💡 8. Sınıf Matematik: Silindirin hacmi Çözümlü Örnekler

Silindirin hacmi formülü: \( V = \pi r^2 h \) Burada:

• \( r \) = taban yarıçapı
• \( h \) = yükseklik
• \( \pi \) = pi sayısı

Verilenler:

• \( r = 3 \) cm
• \( h = 10 \) cm
• \( \pi = 3 \) (soruda belirtildiği gibi)

Formülde yerine koyalım:

• \( V = 3 \times (3 \text{ cm})^2 \times 10 \text{ cm} \)
• \( V = 3 \times 9 \text{ cm}^2 \times 10 \text{ cm} \)
• \( V = 27 \text{ cm}^2 \times 10 \text{ cm} \)
• \( V = 270 \text{ cm}^3 \)

Cevap: Silindirin hacmi \( 270 \text{ cm}^3 \) tür. ✅

Öncelikle taban yarıçapını bulmalıyız. Taban çevresi formülü: \( Ç = 2\pi r \) Verilen taban çevresi: \( 12\pi \) cm

• \( 12\pi \text{ cm} = 2\pi r \)
• Her iki tarafı \( 2\pi \) ile bölelim: \( r = \frac{12\pi}{2\pi} \)
• \( r = 6 \) cm

Şimdi silindirin hacmini hesaplayabiliriz. Hacim formülü: \( V = \pi r^2 h \) Verilenler:

• \( r = 6 \) cm
• \( h = 8 \) cm

Formülde yerine koyalım:

• \( V = \pi \times (6 \text{ cm})^2 \times 8 \text{ cm} \)
• \( V = \pi \times 36 \text{ cm}^2 \times 8 \text{ cm} \)
• \( V = 288\pi \text{ cm}^3 \)

Cevap: Silindirin hacmi \( 288\pi \text{ cm}^3 \) tür. 👉

Bu soruda, büyük silindirin hacminin, küçük silindirlerin hacmine oranını bularak kaç adet küçük silindir sığabileceğini tahmin edebiliriz. Ancak burada önemli olan, küçük silindirlerin büyük silindirin tabanına nasıl yerleştiğidir. LGS müfredatında bu tür yerleştirme problemleri doğrudan hacim oranlarıyla çözülmez, ancak basit bir hacim oranlamasıyla bir fikir edinebiliriz. Öncelikle büyük silindirin taban yarıçapını bulmamız gerekiyor. Soruda büyük silindirin taban yarıçapı verilmemiş, bu bir eksiklik. Ancak, "en fazla kaç adet" ifadesi, büyük silindirin tabanının, küçük silindirlerin tabanlarının kaplayabileceği maksimum alanı kapsadığını ima eder. Eğer büyük silindirin taban yarıçapı \( R \) ise, \( R \ge r \) olmalıdır. Basit bir yaklaşımla, eğer büyük silindirin taban yarıçapı, küçük silindirlerin yarıçapının tam katı ise, daha net bir sonuç elde ederiz. Soruda büyük silindir hakkında yeterli bilgi olmadığı için, bu soruyu "büyük silindirin taban alanının, küçük silindirlerin taban alanlarının toplamına oranı" şeklinde yorumlayarak ilerleyelim. Varsayalım ki büyük silindirin taban yarıçapı \( R \) ve yüksekliği \( h=20 \) cm. Küçük silindirlerin yarıçapı \( r=2 \) cm ve yükseklikleri de \( h=20 \) cm. Büyük silindirin hacmi: \( V_{büyük} = \pi R^2 h \) Küçük silindirin hacmi: \( V_{küçük} = \pi r^2 h = \pi (2 \text{ cm})^2 \times 20 \text{ cm} = \pi \times 4 \text{ cm}^2 \times 20 \text{ cm} = 80\pi \text{ cm}^3 \) Eğer \( \pi = 3 \) alırsak, \( V_{küçük} = 80 \times 3 = 240 \text{ cm}^3 \) olur. Soruda büyük silindirin taban yarıçapı verilmediği için, bu sorunun tam olarak çözülebilmesi için ek bilgi gerekmektedir. Ancak, eğer soru "bir kenarı \( 2r \) olan kare tabanlı bir prizmanın içine kaç adet \( r \) yarıçaplı silindir sığar?" gibi bir yapıya sahip olsaydı, daha net bir çözüm mümkün olurdu. Eğer soruyu şu şekilde yorumlarsak: "Yüksekliği 20 cm olan ve taban yarıçapı 4 cm olan bir silindirin içine, tabanları ve yükseklikleri aynı olan en fazla kaç adet \( r=2 \) cm yarıçaplı küçük silindir sığabilir?" Bu durumda: Büyük silindir: \( R=4 \) cm, \( h=20 \) cm. \( \pi=3 \) \( V_{büyük} = 3 \times (4 \text{ cm})^2 \times 20 \text{ cm} = 3 \times 16 \text{ cm}^2 \times 20 \text{ cm} = 3 \times 320 \text{ cm}^3 = 960 \text{ cm}^3 \) Küçük silindir: \( r=2 \) cm, \( h=20 \) cm. \( \pi=3 \) \( V_{küçük} = 3 \times (2 \text{ cm})^2 \times 20 \text{ cm} = 3 \times 4 \text{ cm}^2 \times 20 \text{ cm} = 3 \times 80 \text{ cm}^3 = 240 \text{ cm}^3 \) Sığabilecek silindir sayısı \( \approx \frac{V_{büyük}}{V_{küçük}} = \frac{960 \text{ cm}^3}{240 \text{ cm}^3} = 4 \) adet. Ancak, bu sadece hacimsel bir yaklaşımdır. Gerçek yerleştirme geometrik olarak farklılık gösterebilir. LGS müfredatında bu tür karmaşık yerleştirme problemleri genellikle sorulmaz veya daha basit geometrik şekillerle sorulur. Bu sorunun orijinal haliyle, büyük silindirin taban yarıçapı bilgisi eksik olduğu için kesin bir cevap vermek mümkün değildir. Eğer soruda bir hata yoksa, bu tür bir soru "Yeni Nesil" olarak kabul edilip, öğrenciden bu eksikliği fark etmesi istenmiş olabilir. Varsayımsal olarak, eğer büyük silindirin taban yarıçapı \( R=6 \) cm olsaydı: \( V_{büyük} = 3 \times (6 \text{ cm})^2 \times 20 \text{ cm} = 3 \times 36 \text{ cm}^2 \times 20 \text{ cm} = 3 \times 720 \text{ cm}^3 = 2160 \text{ cm}^3 \) Sığabilecek silindir sayısı \( \approx \frac{2160 \text{ cm}^3}{240 \text{ cm}^3} = 9 \) adet. Sorunun tam çözümü için büyük silindirin taban yarıçapı bilgisi gereklidir. Bu haliyle sorunun "Yeni Nesil" kategorisinde olması, öğrenciden problemdeki eksikliği fark etmesini istemesi veya farklı yorumlamalar yapmasını beklediği anlamına gelebilir.

Konserve kutusu bir dik dairesel silindir şeklindedir. Hacmini hesaplamak için silindirin hacim formülünü kullanacağız. Hacim formülü: \( V = \pi r^2 h \) Verilenler:

• Yükseklik \( h = 12 \) cm
• Taban yarıçapı \( r = 4 \) cm
• \( \pi \approx 3.14 \)

Şimdi değerleri formülde yerine koyalım:

• \( V = 3.14 \times (4 \text{ cm})^2 \times 12 \text{ cm} \)
• \( V = 3.14 \times 16 \text{ cm}^2 \times 12 \text{ cm} \)
• Önce \( 16 \) ile \( 12 \) yi çarpalım: \( 16 \times 12 = 192 \)
• \( V = 3.14 \times 192 \text{ cm}^3 \)
• Şimdi \( 3.14 \) ile \( 192 \) yi çarpalım:
• \( 3.14 \times 192 = 602.88 \)

Cevap: Konserve kutusunun hacmi \( 602.88 \text{ cm}^3 \) tür. 💯

İlk durumdaki silindirin hacmi verilmiş: \( V_1 = \pi r^2 h = 500\pi \text{ cm}^3 \) Buradan \( r^2 h = 500 \) sonucunu elde ederiz. İkinci durumda silindirin yarıçapı aynı kalırken (\( r \)), yüksekliği iki katına çıkıyor (\( 2h \)). Yeni hacim \( V_2 \) şöyle hesaplanır: \( V_2 = \pi r^2 (2h) \) Bu ifadeyi şu şekilde yeniden düzenleyebiliriz: \( V_2 = 2 \times (\pi r^2 h) \) İlk durumdaki hacim \( \pi r^2 h \) zaten \( 500\pi \text{ cm}^3 \) olarak verilmişti. Bu değeri \( V_2 \) formülünde yerine koyalım: \( V_2 = 2 \times (500\pi \text{ cm}^3) \) \( V_2 = 1000\pi \text{ cm}^3 \) Cevap: Yeni hacmi \( 1000\pi \text{ cm}^3 \) olurdu. 🚀

Silindirin hacim formülü: \( V = \pi r^2 h \) Verilenler:

• Taban yarıçapı \( r = 5 \) metre
• Yükseklik \( h = 10 \) metre
• \( \pi = 3 \) (soruda belirtildiği gibi)

Değerleri formülde yerine koyalım:

• \( V = 3 \times (5 \text{ m})^2 \times 10 \text{ m} \)
• \( V = 3 \times 25 \text{ m}^2 \times 10 \text{ m} \)
• \( V = 75 \text{ m}^2 \times 10 \text{ m} \)
• \( V = 750 \text{ m}^3 \)

Cevap: Su deposunun hacmi \( 750 \text{ m}^3 \) tür. 🌊

Silindirin hacmi hesaplanırken taban alanı ve yükseklik bilgisi doğrudan kullanılabilir. Hacim formülü: \( V = \text{Taban Alanı} \times \text{Yükseklik} \) Verilenler:

• Taban Alanı = \( 40 \text{ cm}^2 \)
• Yükseklik \( h = 15 \) cm

Formülde yerine koyalım:

• \( V = 40 \text{ cm}^2 \times 15 \text{ cm} \)
• \( V = 600 \text{ cm}^3 \)

Cevap: Silindirin hacmi \( 600 \text{ cm}^3 \) tür. 💡

Bu soruda, içi boş bir silindirin (halka şeklinde bir tabana sahip) hacmini hesaplamamız gerekiyor. Bu, dış silindirin hacminden iç silindirin hacminin çıkarılmasıyla bulunur. Dış silindirin hacmi: \( V_{dış} = \pi R^2 h \) İç silindirin hacmi: \( V_{iç} = \pi r^2 h \) Beton borunun hacmi: \( V_{beton} = V_{dış} - V_{iç} \) Verilenler:

• Dış yarıçap \( R = 30 \) cm
• İç yarıçap \( r = 25 \) cm
• Yükseklik \( h = 200 \) cm
• \( \pi = 3 \)

Önce dış silindirin hacmini hesaplayalım:

• \( V_{dış} = 3 \times (30 \text{ cm})^2 \times 200 \text{ cm} \)
• \( V_{dış} = 3 \times 900 \text{ cm}^2 \times 200 \text{ cm} \)
• \( V_{dış} = 2700 \text{ cm}^2 \times 200 \text{ cm} \)
• \( V_{dış} = 540000 \text{ cm}^3 \)

Şimdi iç silindirin hacmini hesaplayalım:

• \( V_{iç} = 3 \times (25 \text{ cm})^2 \times 200 \text{ cm} \)
• \( V_{iç} = 3 \times 625 \text{ cm}^2 \times 200 \text{ cm} \)
• \( V_{iç} = 1875 \text{ cm}^2 \times 200 \text{ cm} \)
• \( V_{iç} = 375000 \text{ cm}^3 \)

Son olarak, beton borunun hacmini bulalım:

• \( V_{beton} = V_{dış} - V_{iç} \)
• \( V_{beton} = 540000 \text{ cm}^3 - 375000 \text{ cm}^3 \)
• \( V_{beton} = 165000 \text{ cm}^3 \)

Cevap: Beton borunun hacmi \( 165000 \text{ cm}^3 \) tür. 👷