Pisagor Teoremi Ve Tales Teoremi Ders Notu

Dik üçgenlerde kenar uzunlukları arasındaki özel ilişkileri ve paralel doğruların kesenler üzerinde oluşturduğu orantılı parçaları inceleyelim.

📏 Pisagor Teoremi

Pisagor Teoremi, dik üçgenlerde kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi açıklayan temel bir geometri teoremidir. Bir üçgenin dik üçgen olabilmesi için bir açısının 90 derece (dik açı) olması gerekir.

Dik Üçgenin Kenarları

• Dik Kenarlar: Dik açıyı oluşturan kenarlardır. Genellikle 'a' ve 'b' harfleriyle gösterilir.
• Hipotenüs: Dik açının karşısındaki kenardır ve dik üçgendeki en uzun kenardır. Genellikle 'c' harfiyle gösterilir.

Pisagor Teoremi Formülü

Bir dik üçgende dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir.

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

Burada;

• \( a \) ve \( b \): Dik kenarların uzunlukları
• \( c \): Hipotenüsün uzunluğu

Önemli Not: Pisagor Teoremi sadece dik üçgenler için geçerlidir.

Örnek Problem 💡

Bir ABC dik üçgeninde, B açısı 90 derecedir. AB kenarının uzunluğu 3 birim ve BC kenarının uzunluğu 4 birim olduğuna göre, AC kenarının (hipotenüs) uzunluğunu bulunuz.

Çözüm:

Verilenler: \( a = 3 \) birim (AB), \( b = 4 \) birim (BC). Hipotenüs \( c \) (AC) isteniyor.

Pisagor Teoremi'ne göre:

\[ a^2 + b^2 = c^2 \] \[ 3^2 + 4^2 = c^2 \] \[ 9 + 16 = c^2 \] \[ 25 = c^2 \]

Her iki tarafın karekökünü alırsak:

\[ c = \sqrt{25} \] \[ c = 5 \]

AC kenarının uzunluğu 5 birimdir.

📐 Tales Teoremi

Tales Teoremi, paralel doğrular ve bu doğruları kesenler arasındaki orantı ilişkilerini inceleyen bir teoremdir. Genellikle iki farklı şekilde karşımıza çıkar: Temel Orantı Teoremi ve Paralel Doğruların Kesenler Üzerinde Ayırdığı Orantılı Parçalar Teoremi.

1. Temel Orantı Teoremi (Tales 1)

Bir üçgende, bir kenara paralel olan bir doğru, diğer iki kenarı kestiğinde, bu kenarları orantılı olarak böler.

Açıklama:

Bir ABC üçgeni düşünelim. DE doğrusu BC kenarına paraleldir (\( DE \parallel BC \)) ve AB kenarını D noktasında, AC kenarını E noktasında keser.

Bu durumda aşağıdaki orantılar geçerlidir:

\[ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \]

Aynı zamanda, büyük üçgen ile küçük üçgen arasındaki benzerlikten dolayı aşağıdaki orantılar da geçerlidir:

\[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} \]

Örnek Problem 💡

Bir ABC üçgeninde, DE doğrusu BC kenarına paraleldir. AD = 4 cm, DB = 6 cm ve AE = 3 cm olduğuna göre, EC uzunluğunu bulunuz.

Çözüm:

Temel Orantı Teoremi'ne göre:

\[ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \] \[ \frac{4}{6} = \frac{3}{EC} \]

İçler dışlar çarpımı yaparak EC'yi bulalım:

\[ 4 \times EC = 6 \times 3 \] \[ 4 \times EC = 18 \] \[ EC = \frac{18}{4} \] \[ EC = \frac{9}{2} \] \[ EC = 4.5 \]

EC uzunluğu 4.5 cm'dir.

2. Paralel Doğruların Kesenler Üzerinde Ayırdığı Orantılı Parçalar Teoremi (Tales 2)

Üç veya daha fazla paralel doğru, iki farklı kesen tarafından kesildiğinde, bu paralel doğruların kesenler üzerinde ayırdığı doğru parçalarının uzunlukları orantılıdır.

Açıklama:

Daha basit bir ifadeyle, \( d_1 \parallel d_2 \parallel d_3 \) şeklinde üç paralel doğrumuz olsun. Bu doğruları kesen iki farklı doğru (k ve l) üzerindeki kesişim noktaları A, B, C ve P, R, S olsun.

Bu durumda aşağıdaki orantı geçerlidir:

\[ \frac{AB}{BC} = \frac{PR}{RS} \]

Örnek Problem 💡

Üç paralel doğru, k ve l kesenleri tarafından kesilmiştir. Kesen k üzerinde A, B, C noktaları sırasıyla AB = 5 birim ve BC = 7 birim olarak ayrılmıştır. Kesen l üzerinde ise P, R, S noktaları ayrılmıştır. PR = 10 birim olduğuna göre, RS uzunluğunu bulunuz.

Çözüm:

Paralel Doğruların Kesenler Üzerinde Ayırdığı Orantılı Parçalar Teoremi'ne göre:

\[ \frac{AB}{BC} = \frac{PR}{RS} \] \[ \frac{5}{7} = \frac{10}{RS} \]

İçler dışlar çarpımı yaparak RS'yi bulalım:

\[ 5 \times RS = 7 \times 10 \] \[ 5 \times RS = 70 \] \[ RS = \frac{70}{5} \] \[ RS = 14 \]

RS uzunluğu 14 birimdir.