Rasyonel sayılar Ders Notu

🔢 Rasyonel Sayılar ve Özellikleri

Matematik dünyasında tam sayıların birbirine oranlanmasıyla elde edilen sayılara rasyonel sayılar denir. Bir rasyonel sayı, a ve b birer tam sayı ve b sıfırdan farklı olmak üzere, a/b biçiminde yazılabilen sayılardır. Bu sayı kümesi Q harfi ile gösterilir.

Rasyonel Sayıların Tanımı ve Yapısı

• Pay: Kesir çizgisinin üstünde bulunan ve bütünün kaç parçasının alındığını gösteren sayıdır.
• Payda: Kesir çizgisinin altında bulunan ve bütünün kaç eş parçaya bölündüğünü gösteren sayıdır.
• Önemli Kural: Payda asla sıfır olamaz. Eğer payda sıfır olursa, o ifade matematikte tanımsız kabul edilir.

Not: Her tam sayı aynı zamanda bir rasyonel sayıdır. Örneğin, \( 5 \) sayısı \( 5/1 \) şeklinde yazılabildiği için rasyoneldir.

Rasyonel Sayılarda Dört İşlem

Rasyonel sayılarla işlem yaparken paydaların durumu oldukça önemlidir.

Toplama ve Çıkarma İşlemi

Toplama veya çıkarma işlemi yapabilmek için paydaların eşit olması gerekir. Paydalar eşit değilse, genişletme veya sadeleştirme yöntemleri ile paydalar eşitlenir.

Örnek: \( 1/4 + 2/3 \) işlemini yapalım. Paydaları 12'de eşitleyelim.

\( 3/12 + 8/12 = 11/12 \)

Çarpma ve Bölme İşlemi

Çarpma işleminde paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır. Bölme işleminde ise birinci kesir aynen yazılır, ikinci kesir ters çevrilerek çarpılır.

Örnek Çarpma: \( 2/5 \times 3/4 = 6/20 \). Sadeleştirirsek \( 3/10 \) sonucuna ulaşırız.

Örnek Bölme: \( 1/2 \div 3/4 = 1/2 \times 4/3 = 4/6 = 2/3 \).

Ondalıklı Sayılar ve Rasyonel Sayılar

Paydası 10, 100, 1000 gibi 10'un kuvvetleri olan rasyonel sayılar ondalıklı sayı olarak yazılabilir. Örneğin, \( 3/4 \) kesrini 25 ile genişletirsek \( 75/100 \) elde ederiz, bu da \( 0,75 \) olarak ifade edilir.

Günlük Yaşamdan Örnekler

Durum	Rasyonel Gösterim
Yarım ekmek	\( 1/2 \)
Çeyrek altın	\( 1/4 \)
3 çeyrek pasta	\( 3/4 \)

Çözümlü Örnekler

Soru: \( 2 - 1/3 \) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm: Tam sayının paydasını 1 kabul ederiz. Paydaları 3'te eşitleyelim.

\( 6/3 - 1/3 = 5/3 \)

Soru: \( (1/2 + 1/4) \div 3/8 \) işleminin sonucu nedir?

Çözüm: Önce parantez içini yapalım. \( 1/2 \) kesrini 2 ile genişletirsek \( 2/4 \) olur.

\( 2/4 + 1/4 = 3/4 \)

Şimdi bölme işlemini yapalım: \( 3/4 \div 3/8 = 3/4 \times 8/3 \)

Burada 3'ler sadeleşir ve \( 8/4 = 2 \) sonucuna ulaşılır.