💡 8. Sınıf Matematik: Rasyonel Sayılar Çözümlü Örnekler

Bir sayının rasyonel sayı olabilmesi için \( \frac{a}{b} \) şeklinde yazılabilmesi gerekir. Burada \( a \) bir tam sayı ve \( b \) sıfırdan farklı bir tam sayı olmalıdır. ✨

• A) \( \frac{3}{5} \): Zaten kesir şeklinde yazılmıştır. Bu bir rasyonel sayıdır. ✅
• B) \( -7 \): Bu tam sayıyı \( \frac{-7}{1} \) şeklinde yazabiliriz. Bu da bir rasyonel sayıdır. ✅
• C) \( 0,25 \): Bu ondalık sayıyı \( \frac{25}{100} \) veya \( \frac{1}{4} \) şeklinde yazabiliriz. Bu bir rasyonel sayıdır. ✅
• D) \( \sqrt{5} \): \( \sqrt{5} \) sayısının tam bir karekökü yoktur ve ondalık açılımı tekrar etmeyen, sonsuz bir sayıdır (irrasyonel sayıdır). Bu sayı \( \frac{a}{b} \) şeklinde yazılamaz. ❌

Doğru cevap D seçeneğidir. 💡

Rasyonel sayıları sıralamak için paydalarını eşitlemek en kolay yoldur. Paydalar 2, 4 ve 3. Bu sayıların en küçük ortak katı (EKOK) 12'dir. 👇

• \( \frac{1}{2} \)'yi paydası 12 olacak şekilde genişletelim: \( \frac{1 \times 6}{2 \times 6} = \frac{6}{12} \)
• \( \frac{3}{4} \)'ü paydası 12 olacak şekilde genişletelim: \( \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12} \)
• \( \frac{2}{3} \)'ü paydası 12 olacak şekilde genişletelim: \( \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12} \)

Şimdi sayıları \( \frac{6}{12}, \frac{9}{12}, \frac{8}{12} \) şeklinde görüyoruz. Paydaları eşit olan kesirlerde payı küçük olan daha küçüktür. 🧐 Sıralama: \( \frac{6}{12} < \frac{8}{12} < \frac{9}{12} \) Yani, \( \frac{1}{2} < \frac{2}{3} < \frac{3}{4} \) olur. ✅

Rasyonel sayılarla toplama ve çıkarma işlemleri yaparken, öncelikle paydaları eşitlememiz gerekir. Paydalar 5, 3 ve 2. Bu sayıların EKOK'u 30'dur. 📌

• İlk olarak parantez içindeki işareti düzenleyelim: \( \frac{2}{5} - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \)
• Şimdi paydaları 30'da eşitleyelim:
• \( \frac{2}{5} = \frac{2 \times 6}{5 \times 6} = \frac{12}{30} \)
• \( \frac{1}{3} = \frac{1 \times 10}{3 \times 10} = \frac{10}{30} \)
• \( \frac{1}{2} = \frac{1 \times 15}{2 \times 15} = \frac{15}{30} \)
• Şimdi tüm kesirleri aynı paydada yazarak işlemi yapalım:
• \( \frac{12}{30} - \frac{10}{30} - \frac{15}{30} \)
• Payları toplayıp çıkaralım: \( \frac{12 - 10 - 15}{30} = \frac{2 - 15}{30} = \frac{-13}{30} \)

İşlemin sonucu \( \frac{-13}{30} \) veya \( -\frac{13}{30} \) dir. ✨

Rasyonel sayılarla çarpma ve bölme işlemleri yaparken adımları dikkatlice takip edelim. Bölme işleminde ikinci kesri ters çevirip çarparız. Tam sayılı kesri bileşik kesre çeviririz. 👉

• Önce tam sayılı kesri bileşik kesre çevirelim: \( -2 \frac{1}{3} = -\frac{(2 \times 3) + 1}{3} = -\frac{7}{3} \)
• Şimdi bölme işlemini çarpma işlemine çevirelim:
• \( \left( -\frac{3}{4} \right) \div \left( \frac{9}{8} \right) = \left( -\frac{3}{4} \right) \times \left( \frac{8}{9} \right) \)
• Bu çarpma işlemini yapalım. Sadeleştirmeler yaparak işlemi kolaylaştırabiliriz:
• \( -\frac{3}{4} \times \frac{8}{9} = -\frac{3 \times 8}{4 \times 9} = -\frac{24}{36} \)
• Sadeleştirme (12 ile): \( -\frac{24 \div 12}{36 \div 12} = -\frac{2}{3} \)
• Şimdi bu sonucu, kalan çarpma işlemiyle birleştirelim: \( \left( -\frac{2}{3} \right) \times \left( -\frac{7}{3} \right) \)
• İki negatif sayının çarpımı pozitif olacağı için: \( \frac{2 \times 7}{3 \times 3} = \frac{14}{9} \)

İşlemin sonucu \( \frac{14}{9} \) dir. ✅

Bu tür sorularda, farklı formattaki rasyonel sayıları aynı formata çevirmek işimizi kolaylaştırır. Ondalık sayıyı kesire çevirebiliriz. 💡

• Verilenler: \( x = -0,4 \) ve \( y = \frac{1}{5} \)
• \( x \) sayısını kesir olarak yazalım: \( -0,4 = -\frac{4}{10} \). Bu kesri sadeleştirirsek \( -\frac{2}{5} \) olur.
• Şimdi \( x + y \) işlemini yapalım: \( -\frac{2}{5} + \frac{1}{5} \)
• Paydalar zaten eşit olduğu için sadece payları toplarız: \( \frac{-2 + 1}{5} = \frac{-1}{5} \)

İşlemin sonucu \( -\frac{1}{5} \) dir. ✨

İki nokta arasındaki uzaklığı bulmak için büyük sayıdan küçük sayıyı çıkarmamız gerekir. 📏

• Verilen noktalar: \( A = -\frac{3}{2} \) ve \( B = \frac{5}{4} \)
• Öncelikle bu sayıları karşılaştırmak ve işlem yapmak için paydalarını eşitleyelim. Paydalar 2 ve 4. EKOK'ları 4'tür.
• \( A = -\frac{3}{2} = -\frac{3 \times 2}{2 \times 2} = -\frac{6}{4} \)
• \( B = \frac{5}{4} \)
• Şimdi bu iki sayı arasındaki farkı bulalım. Uzaklık her zaman pozitif bir değerdir, bu yüzden mutlak değerini alırız veya büyükten küçüğü çıkarırız. \( \frac{5}{4} \) sayısı \( -\frac{6}{4} \) sayısından büyüktür.
• Uzaklık = \( \frac{5}{4} - \left( -\frac{6}{4} \right) \)
• İki eksi işareti yan yana geldiğinde artı olur: \( \frac{5}{4} + \frac{6}{4} \)
• Paydalar eşit olduğu için payları toplarız: \( \frac{5 + 6}{4} = \frac{11}{4} \)

\( A \) ve \( B \) noktaları arasındaki uzaklık \( \frac{11}{4} \) birimdir. ✅

Bu problem, adım adım rasyonel sayılarla işlem yapmayı gerektiren bir "Yeni Nesil" sorusudur. Kalan miktarları doğru hesaplamak önemlidir. 🧠

• Adım 1: İpin ilk kullanılan kısmını bulalım.
• Toplam ip: 20 metre
• Kullanılan ilk kısım: \( 20 \times \frac{1}{4} = \frac{20}{4} = 5 \) metre
• Adım 2: İpin ilk kullanımdan sonra kalan miktarını bulalım.
• Kalan ip: \( 20 - 5 = 15 \) metre
• Adım 3: Kalan ipin ikinci kullanılan kısmını bulalım.
• Kalan ipin \( \frac{2}{5} \)'i kullanıldı: \( 15 \times \frac{2}{5} = \frac{30}{5} = 6 \) metre
• Adım 4: Son durumda Ayşe'nin elinde kalan ip miktarını bulalım.
• Toplam kullanılan: \( 5 + 6 = 11 \) metre
• Kalan ip: \( 20 - 11 = 9 \) metre

Ayşe'nin elinde 9 metre ip kalmıştır. 👏

Bu problem, rasyonel sayıların günlük hayattaki satış ve kalan miktar hesaplamalarında nasıl kullanıldığını gösterir. 📊

• Adım 1: Başlangıçtaki ekmek sayısı: 240
• Adım 2: Sabah satılan ekmek miktarını bulalım.
• Sabah satılan: \( 240 \times \frac{3}{8} = \frac{720}{8} = 90 \) ekmek
• Adım 3: Öğleden sonra satılan ekmek miktarını bulalım.
• Öğleden sonra satılan: \( 240 \times \frac{1}{4} = \frac{240}{4} = 60 \) ekmek
• Adım 4: Akşam satışından önce kalan ekmek miktarını bulalım.
• Toplam satılan (sabah + öğleden sonra): \( 90 + 60 = 150 \) ekmek
• Kalan ekmek: \( 240 - 150 = 90 \) ekmek
• Adım 5: Akşam satılan ekmek miktarını bulalım.
• Kalan ekmeklerin yarısı satıldı: \( 90 \times \frac{1}{2} = 45 \) ekmek
• Adım 6: Akşam satışından sonra fırıncının elinde kalan ekmek miktarını bulalım.
• Son kalan ekmek: \( 90 - 45 = 45 \) ekmek

Fırıncının akşam satışından sonra elinde 45 ekmek kalmıştır. 👍