1. Dönem 2. Yazılı Maarif Modeli Açık Uçlu Fonksiyon Soruları Ders Notu

Bu ders notunda, 9. Sınıf Matematik dersi 1. Dönem 2. Yazılı sınavına yönelik Maarif Modeli açık uçlu fonksiyon soruları ve bu sorulara nasıl yaklaşılması gerektiği detaylı bir şekilde ele alınmaktadır. Fonksiyon kavramı, gösterimi, türleri ve temel işlemleri MEB müfredatı sınırları içinde açıklanmıştır.

Fonksiyon Kavramı ve Gösterimi 📚

Matematikte fonksiyon, belirli bir kurala göre bir kümenin elemanlarını başka bir kümenin elemanlarına eşleyen özel bir bağıntıdır. Her bir giriş değerine karşılık yalnızca bir çıkış değeri bulunur.

Fonksiyon Nedir?

• Tanım Kümesi (Domain): Fonksiyonun girdi olarak alabileceği tüm elemanların kümesidir. Genellikle \(A\) ile gösterilir.
• Değer Kümesi (Codomain): Fonksiyonun çıktı olarak üretebileceği tüm elemanların kümesidir. Genellikle \(B\) ile gösterilir.
• Görüntü Kümesi (Range): Tanım kümesindeki elemanların fonksiyon altındaki görüntülerinden oluşan kümedir. Değer kümesinin bir alt kümesidir ve \(f(A)\) ile gösterilir.

Bir \(f\) fonksiyonu, \(A\) kümesinden \(B\) kümesine tanımlanırken \(f: A \to B\) şeklinde gösterilir. Burada \(x \in A\) için \(y = f(x) \in B\) olur.

Fonksiyonlarda Değer Bulma

Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki değerini bulmak için, fonksiyondaki değişken yerine o nokta yazılır.

Örnek: \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = 3x - 5\) fonksiyonu veriliyor. \(f(2)\) ve \(f(-1)\) değerlerini bulunuz.
Çözüm:
\(f(2) = 3 \cdot (2) - 5 = 6 - 5 = 1\)
\(f(-1) = 3 \cdot (-1) - 5 = -3 - 5 = -8\)

Fonksiyon Türleri (Kısaca)

• Sabit Fonksiyon: Tanım kümesindeki her elemanı değer kümesindeki tek bir elemana eşleyen fonksiyondur. Örneğin, \(f(x) = c\) (c bir sabit sayı).
• Birim (Özdeşlik) Fonksiyonu: Tanım kümesindeki her elemanı kendisine eşleyen fonksiyondur. \(f(x) = x\) şeklinde gösterilir. \(I(x)\) ile de ifade edilebilir.
• Birebir (İnjeksiyon) Fonksiyon: Tanım kümesindeki farklı elemanları, değer kümesindeki farklı elemanlara eşleyen fonksiyondur. Yani, \(x_1 \neq x_2\) iken \(f(x_1) \neq f(x_2)\) olur.
• Örten (Sürjeksiyon) Fonksiyon: Görüntü kümesi ile değer kümesi eşit olan fonksiyondur. Yani, \(f(A) = B\) ise \(f\) örtendir. Değer kümesinde açıkta eleman kalmaz.
• İçine Fonksiyon: Örten olmayan fonksiyondur. Yani, değer kümesinde görüntü kümesinin dışında en az bir eleman kalır.
• Sıfır Fonksiyonu: Tanım kümesindeki her elemanı sıfıra eşleyen fonksiyondur. \(f(x) = 0\).

Fonksiyonlarla İşlemler ➕➖✖️➗

İki fonksiyonun tanım kümelerinin kesişimi boş küme değilse, bu fonksiyonlar üzerinde toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri yapılabilir.

Verilen \(f: A \to \mathbb{R}\) ve \(g: B \to \mathbb{R}\) fonksiyonları için, tanım kümesi \(A \cap B\) olmak üzere:

• Toplama: \((f + g)(x) = f(x) + g(x)\)
• Çıkarma: \((f - g)(x) = f(x) - g(x)\)
• Çarpma: \((f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)\)
• Bölme: \(\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\), burada \(g(x) \neq 0\) olmalıdır.

Örnek: \(f(x) = 2x + 1\) ve \(g(x) = x - 3\) fonksiyonları veriliyor. \((f+g)(x)\) ve \((f \cdot g)(2)\) değerlerini bulunuz.
Çözüm:
\((f+g)(x) = f(x) + g(x) = (2x+1) + (x-3) = 3x - 2\)
\((f \cdot g)(2) = f(2) \cdot g(2)\)
\(f(2) = 2 \cdot (2) + 1 = 5\)
\(g(2) = 2 - 3 = -1\)
\((f \cdot g)(2) = 5 \cdot (-1) = -5\)

Maarif Modeli Açık Uçlu Fonksiyon Soruları ✨

Soru 1

\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) olmak üzere, \(f(x) = (a-2)x + 5\) fonksiyonu bir sabit fonksiyon olduğuna göre, \(f(10)\) değerini bulunuz. Çözüm adımlarını açıklayınız.

Çözüm:
Bir fonksiyonun sabit fonksiyon olması demek, tanım kümesindeki her elemanı aynı sabit sayıya eşlemesi demektir. Bu durumda \(x\) değişkenli terim bulunmamalıdır.
Verilen \(f(x) = (a-2)x + 5\) fonksiyonunda, \(x\) teriminin katsayısı olan \(a-2\) sıfır olmalıdır.
\(a-2 = 0 \implies a = 2\)
\(a\) yerine 2 yazdığımızda fonksiyon:
\(f(x) = (2-2)x + 5 \implies f(x) = 0x + 5 \implies f(x) = 5\) olur.
Fonksiyon \(f(x) = 5\) olduğuna göre, tanım kümesindeki hangi elemanı alırsak alalım, görüntüsü daima 5 olacaktır.
Bu nedenle, \(f(10) = 5\)'tir.

Soru 2

Aşağıda verilen bağıntılardan hangilerinin bir fonksiyon belirtip belirtmediğini açıklayınız. Fonksiyon olmayanlar için nedenini belirtiniz.

1. \(\beta_1: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}\), \(\beta_1(x) = x - 3\)
2. \(\beta_2: \mathbb{Z} \to \mathbb{N}\), \(\beta_2(x) = |x|\)
3. \(\beta_3: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(\beta_3(x) = \frac{1}{x-2}\)

Çözüm:
Bir bağıntının fonksiyon olması için iki temel şart vardır:

1. Tanım kümesindeki her elemanın bir görüntüsü olmalıdır. (Tanımsızlık olmamalıdır)
2. Tanım kümesindeki her elemanın yalnızca bir görüntüsü olmalıdır. (Bir elemanın iki farklı görüntüsü olmamalıdır)

1. \(\beta_1: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}\), \(\beta_1(x) = x - 3\)
\(\mathbb{N}\) doğal sayılar kümesi \(\{0, 1, 2, 3, ...\}\) olarak kabul edilirse:
\(x=0\) için \(\beta_1(0) = 0 - 3 = -3\). \(-3 \in \mathbb{Z}\) (Değer kümesinde).
\(x=1\) için \(\beta_1(1) = 1 - 3 = -2\). \(-2 \in \mathbb{Z}\).
Tanım kümesindeki her doğal sayı için \(x-3\) işlemi sonucunda bir tam sayı elde edilir ve her elemanın tek bir görüntüsü vardır. Dolayısıyla bu bir fonksiyondur.

2. \(\beta_2: \mathbb{Z} \to \mathbb{N}\), \(\beta_2(x) = |x|\)
\(\mathbb{Z}\) tam sayılar kümesi \(\{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}\) ve \(\mathbb{N}\) doğal sayılar kümesi \(\{0, 1, 2, ...\}\) olarak kabul edilirse:
\(x=-2\) için \(\beta_2(-2) = |-2| = 2\). \(2 \in \mathbb{N}\).
\(x=0\) için \(\beta_2(0) = |0| = 0\). \(0 \in \mathbb{N}\).
\(x=3\) için \(\beta_2(3) = |3| = 3\). \(3 \in \mathbb{N}\).
Tanım kümesindeki her tam sayının mutlak değeri bir doğal sayıdır ve her tam sayının tek bir mutlak değeri vardır. Dolayısıyla bu bir fonksiyondur.

3. \(\beta_3: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(\beta_3(x) = \frac{1}{x-2}\)
Bir fonksiyonun tanımlı olabilmesi için paydanın sıfır olmaması gerekir.
\(x-2 = 0 \implies x = 2\)
\(x=2\) değeri tanım kümesi olan \(\mathbb{R}\) (gerçek sayılar) kümesindedir. Ancak \(x=2\) için \(\beta_3(2) = \frac{1}{2-2} = \frac{1}{0}\) tanımsızdır.
Tanım kümesindeki \(x=2\) elemanının görüntüsü olmadığı için bu bağıntı bir fonksiyon değildir. Fonksiyon olması için tanım kümesinin \(\mathbb{R} - \{2\}\) olması gerekirdi.

Soru 3

\(f(x) = 4x - 7\) ve \(g(x) = 2x + 3\) fonksiyonları veriliyor. Buna göre, \((f-g)(x)\) ifadesini bulunuz ve \((f+g)(1)\) değerini hesaplayınız. Hesaplama adımlarını gösteriniz.

Çözüm:
1. \((f-g)(x)\) ifadesini bulalım:
\((f-g)(x) = f(x) - g(x)\)
\((f-g)(x) = (4x - 7) - (2x + 3)\)
Parantezleri açarken ikinci fonksiyonun tüm terimlerinin işaret değiştireceğine dikkat ediniz:
\((f-g)(x) = 4x - 7 - 2x - 3\)
Benzer terimleri birleştirelim:
\((f-g)(x) = (4x - 2x) + (-7 - 3)\)
\((f-g)(x) = 2x - 10\)

2. \((f+g)(1)\) değerini hesaplayalım:
Öncelikle \((f+g)(x)\) ifadesini bulup sonra \(x\) yerine 1 yazabiliriz veya \(f(1)\) ve \(g(1)\) değerlerini ayrı ayrı bulup toplayabiliriz. İkinci yöntem daha pratik olabilir.
\(f(1) = 4 \cdot (1) - 7 = 4 - 7 = -3\)
\(g(1) = 2 \cdot (1) + 3 = 2 + 3 = 5\)
Şimdi bu değerleri toplayalım:
\((f+g)(1) = f(1) + g(1) = -3 + 5 = 2\)
Veya, \((f+g)(x) = f(x) + g(x) = (4x-7) + (2x+3) = 6x-4\).
Bu durumda \((f+g)(1) = 6 \cdot (1) - 4 = 6 - 4 = 2\). Her iki yöntem de aynı sonucu verir.

Soru 4

Gerçek sayılarda tanımlı \(f(x) = 2x + 1\) fonksiyonu ile ilgili aşağıdaki ifadelerin doğru olup olmadığını nedenleriyle açıklayınız.

1. \(f\) birebir fonksiyondur.
2. \(f\) örten fonksiyondur.

Çözüm:
1. \(f\) birebir fonksiyondur:
Bir fonksiyonun birebir olması için, tanım kümesindeki farklı elemanların görüntülerinin de farklı olması gerekir. Yani, \(x_1 \neq x_2\) iken \(f(x_1) \neq f(x_2)\) olmalıdır.
Aksini varsayalım: \(f(x_1) = f(x_2)\) olsun. Bu durumda:
\(2x_1 + 1 = 2x_2 + 1\)
Her iki taraftan 1 çıkarırsak:
\(2x_1 = 2x_2\)
Her iki tarafı 2'ye bölersek:
\(x_1 = x_2\)
Bu durum, görüntüleri eşit olan elemanların kendilerinin de eşit olduğunu gösterir. Dolayısıyla, farklı elemanların görüntüleri de farklı olacaktır. Bu nedenle \(f\) fonksiyonu birebir fonksiyondur.

2. \(f\) örten fonksiyondur:
Bir fonksiyonun örten olması için, değer kümesindeki her elemanın tanım kümesinde en az bir karşılığı (ön görüntüsü) olması gerekir. Yani, her \(y \in \mathbb{R}\) için \(f(x) = y\) olacak şekilde en az bir \(x \in \mathbb{R}\) bulunmalıdır.
\(f(x) = y\) eşitliğini \(x\) cinsinden çözelim:
\(2x + 1 = y\)
\(2x = y - 1\)
\(x = \frac{y-1}{2}\)
Görüldüğü gibi, değer kümesinden alınan her gerçek sayı \(y\) için, \(x = \frac{y-1}{2}\) ifadesi de daima bir gerçek sayı olacaktır. Bu, değer kümesinde açıkta eleman kalmadığı anlamına gelir.
Bu nedenle \(f\) fonksiyonu örten fonksiyondur.

Soru 5

Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını belirlemek için "Dikey Doğru Testi" nasıl uygulanır? Açıklayınız ve bir örnek durum belirtiniz.

Çözüm:
Dikey Doğru Testi, bir grafiksel bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için kullanılan basit ve etkili bir yöntemdir. Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde yalnızca bir görüntüsü olmalıdır.

Uygulanışı:
Koordinat düzleminde verilen bir grafiğe, \(y\)-eksenine paralel dikey doğrular çizilir. Eğer çizilen bu dikey doğruların her biri, grafiği yalnızca bir noktada kesiyorsa, bu bağıntı bir fonksiyondur. Eğer herhangi bir dikey doğru grafiği birden fazla noktada kesiyorsa, bu bağıntı bir fonksiyon değildir.

Örnek Durum:

1. Fonksiyon olan durum: \(y = x+1\) doğrusunun grafiğini düşünelim. Bu grafiğe nereden dikey bir doğru çizersek çizelim, doğru grafiği her zaman tek bir noktada keser. Bu nedenle \(y = x+1\) bir fonksiyondur.
2. Fonksiyon olmayan durum: \(x^2 + y^2 = 4\) denklemi ile verilen bir çemberin grafiğini düşünelim. Yarıçapı 2 olan ve merkezi orijinde olan bu çemberin grafiğine, \(x=1\) noktasından dikey bir doğru çizdiğimizde, doğru çemberi iki farklı noktada (\(y = \sqrt{3}\) ve \(y = -\sqrt{3}\) noktalarında) keser. Bu durum, \(x=1\) elemanının iki farklı görüntüsü olduğu anlamına gelir. Dolayısıyla \(x^2 + y^2 = 4\) bir fonksiyon değildir.