🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Edebiyat
💡 9. Sınıf Edebiyat: Pisagor Teoremi Ve Tales Teoremi Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Edebiyat: Pisagor Teoremi Ve Tales Teoremi Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir dik üçgende, dik kenarların uzunlukları 6 cm ve 8 cm'dir. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulunuz. 📐
Çözüm:
Pisagor Teoremi'ni kullanarak bu sorunu kolayca çözebiliriz.
-
Pisagor Teoremi, bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu söyler.
Formül: \( a^2 + b^2 = c^2 \) - Burada \( a \) ve \( b \) dik kenarlar, \( c \) ise hipotenüstür.
-
Verilen değerleri formülde yerine koyalım:
\( 6^2 + 8^2 = c^2 \) -
Karelerini hesaplayalım:
\( 36 + 64 = c^2 \) -
Toplama işlemini yapalım:
\( 100 = c^2 \) -
Her iki tarafın karekökünü alarak \( c \) değerini bulalım:
\( \sqrt{100} = \sqrt{c^2} \)
\( c = 10 \)
Örnek 2:
Bir dik üçgende, hipotenüsün uzunluğu 13 cm ve dik kenarlardan birinin uzunluğu 5 cm'dir. Diğer dik kenarın uzunluğunu bulunuz. 🤔
Çözüm:
Yine Pisagor Teoremi'ni kullanacağız.
- Pisagor Teoremi formülü: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Burada hipotenüs \( c = 13 \) cm ve dik kenarlardan biri \( a = 5 \) cm olarak verilmiştir. Diğer dik kenar \( b \) 'yi bulmalıyız.
-
Değerleri formülde yerine koyalım:
\( 5^2 + b^2 = 13^2 \) -
Karelerini hesaplayalım:
\( 25 + b^2 = 169 \) -
\( b^2 \) 'yi yalnız bırakmak için 25'i eşitliğin diğer tarafına atalım:
\( b^2 = 169 - 25 \)
\( b^2 = 144 \) -
Her iki tarafın karekökünü alarak \( b \) değerini bulalım:
\( \sqrt{b^2} = \sqrt{144} \)
\( b = 12 \)
Örnek 3:
Bir şehirde, A noktasından B noktasına gitmek için önce doğuya 12 km, sonra kuzeye 5 km ilerlemek gerekmektedir. Eğer A noktasından B noktasına kuş uçuşu (en kısa yoldan) gidilseydi, kaç km yol alınmış olurdu? 🗺️
Çözüm:
Bu problem, Pisagor Teoremi ile çözülebilecek bir dik üçgen oluşturur.
- Doğuya ilerleme ve kuzeye ilerleme yönleri birbirine diktir. Bu durum, bir dik üçgenin dik kenarlarını oluşturur.
- Doğuya gidilen mesafe \( a = 12 \) km (bir dik kenar).
- Kuzeye gidilen mesafe \( b = 5 \) km (diğer dik kenar).
- Kuş uçuşu mesafe, bu dik üçgenin hipotenüsü olacaktır. Buna \( c \) diyelim.
- Pisagor Teoremi'ni uygulayalım: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
-
Değerleri yerine koyalım:
\( 12^2 + 5^2 = c^2 \) -
Karelerini hesaplayalım:
\( 144 + 25 = c^2 \) -
Toplama işlemini yapalım:
\( 169 = c^2 \) -
Her iki tarafın karekökünü alalım:
\( \sqrt{169} = \sqrt{c^2} \)
\( c = 13 \)
Örnek 4:
Bir itfaiyeci, 15 metre yüksekliğindeki bir binanın penceresine ulaşmak için merdiven kullanacaktır. Merdivenin ayağının binadan 8 metre uzağa konulması gerekiyorsa, itfaiyecinin kullanması gereken merdivenin uzunluğu en az kaç metre olmalıdır? 🚒
Çözüm:
Bu senaryo bir dik üçgen oluşturur ve Pisagor Teoremi ile çözülebilir.
- Binanın yüksekliği (yere dik durduğu varsayılır) bir dik kenardır: \( a = 15 \) metre.
- Merdivenin ayağının binadan uzaklığı diğer dik kenardır: \( b = 8 \) metre.
- Merdivenin uzunluğu ise bu dik üçgenin hipotenüsü olacaktır. Buna \( c \) diyelim.
- Pisagor Teoremi'ni uygulayalım: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
-
Değerleri yerine koyalım:
\( 15^2 + 8^2 = c^2 \) -
Karelerini hesaplayalım:
\( 225 + 64 = c^2 \) -
Toplama işlemini yapalım:
\( 289 = c^2 \) -
Her iki tarafın karekökünü alalım:
\( \sqrt{289} = \sqrt{c^2} \)
\( c = 17 \)
Örnek 5:
Aşağıdaki şekilde, \( d_1 \) ve \( d_2 \) doğruları birbirine paraleldir. Bir kesen bu doğruları sırasıyla A ve C noktalarında, diğer bir kesen ise B ve D noktalarında kesmektedir. Eğer \( |AC| = 6 \) cm, \( |CE| = 9 \) cm ve \( |BD| = 4 \) cm ise, \( |DF| \) uzunluğunu bulunuz. (Burada E ve F noktaları, kesenlerin \( d_2 \) doğrusu üzerindeki noktalarıdır.) 📏
Çözüm:
Bu problem Tales Teoremi'nin temel prensiplerinden biri olan paralel doğruların orantılı böldüğü doğru parçaları kuralıyla çözülür.
- Tales Teoremi'ne göre, paralel doğruları kesen doğrular üzerinde oluşan doğru parçalarının uzunlukları orantılıdır.
- Verilen doğru parçaları: \( |AC| = 6 \) cm, \( |CE| = 9 \) cm, \( |BD| = 4 \) cm. Aranılan \( |DF| \) uzunluğu.
-
Orantıyı kuralım:
\( \frac{|AC|}{|CE|} = \frac{|BD|}{|DF|} \) -
Değerleri yerine koyalım:
\( \frac{6}{9} = \frac{4}{|DF|} \) -
Kesri sadeleştirelim:
\( \frac{2}{3} = \frac{4}{|DF|} \) -
İçler dışlar çarpımı yapalım:
\( 2 \times |DF| = 3 \times 4 \)
\( 2 \times |DF| = 12 \) -
\( |DF| \) 'yi bulmak için her iki tarafı 2'ye bölelim:
\( |DF| = \frac{12}{2} \)
\( |DF| = 6 \)
Örnek 6:
Bir ABC üçgeninde, DE doğru parçası BC kenarına paraleldir (DE // BC). D noktası AB kenarı üzerinde, E noktası ise AC kenarı üzerindedir. Eğer \( |AD| = 3 \) cm, \( |DB| = 6 \) cm ve \( |AE| = 4 \) cm ise, \( |EC| \) uzunluğunu bulunuz. 🔺
Çözüm:
Bu problem, Temel Orantı Teoremi olarak da bilinen Tales Teoremi'nin üçgenlerdeki uygulamasıdır.
- DE // BC olduğu için, Tales Teoremi'ne göre üçgenin kenarları orantılı olarak bölünür.
-
Orantıyı kuralım:
\( \frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|} \) -
Verilen değerleri yerine koyalım:
\( \frac{3}{6} = \frac{4}{|EC|} \) -
Sol taraftaki kesri sadeleştirelim:
\( \frac{1}{2} = \frac{4}{|EC|} \) -
İçler dışlar çarpımı yapalım:
\( 1 \times |EC| = 2 \times 4 \)
\( |EC| = 8 \)
Örnek 7:
Bir bahçıvan, 2 metre boyundaki bir fidanın gölgesinin 3 metre olduğunu gözlemlemiştir. Aynı anda, fidanın yanında bulunan daha uzun bir ağacın gölgesinin 9 metre olduğunu ölçmüştür. Bu ağacın boyu kaç metredir? (Güneş ışınlarının yere paralel geldiği varsayılacaktır.) 🌳☀️
Çözüm:
Bu durum, Tales Teoremi'nin gölge boyu problemlerindeki uygulamasına güzel bir örnektir. Güneş ışınları paralel geldiği için, fidan ve ağaç ile gölgeleri arasında benzer üçgenler oluşur.
- Fidanın boyu \( h_1 = 2 \) metre ve gölgesinin uzunluğu \( g_1 = 3 \) metredir.
- Ağacın gölgesinin uzunluğu \( g_2 = 9 \) metre. Ağacın boyunu \( h_2 \) olarak arıyoruz.
-
Benzer üçgenlerde kenar uzunlukları orantılıdır:
\( \frac{\text{Fidanın Boyu}}{\text{Fidanın Gölgesi}} = \frac{\text{Ağacın Boyu}}{\text{Ağacın Gölgesi}} \) -
Değerleri yerine koyalım:
\( \frac{2}{3} = \frac{h_2}{9} \) -
İçler dışlar çarpımı yapalım:
\( 3 \times h_2 = 2 \times 9 \)
\( 3 \times h_2 = 18 \) -
\( h_2 \) 'yi bulmak için her iki tarafı 3'e bölelim:
\( h_2 = \frac{18}{3} \)
\( h_2 = 6 \)
Örnek 8:
Esra, bir nehrin genişliğini ölçmek istemektedir. Nehrin karşı kıyısında bir ağaç (A noktası) belirler. Kendi bulunduğu kıyıda, ağacın tam karşısına gelen noktadan (B noktası) nehir kıyısı boyunca 10 metre (C noktasına kadar) yürür. C noktasından itibaren nehir kıyısına paralel 6 metre daha yürüyerek D noktasına ulaşır. D noktasından ağacı (A noktası) görecek şekilde 8 metre geriye (E noktasına) doğru yürüdüğünde A, C ve E noktalarının doğrusal olduğunu fark eder. Nehrin genişliği olan \( |AB| \) kaç metredir? 🏞️
Çözüm:
Bu karmaşık gibi görünen problem, aslında Tales Teoremi ve benzer üçgenler prensibi ile kolayca çözülebilir.
- Nehir kıyısı boyunca yürünen BC ve CD mesafeleri ile nehrin genişliği AB ve DE mesafeleri arasında bir orantı kurabiliriz.
- Soruda verilenler: \( |BC| = 10 \) m, \( |CD| = 6 \) m, \( |DE| = 8 \) m. Nehrin genişliği \( |AB| \) 'yi arıyoruz.
- A, C, E noktaları doğrusal olduğundan ve nehir kıyısı paralel olduğundan, iki benzer dik üçgen oluşur: \( \triangle ABC \) ve \( \triangle EDC \).
-
Bu üçgenler benzer olduğu için kenarları orantılıdır:
\( \frac{|AB|}{|BC|} = \frac{|ED|}{|DC|} \) -
Değerleri yerine koyalım:
\( \frac{|AB|}{10} = \frac{8}{6} \) -
Sağ taraftaki kesri sadeleştirelim:
\( \frac{|AB|}{10} = \frac{4}{3} \) -
İçler dışlar çarpımı yapalım:
\( 3 \times |AB| = 10 \times 4 \)
\( 3 \times |AB| = 40 \) -
\( |AB| \) 'yi bulmak için her iki tarafı 3'e bölelim:
\( |AB| = \frac{40}{3} \)
\( |AB| \approx 13.33 \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-edebiyat-pisagor-teoremi-ve-tales-teoremi/sorular