden \( g \) bir fonksiyon değildir.
• III. Bağıntı \( h \):
  • \( h = \{(1, a), (2, b), (3, a)\} \)
  • Tanım kümesindeki her eleman (1, 2, 3) değer kümesinden sadece bir elemanla eşleşmiştir. 💡 (1 ile \( a \), 2 ile \( b \), 3 ile \( a \)). Tanım kümesinde açıkta eleman kalmamıştır. ✅ Bu bağıntı, fonksiyon olma şartlarını sağlamaktadır.

Sonuç olarak, yalnızca III. bağıntı bir fonksiyondur. 🎉

Verilen fonksiyon kuralı \( f(x) = 3x - 5 \) şeklindedir. Fonksiyonun değerini bulmak için \( x \) yerine istenen değeri yazmamız yeterlidir. 📝

• \( f(4) \) değerini bulalım:
  Fonksiyon kuralında \( x \) yerine \( 4 \) yazalım. 👇 \[ f(4) = 3 \cdot 4 - 5 \] \[ f(4) = 12 - 5 \] \[ f(4) = 7 \] Yani, \( f(4) \) değeri 7'dir. ✅
• \( f(a+1) \) değerini bulalım:
  Fonksiyon kuralında \( x \) yerine \( a+1 \) yazalım. 💡 Parantez kullanımına dikkat edelim! \[ f(a+1) = 3 \cdot (a+1) - 5 \] Şimdi denklemi dağıtarak ve düzenleyerek devam edelim: \[ f(a+1) = 3a + 3 - 5 \] \[ f(a+1) = 3a - 2 \] Yani, \( f(a+1) \) değeri \( 3a - 2 \)'dir. ✅

Bir fonksiyonun sabit fonksiyon olması demek, tanım kümesindeki her elemanı değer kümesindeki aynı tek bir elemana eşlemesi demektir. Başka bir deyişle, fonksiyonun kuralında \( x \) değişkeni bulunmamalıdır. ☝️
Verilen fonksiyon \( f(x) = (a-2)x + b+3 \) şeklindedir.

• Bu fonksiyonun sabit fonksiyon olabilmesi için \( x \)'li terimin katsayısı sıfır olmalıdır. Yani, \( (a-2) \) ifadesi \( 0 \) olmalıdır. \[ a-2 = 0 \] Buradan \( a \) değerini buluruz: \[ a = 2 \]
• \( x \)'li terim sıfır olduğunda fonksiyonumuz \( f(x) = b+3 \) şekline dönüşür. Bu durumda fonksiyonun değeri sadece \( b+3 \) sabit sayısına eşit olur.
• Soru bizden \( a \cdot b \) çarpımını istediği için \( b \) değerini de bilmemiz gerekir. Ancak sabit fonksiyon tanımında \( b \) için belirli bir değer söylenmez, sadece \( x \)'li terim olmaması gerektiği vurgulanır. Soruda \( b \) ile ilgili başka bir bilgi verilmediği için, \( b \) herhangi bir gerçek sayı olabilir. Ancak standart bir yazılı sorusunda genellikle \( b \) için de bir ipucu verilir veya \( b \) değeri çarpım sonucunu etkilemeyecek şekilde bir sabit değer olarak sorulur. Eğer \( b \) için bir koşul yoksa, \( a \cdot b \) çarpımının sonucunu kesin olarak bulamayız.
  🚨 Önemli Not: Genellikle bu tür sorularda \( b \) de bir sabit sayı olarak kalır ve fonksiyonun sabit değeri \( b+3 \) olur. Eğer soru \( f(x) = c \) şeklinde bir sabit değer isteseydi, o zaman \( b+3 = c \) derdik. Bu soruda sadece \( a \) değerini bularak \( x \)'li terimi yok ediyoruz. \( b \) değeri herhangi bir gerçek sayı olabilir.
  Ancak, eğer soru eksik değilse ve bizden \( a \cdot b \) çarpımının tek bir sayısal değerini bulmamız isteniyorsa, bu durumda \( b \) için de bir değer olması beklenir. Varsayalım ki soru yazarı \( b \) değerinin de belirli olmasını istemiştir ve bu birim fonksiyonla karıştırılmış olsaydı \( f(x)=x \) veya \( f(x)=c \) şeklinde bir sabit değer olmalıydı.
  Düzeltme ve Varsayım: 9. sınıf müfredatında sabit fonksiyonlar için \( f(x) = c \) ifadesi kullanılır. Bu durumda \( a-2=0 \) olmalıdır. \( b+3 \) ise fonksiyonun sabit değeridir ve bu değer herhangi bir gerçek sayı olabilir. Eğer soru, \( b \) için bir değer belirtmiyorsa, \( a \cdot b \) çarpımı için tek bir sayısal cevap verilemez.
  Fakat yazılı sorularında bu tür durumlar genellikle \( b \) değerinin de bir şekilde belirlenmesini gerektirir. Örneğin, "sabit fonksiyonun değeri 5 ise..." gibi. Burada öyle bir bilgi yok.
  En olası senaryo: Sadece \( a \) değerini bulup \( b \) için herhangi bir sayısal değer verilmediği için çarpımı \( 2 \cdot b \) şeklinde bırakmak. Ancak açık uçlu bir sınavda tam bir sayısal cevap beklenir.
  Eğer sorunun kurgusu "sabit fonksiyonun değeri 0'dır" gibi bir şey ima etmiyorsa, \( b \) hakkında bir bilgi yoksa, \( a \cdot b \) ifadesi \( 2b \) olarak kalır.
  En kabul edilebilir çözüm (eğer \( b \) için bir kısıtlama yoksa): \[ a = 2 \] \( b \) herhangi bir gerçek sayı olabilir. \[ a \cdot b = 2 \cdot b \]
  Alternatif Yorum (Soru yazarı tarafından ima edilen ama belirtilmeyen): Eğer sabit fonksiyonun değeri 0 olsaydı \( b+3=0 \Rightarrow b=-3 \) olurdu. Ama bu bir varsayım.
  📌 Önemli: 9. sınıf müfredatında sabit fonksiyonun tanımı sadece \( x \) teriminin katsayısının sıfır olmasıdır. \( b \) hakkında ek bilgi verilmedikçe, \( b \) herhangi bir gerçek sayı olabilir. Bu yüzden \( a \cdot b \) çarpımı \( 2b \) olarak kalır. Ancak çoğu yazılı sorusunda, böyle bir durumda \( b \) için de bir değer çıkacak şekilde soru kurgulanır (örneğin \( f(x) \) birim fonksiyondur gibi).
  Bu durumda en doğru cevap: \( a = 2 \). \( b \) hakkında bilgi verilmediği için \( a \cdot b = 2b \) olarak ifade edilir.
  Yine de, eğer kesin bir sayı bekleniyorsa, soruda bir eksiklik vardır. Yazılıya yönelik en pratik yaklaşım, \( b \) hakkında bir bilgi olmasa da \( a \) değerini doğru bulmaktır.

Fonksiyonlarda dört işlem yapılırken, fonksiyonların kuralları üzerinde doğrudan işlem yaparız. 🚀

• \( (f+g)(x) \) fonksiyonunu bulalım:
  İki fonksiyonun toplamı, kural olarak fonksiyonların kurallarının toplamına eşittir. \[ (f+g)(x) = f(x) + g(x) \] Verilen \( f(x) \) ve \( g(x) \) kurallarını yerine yazalım: \[ (f+g)(x) = (2x+1) + (x-3) \] Parantezleri açıp benzer terimleri toplayalım: \[ (f+g)(x) = 2x + 1 + x - 3 \] \[ (f+g)(x) = (2x+x) + (1-3) \] \[ (f+g)(x) = 3x - 2 \] Yani, \( (f+g)(x) = 3x - 2 \) fonksiyonudur. ✅
• \( (f-g)(x) \) fonksiyonunu bulalım:
  İki fonksiyonun farkı, kural olarak fonksiyonların kurallarının farkına eşittir. Dikkat: \( g(x) \) ifadesini çıkarma işlemi yaparken parantez içine almayı unutmayın! \[ (f-g)(x) = f(x) - g(x) \] Verilen \( f(x) \) ve \( g(x) \) kurallarını yerine yazalım: \[ (f-g)(x) = (2x+1) - (x-3) \] Şimdi parantezleri açalım. Eksi işareti \( (x-3) \) ifadesinin her terimini etkileyecektir: \[ (f-g)(x) = 2x + 1 - x + 3 \] Benzer terimleri toplayalım: \[ (f-g)(x) = (2x-x) + (1+3) \] \[ (f-g)(x) = x + 4 \] Yani, \( (f-g)(x) = x + 4 \) fonksiyonudur. ✅

Bu bir günlük hayat problemi olup, fonksiyonlar yardımıyla çözülecektir. 💡
Fonksiyonumuz \( B(t) = 5t + 10 \) ve \( B(t) \), \( t \) gün sonraki balık sayısını gösteriyor.
Bizden balık sayısının ilk defa 100'ü geçtiği günü bulmamız isteniyor. Bu durumda \( B(t) > 100 \) eşitsizliğini çözmemiz gerekir. 🐳

• Eşitsizliği kuralım: \[ 5t + 10 > 100 \]
• Eşitsizliği çözelim: Önce \( 10 \) sayısını eşitsizliğin sağ tarafına atalım: \[ 5t > 100 - 10 \] \[ 5t > 90 \] Şimdi her iki tarafı \( 5 \) ile bölelim: \[ \frac{5t}{5} > \frac{90}{5} \] \[ t > 18 \]
• Sonucu yorumlayalım:
  \( t > 18 \) demek, 18. günden sonraki herhangi bir günde balık sayısının 100'ü geçeceği anlamına gelir. İlk defa 100'ü geçtiği gün sorulduğu için, 18. günden sonraki ilk tam sayı gün olan 19. gün balık sayısı 100'ü geçmiş olacaktır. 🎉

Cevap: Akvaryumdaki balık sayısı ilk defa 100'ü geçtiğinde 19 gün geçmiş olur. ✅

Verilen fonksiyon \( T(x) = 2x + 1,5 \) olup, \( x \) elmanın kilogram fiyatını değil, alınan elma miktarını (kg) temsil etmelidir ki ödenen tutar doğru hesaplansın. Sorunun kurgusunda "kilogram fiyatı \( x \) TL" ifadesi kafa karıştırıcı olabilir. Fonksiyonun genel yapısına bakıldığında \( x \)'in alınan miktar olması daha mantıklıdır. 📌 Bu tür sorularda netlik çok önemlidir.

Varsayım: \( x \) alınan elma miktarını (kg) temsil etmektedir. Aksi takdirde, kilogram fiyatı \( x \) ise ve fonksiyon \( T(x) = 2x + 1,5 \) ise, bu fonksiyon 2 kg elma alındığında ödenen tutarı \( x \) kilogram fiyatı cinsinden ifade ederdi, bu da anlamsız olurdu. Bu yüzden, \( x \)'in "alınan elma miktarı (kg)" olduğunu varsayarak ilerliyoruz.
Fonksiyon: \( T(x) = 2x + 1,5 \)
Burada:

• \( x \): Alınan elma miktarı (kilogram)
• \( T(x) \): Ödenen toplam tutar (TL)

Şimdi soruları cevaplayalım:

• Bir müşteri 3 kg elma alırsa kaç TL öder?
  Bu durumda \( x = 3 \) olmalıdır. Fonksiyonda \( x \) yerine \( 3 \) yazalım: \[ T(3) = 2 \cdot 3 + 1,5 \] \[ T(3) = 6 + 1,5 \] \[ T(3) = 7,5 \] Müşteri 3 kg elma alırsa 7,5 TL öder. ✅
• Bir müşteri toplam 16,5 TL ödediyse kaç kg elma almıştır?
  Bu durumda \( T(x) = 16,5 \) olmalıdır. Fonksiyonu \( 16,5 \) eşitleyip \( x \) değerini bulalım: \[ 2x + 1,5 = 16,5 \] Şimdi denklemi çözelim. \( 1,5 \) sayısını sağ tarafa atalım: \[ 2x = 16,5 - 1,5 \] \[ 2x = 15 \] Her iki tarafı \( 2 \) ile bölelim: \[ x = \frac{15}{2} \] \[ x = 7,5 \] Müşteri toplam 16,5 TL ödediyse 7,5 kg elma almıştır. ✅

Bu soru, bir fonksiyonun grafiği üzerinden tanım ve görüntü kümesini yorumlama becerisini ölçmektedir. 📈
Verilen bilgilere göre, fonksiyonun grafiği \( (-2, 4) \) noktasından \( (3, -1) \) noktasına kadar uzanan bir doğru parçasıdır.

• Tanım Kümesi (Domain):
  Tanım kümesi, fonksiyonun grafiğinin \( x \)-ekseni üzerindeki izdüşümüdür. Yani, grafiğin hangi \( x \) değerleri için var olduğunu gösterir. 🎯
  Grafik, \( x = -2 \) noktasından başlayıp \( x = 3 \) noktasına kadar devam etmektedir. Başlangıç ve bitiş noktaları dahil olduğu için kapalı aralık kullanırız.
  Tanım Kümesi = \( [-2, 3] \) veya \( \{x \in \mathbb{R} \mid -2 \le x \le 3\} \) ✅
• Görüntü Kümesi (Range):
  Görüntü kümesi, fonksiyonun grafiğinin \( y \)-ekseni üzerindeki izdüşümüdür. Yani, grafiğin hangi \( y \) değerlerini aldığını gösterir. 🎯
  Grafikteki \( y \) değerleri en yüksek \( y = 4 \) noktasından başlayıp en düşük \( y = -1 \) noktasına kadar inmektedir. Başlangıç ve bitiş noktaları dahil olduğu için kapalı aralık kullanırız.
  Görüntü Kümesi = \( [-1, 4] \) veya \( \{y \in \mathbb{R} \mid -1 \le y \le 4\} \) ✅

Bir fonksiyonun birim fonksiyon olması demek, tanım kümesindeki her elemanı kendisine eşlemesi demektir. Yani, \( f(x) = x \) olmalıdır. ✨
Verilen fonksiyon \( f(x) = (m-1)x^2 + (n+2)x + 5 \) şeklindedir.
Bu fonksiyonun \( f(x) = x \) olabilmesi için aşağıdaki şartları sağlaması gerekir:

• 1. Şart: \( x^2 \) terimi olmamalıdır. Bu yüzden \( x^2 \)'nin katsayısı \( 0 \) olmalıdır. \[ m-1 = 0 \] Buradan \( m \) değerini buluruz: \[ m = 1 \]
• 2. Şart: \( x \) teriminin katsayısı \( 1 \) olmalıdır. \[ n+2 = 1 \] Buradan \( n \) değerini buluruz: \[ n = 1 - 2 \] \[ n = -1 \]
• 3. Şart: Sabit terim olmamalıdır (yani \( 0 \) olmalıdır). Verilen fonksiyonda sabit terim \( 5 \)'tir. ❌ Bu durum, sorunun kurgusunda bir hata veya eksiklik olduğunu gösterir. Birim fonksiyonun sabit terimi 0 olmalıdır.
  🚨 Önemli Not: 9. sınıf müfredatında birim fonksiyonun tanımı \( f(x) = x \) şeklindedir. Eğer bir fonksiyonda sabit terim varsa ve bu sıfırdan farklıysa, o fonksiyon birim fonksiyon olamaz.
  Ancak, bu tür "yazılı" sorularında bazen "birim fonksiyon gibi davrandığı durum" veya "birim fonksiyon olması için ne olmalı" gibi bir imayla sorulur ve öğrencinin \( x^2 \) ve sabit terimi sıfırlayıp \( x \) teriminin katsayısını 1 yapması beklenir.
  Eğer soruyu "Bu fonksiyonun birim fonksiyon olabilmesi için \( m \) ve \( n \) ne olmalıdır?" şeklinde yorumlarsak, o zaman sabit terim \( 5 \) olduğu için bu fonksiyon hiçbir zaman tam olarak birim fonksiyon olamaz.
  Yazılıya yönelik en olası yorum: Öğrenciden \( x^2 \) katsayısını sıfırlaması ve \( x \) katsayısını 1 yapması beklenir. Sabit terim \( 5 \) olduğu için bu fonksiyon asla tam bir birim fonksiyon olamaz. Ancak, eğer bu bir "açık uçlu" soru ise, bu durumu belirtmek önemlidir.
  Çözümün Devamı (Soru yazarı tarafından beklenen): Eğer soru, sadece \( m \) ve \( n \) değerlerini, fonksiyonu olabildiğince birim fonksiyona benzetmek amacıyla sorulmuşsa (sabit terim göz ardı edilerek), o zaman: \[ m = 1 \] \[ n = -1 \] Bizden \( m+n \) toplamını bulmamız isteniyor: \[ m+n = 1 + (-1) \] \[ m+n = 0 \]
  Açıklama: Bu fonksiyon, sabit terim \( 5 \) olduğu için matematiksel olarak kesinlikle bir birim fonksiyon değildir. Birim fonksiyon \( f(x) = x \) şeklindedir. Ancak, eğer soru bu haliyle sorulmuş ve bir cevap bekleniyorsa, genellikle \( x^2 \) ve sabit terimin katsayılarını sıfırlayıp \( x \) teriminin katsayısını 1 yapmaya yönelik bir kurgu vardır. Bu durumda \( m=1 \) ve \( n=-1 \) bulunur. Öğrencinin bu çelişkiyi fark edip not düşmesi veya verilen şartlara göre çözüm yapması beklenir. Bu bağlamda \( m+n = 0 \) cevabı verilmelidir. ✅

Bu bir günlük hayat problemi olup, doğrusal fonksiyonlar yardımıyla modellenebilir. 🛣️

• Fonksiyonu oluşturalım:
  Açılış ücreti sabit bir giderdir ve yolculuk yapmasak bile ödenir. Kilometre başına alınan ücret ise gidilen yol miktarına bağlıdır.
  Gidilen yolu \( x \) (kilometre) ve toplam ücreti \( T(x) \) (TL) olarak adlandıralım.
  Sabit ücret: 15 TL
  Kilometre başına ücret: 8 TL
  
  Bu durumda, \( x \) kilometre yol gidildiğinde, kilometre başına düşen ücret \( 8 \cdot x \) TL olacaktır. Toplam ücret, bu değişken ücrete sabit açılış ücretinin eklenmesiyle bulunur. \[ T(x) = 8x + 15 \] Bu fonksiyon, taksinin ücretlendirme durumunu modellemektedir. ✅
• 12 kilometre yol giden bir kişinin kaç TL ödeyeceğini bulalım:
  Bu durumda, fonksiyonumuzda \( x \) yerine \( 12 \) yazmamız gerekir. \[ T(12) = 8 \cdot 12 + 15 \] Önce çarpma işlemini yapalım: \[ T(12) = 96 + 15 \] Şimdi toplama işlemini yapalım: \[ T(12) = 111 \] Yani, 12 kilometre yol giden bir kişi 111 TL öder. ✅