1. dereceden 1 ve 2 bilinmeyenli denklemler Ders Notu

1. Dereceden Denklemler ve Denklem Sistemleri 📐

9. Sınıf Matematik müfredatının temel konularından biri olan 1. dereceden denklemler, bilinmeyen içeren ve bilinmeyenin en yüksek üssünün 1 olduğu eşitliklerdir. Bu bölümde, tek bilinmeyenli ve iki bilinmeyenli denklemleri inceleyeceğiz.

1. Tek Bilinmeyenli 1. Dereceden Denklemler

Tek bilinmeyenli 1. dereceden bir denklem, genel olarak \( ax + b = 0 \) şeklinde ifade edilir. Burada \( x \) bilinmeyendir ve \( a \) ile \( b \) reel sayılardır. \( a \neq 0 \) olmalıdır.

Denklemi çözmek, bilinmeyenin değerini bulmak anlamına gelir. Bunu yapmak için temel toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri kullanılır.

Çözüm Yöntemleri:

• Eşitliğin her iki tarafına aynı sayıyı ekleyip çıkarabiliriz.
• Eşitliğin her iki tarafını aynı sayıyla çarpıp bölebiliriz (sıfıra bölme hariç).

Örnek 1:

Aşağıdaki denklemi çözelim:

\[ 3x + 5 = 14 \]

Çözüm:

Önce eşitliğin her iki tarafından 5 çıkaralım:

\[ 3x + 5 - 5 = 14 - 5 \] \[ 3x = 9 \]

Şimdi eşitliğin her iki tarafını 3'e bölelim:

\[ \frac{3x}{3} = \frac{9}{3} \] \[ x = 3 \]

Denklemin çözümü \( x = 3 \) tür.

Örnek 2 (Günlük Hayattan):

Bir manav, tanesi \( x \) TL olan elmalardan 5 tane alıyor ve manava 20 TL ödüyor. Elmaların tanesi kaç TL'dir?

Bu durumu bir denklemle ifade edelim:

\[ 5x = 20 \]

Çözüm:

Eşitliğin her iki tarafını 5'e bölelim:

\[ \frac{5x}{5} = \frac{20}{5} \] \[ x = 4 \]

Elmaların tanesi 4 TL'dir.

2. İki Bilinmeyenli 1. Dereceden Denklemler

İki bilinmeyenli 1. dereceden bir denklem, genel olarak \( ax + by = c \) şeklinde ifade edilir. Burada \( x \) ve \( y \) bilinmeyenlerdir ve \( a \), \( b \), \( c \) reel sayılardır. \( a \) ve \( b \) katsayılarından en az biri sıfırdan farklı olmalıdır.

Tek bir iki bilinmeyenli denklem, sonsuz sayıda çözüm kümesine sahip olabilir. Bu nedenle, bu tür denklemleri çözmek için genellikle iki bilinmeyenli iki denklemden oluşan bir denklem sistemi kullanılır.

Denklem Sistemleri

İki bilinmeyenli iki denklemin oluşturduğu sisteme 1. dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi denir. Genel formu şöyledir:

\[ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} \]

Bu sistemin çözümü, her iki denklemi de aynı anda sağlayan \( (x, y) \) sıralı ikilisini bulmaktır.

Çözüm Yöntemleri:

• Yerine Koyma (Substitution) Yöntemi: Bir denklemdeki bilinmeyenlerden birini diğer bilinmeyen cinsinden ifade edip diğer denklemde yerine yazma.
• Yok Etme (Elimination) Yöntemi: Denklem sistemindeki denklemleri uygun sayılarla çarparak bilinmeyenlerden birinin katsayılarını eşitleyip denklemleri taraf tarafa toplama veya çıkarma.

Örnek 3 (Yerine Koyma Yöntemi):

Aşağıdaki denklem sistemini çözelim:

\[ \begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases} \]

Çözüm:

Birinci denklemden \( x \)'i \( y \) cinsinden ifade edelim: \( x = 5 - y \).

Bu ifadeyi ikinci denklemde \( x \) yerine koyalım:

\[ 2(5 - y) - y = 1 \] \[ 10 - 2y - y = 1 \] \[ 10 - 3y = 1 \]

Şimdi \( y \)'yi bulalım:

\[ -3y = 1 - 10 \] \[ -3y = -9 \] \[ y = 3 \]

Bulduğumuz \( y \) değerini \( x = 5 - y \) denkleminde yerine koyarak \( x \)'i bulalım:

\[ x = 5 - 3 \] \[ x = 2 \]

Sistemin çözümü \( (x, y) = (2, 3) \) tür.

Örnek 4 (Yok Etme Yöntemi):

Aynı denklem sistemini yok etme yöntemiyle çözelim:

\[ \begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases} \]

Çözüm:

Denklemleri taraf tarafa toplarsak \( y \) bilinmeyeni yok olacaktır:

\[ (x + y) + (2x - y) = 5 + 1 \] \[ x + y + 2x - y = 6 \] \[ 3x = 6 \] \[ x = 2 \]

Bulduğumuz \( x \) değerini birinci denklemde yerine koyarak \( y \)'yi bulalım:

\[ 2 + y = 5 \] \[ y = 5 - 2 \] \[ y = 3 \]

Sistemin çözümü yine \( (x, y) = (2, 3) \) tür.

Örnek 5 (Günlük Hayattan):

Bir kırtasiyede, 3 kalem ve 2 silgi 16 TL'dir. Aynı kırtasiyede 2 kalem ve 3 silgi 19 TL'dir. Bir kalem ve bir silginin fiyatını bulunuz.

Kalemin fiyatı \( x \) TL, silginin fiyatı \( y \) TL olsun.

Denklem sistemi:

\[ \begin{cases} 3x + 2y = 16 \\ 2x + 3y = 19 \end{cases} \]

Çözüm (Yok Etme Yöntemi):

Birinci denklemi 3 ile, ikinci denklemi 2 ile çarpalım:

\[ \begin{cases} 9x + 6y = 48 \\ 4x + 6y = 38 \end{cases} \]

Şimdi birinci denklemden ikinci denklemi çıkaralım:

\[ (9x + 6y) - (4x + 6y) = 48 - 38 \] \[ 9x + 6y - 4x - 6y = 10 \] \[ 5x = 10 \] \[ x = 2 \]

Bulduğumuz \( x = 2 \) değerini ilk denklemde yerine koyalım:

\[ 3(2) + 2y = 16 \] \[ 6 + 2y = 16 \] \[ 2y = 16 - 6 \] \[ 2y = 10 \] \[ y = 5 \]

Bir kalem 2 TL, bir silgi 5 TL'dir.