Rasyonel Sayılar Ders Notu

8. sınıf matematik müfredatının önemli konularından biri olan rasyonel sayılar, kesirlerin ve tam sayıların daha geniş bir kümesini oluşturur. Bu konuda rasyonel sayıların tanımından başlayarak, sayı doğrusunda gösterimi, sıralanması, dört işlem ve kuvvetleri gibi temel kavramları detaylı bir şekilde inceleyeceğiz.

Rasyonel Sayı Nedir? 🤔

Rasyonel sayılar, \( a \) bir tam sayı ve \( b \) sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere, \( \frac{a}{b} \) şeklinde yazılabilen sayılardır. Rasyonel sayılar kümesi genellikle \( \mathbb{Q} \) harfi ile gösterilir.

• Her tam sayı bir rasyonel sayıdır. Örneğin, \( 5 = \frac{5}{1} \) veya \( -3 = \frac{-3}{1} \) olarak yazılabilir.
• Her doğal sayı bir tam sayı ve dolayısıyla bir rasyonel sayıdır.

Örnekler:

• \( \frac{3}{4} \)
• \( -\frac{2}{5} \)
• \( 7 \) (çünkü \( 7 = \frac{7}{1} \))
• \( -0.5 \) (çünkü \( -0.5 = -\frac{5}{10} = -\frac{1}{2} \))
• \( 0 \) (çünkü \( 0 = \frac{0}{1} \))

Unutmayın: Bir sayının paydası ASLA sıfır olamaz! Yani \( \frac{a}{0} \) tanımsızdır.

Rasyonel Sayıları Sayı Doğrusunda Gösterme 📍

Rasyonel sayılar, sayı doğrusunda iki tam sayı arasındaki boşlukları doldurur. Bir \( \frac{a}{b} \) rasyonel sayısını sayı doğrusunda göstermek için:

1. Sayının hangi iki tam sayı arasında olduğunu belirleyin.
2. Bu iki tam sayı arasını payda (b) kadar eşit parçaya bölün.
3. Başlangıç noktasından (genellikle 0 veya en yakın tam sayıdan) pay (a) kadar ilerleyin. Pozitif sayılar için sağa, negatif sayılar için sola.

Örnek: \( \frac{3}{4} \) sayısını sayı doğrusunda gösterelim.

• \( 0 \) ile \( 1 \) arasındadır.
• \( 0 \) ile \( 1 \) arasını \( 4 \) eşit parçaya böleriz.
• \( 0 \) noktasından sağa doğru \( 3 \) parça ilerlediğimizde \( \frac{3}{4} \) noktasını buluruz.

Örnek: \( -\frac{5}{3} \) sayısını sayı doğrusunda gösterelim.

• Önce tam sayılı kesre çevirelim: \( -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \).
• Bu sayı \( -2 \) ile \( -1 \) arasındadır.
• \( -1 \) ile \( -2 \) arasını \( 3 \) eşit parçaya böleriz.
• \( -1 \) noktasından sola doğru \( 2 \) parça ilerlediğimizde \( -\frac{5}{3} \) noktasını buluruz.

Rasyonel Sayıları Karşılaştırma ve Sıralama ⚖️

Rasyonel sayıları karşılaştırırken veya sıralarken aşağıdaki yöntemleri kullanırız:

1. Paydalar Eşitse

Paydaları eşit olan pozitif rasyonel sayılardan payı büyük olan daha büyüktür.

Örnek: \( \frac{5}{7} \) ile \( \frac{3}{7} \) sayılarını karşılaştıralım.

Paydalar eşit olduğu için paylara bakarız: \( 5 > 3 \). O halde, \( \frac{5}{7} > \frac{3}{7} \).

Negatif rasyonel sayılarda ise durum terstir. Payı küçük olan (mutlak değeri büyük olan) daha küçüktür.

Örnek: \( -\frac{5}{7} \) ile \( -\frac{3}{7} \) sayılarını karşılaştıralım.

Paydalar eşit. Negatif sayılarda mutlak değerce büyük olan daha küçük olacağından, \( -\frac{5}{7} < -\frac{3}{7} \).

2. Paylar Eşitse

Payları eşit olan pozitif rasyonel sayılardan paydası küçük olan daha büyüktür.

Örnek: \( \frac{3}{5} \) ile \( \frac{3}{8} \) sayılarını karşılaştıralım.

Paylar eşit olduğu için paydalara bakarız: \( 5 < 8 \). O halde, \( \frac{3}{5} > \frac{3}{8} \).

Negatif rasyonel sayılarda ise durum terstir. Paydası büyük olan (mutlak değeri küçük olan) daha büyüktür.

Örnek: \( -\frac{3}{5} \) ile \( -\frac{3}{8} \) sayılarını karşılaştıralım.

Paylar eşit. Negatif sayılarda mutlak değerce küçük olan daha büyük olacağından, \( -\frac{3}{8} > -\frac{3}{5} \).

3. Hem Pay Hem Payda Farklıysa

Bu durumda, rasyonel sayıları ortak bir paydada (genişletme veya sadeleştirme yoluyla) eşitleyerek karşılaştırma yaparız.

Örnek: \( \frac{2}{3} \) ve \( \frac{3}{4} \) sayılarını karşılaştıralım.

• Ortak payda \( 3 \) ve \( 4 \) sayılarının en küçük ortak katı olan \( 12 \)'dir.
• \( \frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12} \)
• \( \frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12} \)
• Şimdi paydalar eşit olduğu için paylara bakarız: \( 8 < 9 \). O halde, \( \frac{8}{12} < \frac{9}{12} \), yani \( \frac{2}{3} < \frac{3}{4} \).

Rasyonel Sayılarla Dört İşlem ➕➖✖️➗

1. Rasyonel Sayılarla Toplama ve Çıkarma İşlemleri

Rasyonel sayılarla toplama ve çıkarma işlemi yapabilmek için paydaların eşit olması gerekir.

• Paydalar Eşitse: Paylar toplanır veya çıkarılır, ortak payda aynen yazılır.

Örnek: \( \frac{3}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3+1}{5} = \frac{4}{5} \)

Örnek: \( \frac{7}{9} - \frac{2}{9} = \frac{7-2}{9} = \frac{5}{9} \)

• Paydalar Farklıysa: Paydalar eşitlenir (genişletme veya sadeleştirme ile), sonra paylar toplanır veya çıkarılır.

Örnek: \( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \)

Paydaları \( 6 \)'da eşitleyelim:

\[ \frac{1}{2} \ (3) + \frac{1}{3} \ (2) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6} \]

Örnek: \( \frac{5}{4} - \frac{1}{6} \)

Paydaları \( 12 \)'de eşitleyelim:

\[ \frac{5}{4} \ (3) - \frac{1}{6} \ (2) = \frac{15}{12} - \frac{2}{12} = \frac{15-2}{12} = \frac{13}{12} \]

2. Rasyonel Sayılarla Çarpma İşlemi

Rasyonel sayılarla çarpma işlemi yaparken paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır.

\[ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} \]

İşlem kolaylığı için çarpmadan önce sadeleştirme yapılabilir.

Örnek: \( \frac{2}{3} \times \frac{5}{7} = \frac{2 \times 5}{3 \times 7} = \frac{10}{21} \)

Örnek: \( \frac{3}{4} \times \frac{8}{9} \)

Sadeleştirme yaparak:

\[ \frac{3}{4} \times \frac{8}{9} = \frac{\cancel{3}^{1}}{\cancel{4}^{1}} \times \frac{\cancel{8}^{2}}{\cancel{9}^{3}} = \frac{1 \times 2}{1 \times 3} = \frac{2}{3} \]

3. Rasyonel Sayılarla Bölme İşlemi

Rasyonel sayılarla bölme işlemi yaparken birinci rasyonel sayı aynen yazılır, ikinci rasyonel sayı ters çevrilir ve çarpılır.

\[ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c} \]

Örnek: \( \frac{2}{5} \div \frac{3}{4} = \frac{2}{5} \times \frac{4}{3} = \frac{2 \times 4}{5 \times 3} = \frac{8}{15} \)

Örnek: \( \frac{-6}{7} \div \frac{3}{14} = \frac{-6}{7} \times \frac{14}{3} = \frac{-\cancel{6}^{2}}{\cancel{7}^{1}} \times \frac{\cancel{14}^{2}}{\cancel{3}^{1}} = \frac{-2 \times 2}{1 \times 1} = -4 \)

Rasyonel Sayıların Kuvvetleri (Üslü İfadeler) 💪

Bir rasyonel sayının kuvveti alınırken, hem payın hem de paydanın ayrı ayrı kuvveti alınır.

\[ \left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n} \]

Örnek: \( \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9} \)

Örnek: \( \left( -\frac{1}{4} \right)^3 = \frac{(-1)^3}{4^3} = \frac{-1}{64} \)

Örnek: \( \left( -\frac{1}{2} \right)^4 = \frac{(-1)^4}{2^4} = \frac{1}{16} \)

Hatırlatma: Negatif bir sayının çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir.

Rasyonel Sayılarla Çok Adımlı İşlemler 🪜

Birden fazla işlemin olduğu durumlarda işlem önceliğine dikkat etmek gerekir:

1. Parantez içindeki işlemler
2. Üslü ifadeler
3. Çarpma ve bölme (soldan sağa doğru)
4. Toplama ve çıkarma (soldan sağa doğru)

Örnek: \( \frac{1}{2} + \frac{3}{4} \times \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{6} \right) \)

1. Önce parantez içi: \( \frac{2}{3} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
2. Şimdi çarpma: \( \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{8} \)
3. Son olarak toplama: \( \frac{1}{2} + \frac{3}{8} = \frac{4}{8} + \frac{3}{8} = \frac{7}{8} \)

Rasyonel Sayıları Ondalık Gösterim Olarak Yazma 🔢

Bir rasyonel sayıyı ondalık gösterim olarak yazmak için payı paydaya böleriz veya paydayı 10, 100, 1000 gibi 10'un kuvveti olacak şekilde genişletiriz.

Örnek: \( \frac{3}{4} = \frac{3 \times 25}{4 \times 25} = \frac{75}{100} = 0.75 \)

Örnek: \( \frac{7}{20} = \frac{7 \times 5}{20 \times 5} = \frac{35}{100} = 0.35 \)

Örnek: \( \frac{1}{3} \)

\( 1 \div 3 \) işlemini yaptığımızda \( 0.333... \) şeklinde devam eden bir sayı elde ederiz. Bu tür sayılara devirli ondalık sayılar denir ve devreden kısmın üzerine bir çizgi konularak gösterilir: \( 0.\overline{3} \).

Ondalık Gösterimleri Rasyonel Sayı Olarak Yazma 🔄

1. Sonlu Ondalık Sayıları Rasyonel Sayı Olarak Yazma

Virgülden sonraki basamak sayısına göre paydaya 10, 100, 1000 yazılır. Daha sonra kesir sadeleştirilir.

Örnek: \( 0.4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \)

Örnek: \( 1.25 = \frac{125}{100} = \frac{5}{4} \)

2. Devirli Ondalık Sayıları Rasyonel Sayı Olarak Yazma

Devirli ondalık sayıları rasyonel sayıya çevirmek için aşağıdaki formülü kullanırız:

\[ \frac{\text{Sayının Tamamı} - \text{Devretmeyen Kısım}}{\text{Virgülden Sonra Devreden Kadar 9, Devretmeyen Kadar 0}} \]

Örnek: \( 0.\overline{3} \)

• Sayının tamamı: \( 3 \)
• Devretmeyen kısım: \( 0 \)
• Virgülden sonra devreden basamak sayısı: \( 1 \) (bir tane \( 3 \)) ➡️ \( 9 \)

\[ 0.\overline{3} = \frac{3 - 0}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \]

Örnek: \( 1.2\overline{5} \)

• Sayının tamamı: \( 125 \)
• Devretmeyen kısım: \( 12 \)
• Virgülden sonra devreden basamak sayısı: \( 1 \) (bir tane \( 5 \)) ➡️ \( 9 \)
• Virgülden sonra devretmeyen basamak sayısı: \( 1 \) (bir tane \( 2 \)) ➡️ \( 0 \)

\[ 1.2\overline{5} = \frac{125 - 12}{90} = \frac{113}{90} \]